2804

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

27. Докажите, что векторы a , b

+ λb компланарны.

28. Даны векторы a(5; 2 )

(7;− 3 ). Найдите вектор c , если ac = 38 и

28. Даны векторы a(5; 2 )

(7;− 3 ). Найдите вектор c , если ac = 38 и

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.11.2023

Размер:

299.18 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

						10
12. Даны векторы			p(0;1; 2),		q(1; 2; 3),		r(−1;1; − 2), c(0; 4; 3). Найдите
числа x,y,z, если c = xp + yq + zr .
Ответ. x = y =z =1.

13. Выразите вектор c через векторы a и b , если:

а) a(4; − 2), b(3; 5), c(1; − 7);
	(− 3; 0), c(19;8);
б) a(5; 4), b	(− 3; 0), c(19;8);
				− 3).
в) a(− 6; 2), b(4; 7), c(9;				− 3).
								3a
Ответ. а) c	= a	− b	, б) c	= 2a	− 3b	, в) c = −			.
Ответ. а) c	= a	− b	, б) c	= 2a	− 3b	, в) c = −		2	.
								2

14.Найдите координаты вектора PQ, если известны координаты точки P

иточки Q:

а) P(2; − 3; 0), Q(−1; 2; − 3);

	1	; −	4		5		−	3		2
б) P				;		, Q			; 0;		.
б) P				;		, Q			; 0;		.
	2		3		6			5		3

		11		4		1
Ответ. а) PQ(− 3; 5; − 3), б) PQ	−		;		; −		.
Ответ. а) PQ(− 3; 5; − 3), б) PQ	−		;		; −		.
		10		3		6

15. Даны точки A(0; 2), B(3;1), C(− 5;3), D(2; 4). Найдите координаты

точки Q, если QA+ QB+ QC + QD = 0.

	5
Ответ. Q 0;		.
Ответ. Q 0;		.
	2

16. Точки A и В – концы вектора: AB = a . Найдите координаты точки B,

если:

а) A(0; 0), a(− 2;1); б) A(−1; 5), a(1; − 3); в) A(2; 7), a(− 2; − 5); г) A(8; − 8), a(4; 7);

Ответ. а) B(− 2;1), б) B(0; 2), в) B(0; 2), г) B(12; −1).

17. На оси Ox лежит точка М, расстояние от точки М до точки A(3; − 3)

равно 5. Найдите координаты точки М.

Ответ. M (7; 0) или M(−1; 0).


18. Определите,	при		каком значении λ векторы c = a + λb и d
коллинеарны, если:
		(−1; 3);
а) a(2; 3), b(3; 5); d		(−1; 3);
			− 5);
б) a(1; 0), b(2; 2)	; d	(3;	− 5);

в) a(3; − 2), b(1;1); d(0; 5).

Ответ. а) λ = −						9		, б) λ = −						5				, в) λ = −3.
Ответ. а) λ = −								, б) λ = −										, в) λ = −3.
			14										16
19. Проверьте, векторы
19. Проверьте, векторы																	a и b коллинеарны или нет, если:
	3 1				; −			3				2 1				; −			1
а) a		;									, b		;								;
а) a		;									, b		;								;
	7		2					4				7	3						2
	−	3					4					9	;−		9			; −
б) a				;6;						, b										1 .
б) a				;6;						, b										1 .
		2					3					8			2
							3													4
Ответ. а) да, a =									b , б) да, a								= −					b .
Ответ. а) да, a =							2		b , б) да, a								= −			3		b .
							2													3
																							(1;Y; − 3 )
20. При					каких						значениях										X и Y векторы a(X ;− 2; 5 )и b		(1;Y; − 3 )

коллинеарны?

Ответ. X = − 5 , Y = 6 .

21.Даны четыре точки: A(− 2;− 3; 8 ), B(2;1; 7 ), C(1;4; 5 ) и D(− 7;− 4; 7 ). Докажите, что векторы AB и CD коллинеарны.

22. Отрезок с координатами концов A(3;− 2 ) и B(6;4 ) разделили на три равные части. Найдите координаты точек деления.

Ответ. (4;0 ) и (5;2 ).

23. Точки C(2;0; 2 ) и D(5;− 2; 0 ) делят отрезок AB на три равные части. Найдите координаты точек А и В.

Ответ. A(−1;2;4) и B(8;− 4;2 ).

24. Даны вершины треугольника A(1;0; 2 ), B(1;2; 2 ) и C(5;4; 6 ). Точка L

делит отрезок АС в отношении 1:3. СЕ – медиана. Найдите координаты точки пересечения прямых BL и CL.

Ответ.

;

7 7

25. Векторы

a = −2i

+ 3 j

+ αk и

= βi

− 6 j

+ 2k коллинеарны. Найдите

α и β .

Ответ. α = −1, β = 4.

26. Определите, компланарны или нет векторы a(1;0; 2 ), b(0;1;3 ) и

c(1;1; 5 ).

Ответ. Да.

Ответ. c(6;4 ).

