1483
.pdf
Для этого подставим выражение (2) в (1). В результате последовательных преобразований получим:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Траб |
= |
|
L + l × (n - 1) ×kсм |
|
|
|
|
|
|
|
(3) |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kсм × П×nвед |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Подставим в (3) вместо П следующее соотношение: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П = |
|
|
|
|
|
|
tсм ×kв × l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2t |
|
|
|
|
×m |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
пов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
раб |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где: vраб – |
рабочая скорость машины; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
tпов – |
время на поворот в конце каждого рабочего прохода; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
m0 – |
число проходов для получения готовой продукции; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
kв – коэффициент использования рабочего времени. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Тогда получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2L × |
|
|
|
|
|
+ t |
|
|
|
×m |
0 |
|
|
|
|
2(n - 1) × |
|
|
|
|
|
+ t |
|
|
×m |
0 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
пов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
пов |
|
|
|
|||||||||||
Траб = |
|
|
|
|
|
раб |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
раб |
|
|
|
|
|
|
= |
|
||||||
|
kсм ×nвед |
× tсм ×kв × l |
|
|
|
|
|
|
|
|
nвед × tсм ×kв |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2m0 |
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
× |
|
|
|
|
|
+ t |
|
|
|
|
|
|
|
+ n - 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
nвед |
|
× tсм ×kв |
|
|
|
|
|
пов |
× |
|
× l |
= |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
vраб |
|
|
|
|
|
|
|
kсм |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
2m0 |
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
L |
× tпов |
|
|
l ×(n - 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
× |
|
|
|
|
|
+ |
+ |
+ tпов |
×(n - 1) |
(5) |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
nвед × tсм ×kв vраб ×kсм |
|
|
|
k |
см × l |
|
|
|
|
vраб |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Чтобы найти оптимальную длину захватки, при которой потребуется минимальное количество рабочих дней Траб для строительства дороги протяжен-
ностью L, найдем dТраб и приравняем затем производную нулю: dl
dТраб |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= - |
L × t |
пов |
+ |
n - 1 |
= 0 |
|
l = |
L × tпов |
× vраб |
(6) |
|||||
dl |
kсм × l2 |
vраб |
|
(n -1) ×kсм |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
При наличии в составе комплексного потока kр резервных захваток и kф захваток, обеспечивающих технологические разрывы, формула (6) примет вид:
|
|
|
|
|
|
l = |
L × t |
пов × vраб |
(7) |
||
|
|
||||
(n + kр + kф - 1) ×kсм
Как видно из приведенного выше решения, получение формулы (6) требует достаточно сложных математических преобразований.
Рассмотрим упрощенный метод решения задачи на основе анализа размерностей. В соответствии с приемами последнего запишем очевидную функциональную зависимость:
lопт = f [tпов; vраб;L;(n − 1)] |
(8) |
|||||||||
Характеристика (n-1) отражает связь длин захваток с периодом разверты- |
||||||||||
вания потока. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Перепишем (8) в виде: |
|
|
|
|
|
γ |
|
|||
|
|
|
L |
|
||||||
lопт = tповα |
× vβраб × |
|
|
|
(9) |
|||||
|
||||||||||
|
|
|
n - 1 |
|
|
|||||
Это соотношение следует из так называемой П-теоремы метода анализа |
||||||||||
размерностей и показывает, что искомая величина может быть выражена |
как |
|||||||||
произведение определяющих ее величин в неизвестных нам степенях. |
|
|||||||||
Составим на основе (9) уравнения размерностей для входящих в это выра- |
||||||||||
жение величин: по размерности длины |
|
1 = β + γ |
|
|||||||
по размерности |
|
|
|
|
|
|
0 = α − β |
|
||
Из полученных двух уравнений вытекает третье: 1 = α + γ . |
|
|||||||||
Эта система уравнений имеет единственное решение: a = b = g = |
1 |
, и |
за- |
|||||||
|
||||||||||
висимость (9) примет вид: |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
lопт = |
|
|
tпов × vраб × L |
(10) |
||||||
|
|
(n - 1) |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ПРИМЕР:
Основание из щебеночного материала устраивают методом смешения на дороге автогрейдерами.
vраб = 2.5 км/час.; tпов = 0.05 час. (3 мин.); n=6; L=12 км
|
|
|
|
|
|
|
Тогда lопт |
= |
|
0.05 × 2.5 × |
12 |
|
» 0.55 км |
|
|
|||||
|
( 6 -1 ) |
|
|
|
||
При такой длине захватки общий срок устройства основания на участке протяжением 12 км будет минимальным.
