1330
.pdf11
Таким образом, подставляя найденные коэффициенты в функции формы, получаем:
N1 =1− 0,2 x − 0,15 y
N2 = 0,2 x − 0,1 y
N3 = 0,25 y
Во внутренней точке K :
N1K (xK , yK ) = 0,175
N2K (xK , yK ) = 0,45
N3K (xK , yK ) = 0,375
TK = 0,17550 + 0,4520 + 0,37535 = 30,8750С .
Изобразим графики функции формы:
12
Задание для самостоятельной работы:
Задан треугольный КЭ на плоскости. Известны координаты узлов и значения напряжений в них:
т.1 (0,0) Ф(1)=240 МПа
т.2 (6,0) Ф(2)=130 Мпа
т.3 (3,3) Ф(3)=170 Мпа.
а) Найти значение напряжения двумя способами в т-ке К(5,1). б) Изобразить график распределения функций формы.
Задача 3.
Для четырехугольного плоского изопарараметрического КЭ известны значения
функции напряжений в его узлах. Заданы координаты узлов двумерного конечного элемента
В глобальной системе координат:
K1 = (0,0),
K2 = (6,2) ,
K3 = (8,6) ,
K4 = (2,4) .
Напряжения в узлах конечного элемента:
13
Φ1 = 20МПа
Φ2 = 40МПа
Φ3 = 60МПа
Φ4 = 80МПа
Проинтегрировать функцию в объеме конечного элемента.
Координатные функции имеют вид:
n
x(ξ,η) = ∑Ni xi = N1x1 + N2 x2 + N3x3 + N4 x4
i=1
4
y(ξ,η) = ∑Ni yi = N1 y1 + N2 y2 + N3 y3 + N4 y4
i=1
Так как используется изопараметрический конечный элемент [], то вид координатных функций и функций формы один и тот же.
Для локального конечного элемента [] функции формы имеют вид:
N1 = 1 (1−ξ )(1−η)
4
N2 = 1 (1+ξ )(1−η )
4
14
N3 = 1 (1+ξ )(1+η )
4
N4 = 1 (1−ξ )(1+η )
4
Подставляя функции формы в выражение для координатных функций, получаем:
x(ξ,η) = 1 (1−ξ )(1−η ) 0 + 1 (1+ ξ )(1−η ) 6 + 4 4
+ 1 (1+ξ )(1+η ) 8+ 1 (1−ξ )(1+η ) 2 4 4
y(ξ,η) = 1 (1−ξ )(1−η ) 0 + 1 (1+ ξ )(1−η ) 2+ 4 4
+ 1 (1+ξ )(1+η ) 6 + 1 (1−ξ )(1+η ) 4 4 4
Находим производные от координатных функций:
∂x |
= |
∂N1 |
|
0 + |
∂N2 |
|
6 + |
∂N3 |
8+ |
∂N4 |
2 |
|||
∂ξ |
|
∂ξ |
|
∂ξ |
∂ξ |
∂ξ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∂x |
|
= |
|
∂N1 |
|
0 + |
|
∂N2 |
|
6 + |
∂N3 |
8+ |
∂N4 |
2 |
∂η |
|
|
∂η |
|
|
∂η |
|
∂η |
∂η |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∂y |
= |
∂N1 |
|
0+ |
∂N2 |
|
2+ |
∂N3 |
6+ |
∂N4 |
4 |
|||
∂ξ |
|
∂ξ |
|
|
∂ξ |
|
∂ξ |
∂ξ |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∂y |
|
= |
|
∂N1 |
|
0 + |
|
∂N2 |
|
2 + |
∂N3 |
6+ |
∂N4 |
4 |
∂η |
|
|
∂η |
|
|
∂η |
|
∂η |
∂η |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проинтегрируем, используя метод Гаусса []. Для этого сначала необходимо найти определитель матрицы Якоби.
Для заданного конечного элемента матрица Якоби имеет вид:
∂x
[J]= |
∂ξ |
|
|
∂y |
|
|
|
|
∂ξ |
||
|
∂x |
|
|
|
|
|
∂η |
3 |
|
|
|
= |
∂y |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
∂η |
|
1
2
15
Найдем ее определитель[]:
det[J] = 3 2 −1 1= 5
Тогда
∫ΦdV = det[J]
V
1 |
1 |
4 |
4 |
∫ ∫ |
Φ(ξ,η )dξdη = det[J]∑∑αiα jΦ(ξi ,η j ) |
||
−1 −1 |
i=1 |
j=1 |
Φ(ξ,η ) - функция напряжений, зависящая от локальных координат.
Весовые коэффициенты для данного случая равны 1 [], то есть: α1 = α2 = α3 = α4 =1.
Известно, что точки Гаусса имеют координаты []:
1) |
ξ = − |
1 |
|
|
,η = − |
1 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
3 |
|||||||||||||
2) |
ξ |
|
= |
|
1 |
|
|
|
,η |
|
= − |
1 |
|
|
|||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3) |
ξ |
|
= |
|
1 |
|
|
|
,η |
|
= |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4) |
ξ |
|
= − |
1 |
|
,η |
|
= |
1 |
|
|
|
|||||||||||||||
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функция напряжений, выраженная через локальные координаты, будет иметь вид:
Φ = 1 (1−ξ )(1−η ) 20 + 1 (1+ξ )(1−η) 40 +
|
|
4 |
|
4 |
+ |
1 |
(1+ξ )(1+η ) 60 + |
1 |
(1−ξ )(1+η )80 |
|
|
|||
4 |
4 |
|
Тогда интеграл от заданной функции напряжений в заданном конечном элементе
находятся как:
∫ΦdV = 5 |
|
1 |
|
+ |
1 |
|
|
+ |
1 |
20 |
+ |
1 |
− |
1 |
|
|
+ |
1 |
40 |
+ |
|||||||||
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
V |
|
4 |
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
16
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
+ |
|
|
1 |
− |
|
|
|
|
|
|
1− |
|
|
|
|
|
|
|
|
60 + |
|
|
|
|
1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− |
|
|
|
|
|
|
|
80+ |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
+ |
|
|
1− |
|
|
|
|
|
|
1+ |
|
|
|
|
|
|
|
20 + |
|
|
|
|
|
1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
40+ |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
+ |
|
|
1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
1− |
|
|
|
|
|
|
|
60+ |
|
|
|
|
|
1− |
|
|
|
|
|
|
1− |
|
|
|
|
|
|
|
80 +... = |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|||||||||||||||||||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
20 1+ |
|
|
|
|
|
1+ |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
1− |
|
|
|
|
|
|
1− |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
+ |
1− |
|
|
|
|
1+ |
|
|
|
|
|
|
+ |
1+ |
|
|
|
|
|
|
1− |
|
|
|
|
|
|
+ 40 4 |
+ 60 4+80 4... =1000 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание для самостоятельной работы:
Температура задана в узлах произвольного четырехугольного КЭ с координатами (0,2),(6,8),
(8,6),(0,9):
Т1=200С,Т2=500С,Т3=800С, Т4=100С .
Найти значения интеграла функции в объеме КЭ.
17
Лихачева Светлана Юрьевна Кожанов Дмитрий Александрович
Подписано к печати |
. Формат 60х90 1/16 Бумага газетная. Печать трафаретная |
|
Уч. изд. л |
. Усл. печ. л. |
Тираж 300 экз. Заказ № |
|
|
|
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
603950, Нижний Новгород, ул. Ильинская, 65.
Полиграфический центр ННГАСУ, 603950, Нижний Новгород, ул. Ильинская, 65.