29. Даны векторы a(4;− 2; − 4 ) и b(6;− 3;2 ). Вычислите

а) ab ; б) (2a

− 3b)(a + 2b); в)

− b)2

; г)

2a − b

Ответ. а) 22; б) -200; в) 41; г)

105 .

30. Дан вектор a(− 6; 8 ). Найдите координаты единичного вектора

а) сонаправленного вектору a ;

б) противоположно направленного вектору a .

Ответ. а) e

−

;

; б) e

;−

31. Даны векторы a(3; −1; 0)

(2;1;

−1)

и c = a

, b

+ 2b . Найдите скалярное

произведение векторов b и c .

Ответ. b

c =17.

32. Найдите угол между векторами a и b , если

= a

− 2b ,

a(5; − 2; 3) и

(2; − 3;1).

Ответ. π .

33. Найдите

косинус угла

между

векторами

c , если c

= a

− b ,

(2;1; 3).

a(3; −1; 4) и b

Ответ.

34. Даны векторы a(3; 2; −1) и b(2; 4;1). Найдите косинус угла между

векторами a + b и

a − b .

Ответ. −

	a(3; − 2; α)			(β; 4; 2)
35. Векторы	a(3; − 2; α)	и	b	(β; 4; 2)	–	коллинеарные.	Найдите
произведение α и β .
Ответ. α ·β =3.
	a(6; α; − 2)			(3; 2; β)
36. Векторы	a(6; α; − 2)	и	b	(3; 2; β)	–	коллинеарные.	Найдите

произведение α и β .

Ответ. α ·β = −4.

37. Векторы a(α; − 3; 2) и b(1; 2; − α) перпендикулярны. Найдите α .

Ответ. α = −6.

38. Вектор a(x; 2; z) перпендикулярен вектору b(2; 3; − 2) и оси Ox.

Найдите сумму координат x и y.

Ответ. x+y =3.

39. Вектор a(x; y; 3) перпендикулярен вектору b(3;1; −1) и оси Oy.

Найдите сумму координат x и y.

Ответ. x+y =1.

40. Вектор a(1; y; z) перпендикулярен векторам b(3; − 3; 0) и c(2;1;1).

Найдите произведение координат y и z.

Ответ. y·z =− 3.

41. Вычислите угол между векторами:

а) a(−1;2; − 2 ) и b(6;3;− 6 ); б) a(6;− 2; − 3 ) и b(5;0;0 );

в) a(2;− 4; 5 ) и b(0;2;0 ); г) a(− 2;6; − 3 ) и b(0;0;− 3 );

д) a(− 4;− 6; 2 ) и b(4;0;0 ); е) a(3;− 2; 6 ) и b(0;− 5;0 );

ж) a(4;− 5; 2 )

и b(0;0;2 ).

Ответ. а) (a

,b)= arccos

; б) (a,b)= arccos

;

в) (a,b)= arccos

−

; г) (a,b)= arccos

;

3 5

д) (a,b)= arccos

−

; е) (a,b)= arccos

;

ж) (a,b)= arccos −

3 5

42. Вычислите косинус угла между ортом i (1;0) и векторами:

(2; 3 ) , b(− 2;5 ), c(− 5;1), d(−1;−1).

Ответ. cos(a,i )

, cos(b,i )= −

, cos(с,i )= −

cos(d ,i )= −

43. Вычислите косинус угла между векторами a

− b и a + b , если

−1; 0 ).

a(1;2;1) , b(2;

Ответ.

(0;1; 0),

44. Вычислите

косинусы углов

между ортами

i (1;0; 0), j

(0;0;1) и векторами:

		+
а) a	= i		j	+ k ; б) b						= −3 j		− k ; в)		c		= −5i
Ответ. а)				1	;	1		;	1		; б) 0;−		3		;−		1


				3			3			3		10					10

;г) d = 3 j + 4k .

;в) −1;0;0; г) 0;3;4 .

5 5

45. Вектор p коллинеарен вектору q(3; − 4), p =10 . Вектор p образует

тупой угол с ортом i (1;0). Найдите координаты вектора p .

Ответ. p(− 6; 8).

образует острый угол с ортом k (0;0;1). Найдите координаты вектора b .

Ответ. b(− 24; − 32; 30).

47. На векторах
	a	и b построен параллелограмм. Угол между векторами
a и b равен 300, скалярное произведение векторов a и b
			равно 3 . Определите

площадь параллелограмма.

Ответ. 1.


48. На векторах a и b построен треугольник. Угол между векторами a и

b равен 600, скалярное произведение векторов a			и b равно 2. Найдите площадь
треугольника.
Ответ. 2
Ответ. 2	3.

49. На векторах a и b построен треугольник. Угол между векторами a и

b равен 300, скалярное произведение векторов a			и b равно 3. Найдите площадь
треугольника.

Ответ.	3	.
Ответ.		.
2

50. ABCD – параллелограмм, AB = 2i +			j ,	AC = i	− 2 j . Найдите угол

между векторами AB и AC . Найдите длину диагоналей параллелограмма.

Ответ. (AB;AC)= 900 ; 10 .

51. ABCD – параллелограмм, AB(3; − 2; 2), BC(−1; 0; − 2). Найдите угол

между диагоналями параллелограмма.