Необходимое количество ведущих машин в этом частном потоке может быть найдено по соотношению, вытекающему из выражений (1) и (2):
nвед = |
L + l |
опт × (n - 1) |
×k |
см |
(11) |
Траб ×kсм × П |
|
||||
|
|
|
|||
4. ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ПРОВЕРКИ ГИПОТЕЗ
Для количественного анализа вероятностных процессов необходимо знать закон распределения случайных величин и ряд числовых характеристик, причем
обязательно математическое ожидание t и дисперсию σ2.
Статистическая проверка гипотез имеет целью на основе анализа данных по выборке дать суждение о законе распределения генеральной совокупности. Вначале принимается так называемая основная (нулевая) статистическая гипотеза в отношении неизвестного закона распределения случайной величины. Затем с помощью специальных статистических критериев устанавливается, соответствуют ли данные выборки принятой гипотезе или нет. В зависимости от ответа на этот вопрос гипотеза принимается или отвергается.
ПРИМЕР:
Требуется установить на основе данных изучения движения, подчиняется ли количество автомобилей, проходящих через определенное сечение дороги в единицу времени, закону Пуассона.
|
p ( t ) = |
an × e− a |
|
Закон Пуассона |
|
(1) |
|
|
|||
|
n |
n! |
|
|
|
||
где: pn(t) – вероятность того, что за время t событие наступит n раз;
a – среднее число наступления события за время t, пропорциональное этому промежутку времени.
Число автомобилей за |
Наблюдаемая частота |
Частота по закону Пу- |
одноминутный интервал |
fп |
ассона fт |
0 |
7 |
8.2 |
1 |
23 |
20.5 |
2 |
26 |
25.6 |
3 |
20 |
21.3 |
4 |
12 |
13.3 |
5 |
7 |
6.6 |
6 |
3 |
2.7 |
7 |
2 |
0.9 |
8 |
0 |
0.3 |
9 |
0 |
0.0 |
В таблице (столбцы 1 и 2) представлены данные наблюдений за числом автомобилей, проходящих по автодороге в одном направлении в одноминутный интервал времени, причем наблюдения были повторены 100 раз. Из таблицы следует, что, например, прохождение 5-ти автомобилей в течение минутного интервала отмечено 7 раз, 7-ми автомобилей – 2 раза и т.д.
Т.к. число наблюдений составило 100, то величины fп выражают фактически установленные вероятности прохождения n автомобилей за 1 мин., выраженные в процентах.
Например, p4 = 12 = 0.12 . 100
Среднее число наступления событий a ( t ) вычисляется по формуле:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a = ∑ni |
× pi |
|
|
|
(2) |
|||||
В нашем примере получим: |
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
a = 0 × |
7 |
+ 1× |
23 |
+ 2 × |
26 |
+ 3 × |
20 |
+ 4 × |
12 |
+ 5 × |
7 |
+ 6 × |
3 |
+7 × |
2 |
+ ... = 2.50 |
|
|
|
|
|
100 |
100 |
|
|
||||||||||
100 |
100 |
100 |
|
100 |
|
|
100 |
100 |
|
||||||||
В таблице приведены теоретические частоты fт по закону Пуассона, вы- |
|||||||||||||||||
численные по ф.(1) |
для a = 2.50. Как видно из таблицы, величины fп и fт дос- |
||||||||||||||||
таточно близки. Однако необходима более детальная проверка приемлемости гипотезы о применении к наблюдаемому статистическому распределению закона Пуассона.
По закону Пуассона дисперсия случайной величины равна ее математическому ожиданию.
Вычислим на основе экспериментальных данных таблицы математическое ожидание nп и дисперсию σп2.