Ответ. 450 .

52. Единичный вектор a перпендикулярен векторам b(1;1; 0) и c(0;1;1).

Найдите координаты вектора a .

	1	; ±	1		1
Ответ. a				;		.
Ответ. a				;		.
	3		3		3

53. Векторы a(6;0;12) и b(− 8;13; γ) перпендикулярны. Найдите γ .

Ответ. γ = 4 .

54. Даны векторы a	= αi	+ βj	+ 2k , b = i − j	+ k	и c	= i	+ 2 j	. Векторы a

и b перпендикулярны. Скалярное произведение a и c равно 4. Найдите α и β .

Ответ. α = 0, β = 2.

a(2; 3; −1)

− 2; 3).

55. Вектор

перпендикулярен

векторам

и b(1;

Скалярное произведение c и

(− 6). Найдите координаты

= 2i −

+ k

равно

вектора c .

Ответ. с(− 3; 3; 3 ).

56. Вектор

перпендикулярен векторам a = 2 j

− k и

= −i + 2 j

− 3k .

c , если

c и

Найдите координаты вектора

7 , и угол между вектором

ортом j – тупой.

; −

Ответ. c

57. ABCD – параллелограмм, A(3;1; 2), B(0; −1; −1), C(−1;1; 0). Найдите

длину диагонали BD.

Ответ. BD = 26 .

58. ABCD	–		прямоугольник,				A(1; −1;1), B(1; 3;1),		C(4; 3;1),
D(1; −1;1).Найдите длины его диагоналей и координаты точки их пересечения.
Ответ. AC = 5, O				5	;1;1 .
Ответ. AC = 5, O					;1;1 .
			2
59. ABCD	–	параллелограмм,					A(4; 4; − 4),	B(1;1; − 3),	C(− 2; 0; 5),
D(−1; 3; 4). Найдите угол между его диагоналями.
Ответ. arccos			63			.

		6441
		6441
60. ABCD	–	параллелограмм,					A(2;1; 3),	B(5; 2; −1),	C(− 3; 3; − 3).

Найдите косинус угла между его диагоналями.

Ответ. 43 . 2513

61. ABC	– треугольник,										A(3; − 2;1), B(3;1; 5),									C(4; 0; 3).		Вычислите
длины медиан AA1 и BB1, величины углов треугольника.

Ответ.	AA =			31			, BB =				53	, arccos		14		, arccos			11		, π − arccos		5	.
Ответ.	AA =						, BB =					, arccos				, arccos					, π − arccos			.
	1		2			1				2			15						5	6		3	6
			2							2			15						5	6		3	6
62. ABC	–	правильный									треугольник, A(1; 3), B(3;1). Вычислите
координаты вершины C треугольника.
Ответ. C(2 +					; 2 +				) или C(2 −						; 2 −			).
Ответ. C(2 +			3		; 2 +			3	) или C(2 −				3		; 2 −		3	).

63. ABCD – квадрат, A(2;1), B(0; 4). Вычислите координаты вершин C и D квадрата.

Ответ. C(3; 6), D(5; 3) или C(− 3; 2), D(−1; −1).

64. ABCD – ромб, B(1; − 3), D(0; 4), BAD = 600 . Вычислите координаты

вершин A и C ромба.



		1+ 7	3	1+		3		1− 7	3	1−	3
Ответ.	A				;		,C			;		или C(− 3; 2), D(−1; −1).
Ответ.	A				;		,C			;		или C(− 3; 2), D(−1; −1).
		2	2					2	2
		2	2					2	2

65. ABC – треугольник, A(1; −1; − 3), B(2;1;− 2), C(− 5; 2; − 6). Вычислите длину биссектрисы его внутреннего угла A.

Ответ. AA1 = 310 . 4

66.	ABC	–	треугольник, A(−1; − 2; 4),			B(− 4; − 2;0),	C(3; − 2;1).
Вычислите длины сторон треугольника и величину его углов.
Ответ. AB = 5, BC = 5
Ответ. AB = 5, BC = 5				2	, AC = 5, A = 900 , B = C = 450 .
67.	Точки	A(3; − 2;1),		B(3; 0; 2) и C(1; 2; 5) – координаты вершин
треугольника ABC. Найдите угол между медианой BD и основанием AC
треугольника.
Ответ. π .
	4
68.	ABCD	–	параллелограмм, у которого			AB(− 3; 4;1),	BD(− 2; 4;1),

A(− 5; 2; 8). Найдите координаты вершины C параллелограмма.

Ответ. C(−13;14;11).

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.11.2023105.88 Кб0280.pdf
#
21.11.2023298.68 Кб02800.pdf
#
21.11.2023298.74 Кб12801.pdf
#
21.11.2023298.87 Кб02802.pdf
#
21.11.2023299.17 Кб02803.pdf
#
21.11.2023299.18 Кб02804.pdf
#
21.11.2023299.19 Кб02805.pdf
#
21.11.2023299.28 Кб02806.pdf
#
21.11.2023299.37 Кб02807.pdf
#
21.11.2023299.45 Кб02808.pdf
#
21.11.2023299.47 Кб02809.pdf