В качестве математического ожидания следует взять среднее арифметическое из наблюдавшихся в одноминутных интервалах количеств автомобилей:
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
∑ni |
|
|
|
|
|
||
|
|
nп = |
i=1 |
|
|
|
|
|
(3) |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
В нашем примере m=100; фактически величина n |
уже была определена, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
т.е. nп =a = 2.50. |
2 |
|
|
|
|
|||||||
Определим эмпирическую дисперсию σ |
по формуле: |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|||
|
|
п = ∑( niп - |
nп |
)2 × piп |
(4) |
|||||||
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
||||
σ 2 = ( 0 - 2.5 )2 ×7 + ( 1 - 2.5 )2 × 23 +( 2 - 2.5 )2 × 26 + ( 3 - 2.5 )2 × 20 + 100
+ ( 4 - 2.5 )2 ×12 + ( 5 - 2.5 )2 ×7 + ( 6 - 2.5 )2 ×3 + (7 - 2.5 )2 × 2 =
2.58
100
Таким образом, величины nп и σ2 достаточно близки, и гипотеза о приме-
нимости к наблюдаемому распределению закона Пуассона правдоподобна. Далее необходимо вычислить «критерий χ2» Пирсона, характеризующий
отклонения между наблюденными и теоретическими частотами появления событий («мера расхождения»):
χ2 = ∑ ( f |
п - fт ) |
2 |
|
|
(5) |
||||
k |
|
|
|
|
i=1 |
fт |
|
|
|
где: k – число разрядов (интервалов), на которые разбиты наблюдения.
χ 2 = |
(7 − 8.2 )2 |
+ |
( 23 − 20.5 )2 |
+ |
( |
26 − 25.6 )2 |
+ |
( 20 − 21.3 )2 |
+ |
( 12 − 13.3 )2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
25.6 |
|
|
|
|||||||||||
8.2 |
|
|
20.5 |
|
|
|
|
|
|
|
21.3 |
13.3 |
||||||||
+ |
(7 − 6.6 )2 |
+ |
( 3 − 2.7 )2 |
+ |
( 2 − 0.9 )2 |
|
+ |
( 0 − 0.3 )2 |
= 2.40 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
6.6 |
|
|
2.7 |
|
|
0.9 |
|
0.3 |
|
|
|
|
|
|||||||
Распределение величины χ2 зависит от параметра ν, называемого числом степеней свободы. Оно равно числу разрядов k минус число условий («связей»), наложенных на наблюденные и теоретические вероятности.
|
Примерами таких условий являются: |
|||||||
1) |
|
|
|
|
k |
(сумма наблюденных по всем разрядам вероятно- |
||
|
|
|
|
|
∑ piп = 1 |
стей равна 1); это условие принимается во всех |
||
|
|
|
|
|
I =1 |
случаях; |
||
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
(равенство теоретического и экспериментально- |
||
|
|
∑ niр |
× piп = nт |
го средних значений); |
||||
3) |
|
I =1 |
|
|
|
(совпадение дисперсий, вычисленных по экспери- |
||
k |
|
|
|
× piп = σ т2 |
||||
|
∑ ( niр |
- nп )2 |
ментальным данным и принятой гипотезе закона |
|||||
I =1
распределения).
Таким образом, если теоретическое распределение совершенно независимо
от данных практических наблюдений, то ν=k-1. Если же для оценки h параметров теоретического распределения использовались данные эксперимента,
то ν=k-1-h.
В нашем примере число разрядов k = 10. Принимая дополнительные условия («связи») 1 и 2 (условие 2 было реализовано при вычислении величин fт в таблице), получим ν = 10-1-2 = 7. В прил. 4 «Экономико-математических методов в дорожном строительстве» найдем вероятность того, что экспериментальное распределение не противоречит пуассоновскому. При χ2 = 2.40 и ν = 7 получим p = 0.93.
Следовательно, проведенный анализ в принципе подтверждает соответствие экспериментальных данных в таблице пуассоновскому распределению.
Костин Валерий Иванович Мерсиков ВячеславИванович
ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ДОРОЖНОМ СТРОИТЕЛЬСТВЕ
Учебно-методическое пособие по подготовке к лекционным и выполнению практических занятий по дисциплине
«Экономико-математические методы в дорожном строительстве» для обучающихся по направлению подготовки 08.03.01 Строительство профиль Строительство автомобильных дорог, аэродромов, объектов транспортной инфраструктуры
=========================================================
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
603950, Нижний Новгород, ул. Ильинская, 65. http:///www.nngasu.ru,srec@nngasu.ru