3130

Таблица 2

Стоимость единицы продукции П1 и П2 соответственно равна 3 и 4 д.е.

Задача о раскрое материалов

Данная задача состоит в разработке такого плана, который обеспечивает необходимый комплект изделий при минимальных отходах (по длине, площади, массе, стоимости и др.) при

раскрое материалов или обеспечивает максимальное число комплектов изделий.

Пример 1. Требуется разработать оптимальный план раскроя стандартных листов стали,

обеспечивая выход планового числа заготовок разного вида при минимальных суммарных отходах,

если известно, что из партии листовой стали необходимо нарезать четыре вида различных заготовок в количестве bi (i = 1, 2,…,4) штук. Лист стали стандартных размеров может быть раскроен четырьмя способами. Каждому возможному способу раскроя соответствует карта раскроя. Из карт раскроя известен выход заготовок в штуках разных видов aij (i = 1, 2,…4; j = 1,2,…,4), а также площадь отходов cj (j = 1, 2,…,n) при раскрое одного листа стали по j-му способу раскроя. Какое количество

листов стали необходимо раскроить тем или иным способом, чтобы отходы были минимальными?

Таблица 3

11

Решить задачи графическим методом, симлекс-методом, табличным симплекс-методом.

Транспортная задача

Общая постановка транспортной задачи состоит в определении оптимального плана перевозок некоторого однородного груза из m пунктов отправления А1, А2,…, Аm в n пунктов назначения B1, B2,…,Bn. При этом в качестве критерия оптимальности берется либо минимальная стоимость перевозок всего груза, либо минимальное время его доставки.

1. Метод «северо-западного угла» Метод заключается в том, что заполнение клеток таблицы начинают с левой верхней клетки

(северо-западная часть таблицы) для перевозки x11 и продолжают вниз и вправо, заканчивая клеткой для перевозки xmn. При этом способе распределения на тарифы cij не обращают

внимания.

2. Метод «наименьшей стоимости» Метод заключается в том, что заполнение клеток таблицы начинают с клетки, имеющей

наименьшую стоимость перевозки. Если таких клеток несколько, то следует выбрать любую из

них.

2. Специальные задачи линейного программирования в экономике. Элементы теории игр – 4

часа;

Производить или покупать?

Фирма производит два типа химикатов. На предстоящий месяц она заключила контракт на поставку следующего количества этих химикатов:

Производство фирмы ограничено ресурсом времени работы двух химических реакторов. Каждый тип химикатов должен быть обработан сначала в реакторе 1, а затем в реакторе 2. Ниже в таб-

12

лице приведен фонд рабочего времени, имеющийся у каждого реактора в следующем месяце, а

также время на обработку одной тонны каждого химиката в каждом реакторе:

Из-за ограниченных возможностей, связанных с существующим фондом времени на обработку химикатов в реакторах, фирма не имеет достаточных мощностей, чтобы выполнить обязатель-

ства по контракту. Выход заключается в следующем: фирма должна купить какое-то количество этих химикатов у других производителей, чтобы использовать эти закупки для выполнения контракта. Ниже приводится таблица затрат на производство химикатов самой фирмой и на закупку их со стороны:

Цель фирмы состоит в том, чтобы обеспечить выполнение контракта с минимальными издержками. Это позволит ей максимизировать прибыль, так как цены на химикаты уже оговорены контрактом. Другими словами, фирма должна принять решение: сколько химикатов каждого типа производить у себя, а сколько — закупать со стороны для того, чтобы выполнить контракт с минимальными издержками.

Вопросы:

1.Сколько химикатов типа 1 следует производить фирме?

2.Сколько химикатов типа 2 следует производить фирме?

3.Сколько химикатов типа 1 следует закупать со стороны?

4.Сколько химикатов типа 2 следует закупать со стороны?

5.Каковы минимальные издержки на выполнение контракта?

6.Следует ли изменить объем закупок химикатов типа 2 со стороны, если их цена возрастет до 75

тыс. руб. за тонну?

7.На сколько возрастут минимальные издержки, если фонд времени работы реактора 2 сократится

с400 до 300 ч?

Производство удобрений.

Мощности завода позволяют произвести в текущем месяце ингредиенты для производства

13

удобрений в следующем количестве: 10 т нитратов, 15 т фосфатов и 12 т поташа. В результате смешения этих активных ингредиентов с инертными, запасы которых не ограничены, на заводе могут быть получены четыре типа удобрений.

Удобрение 1 содержит 5% нитратов, 10% фосфатов и 5% поташа.

Удобрение 2 содержит 5% нитратов, 10% фосфатов и 10% поташа.

Удобрение 3 содержит 10% нитратов, 10% фосфатов и 10% поташа.

Удобрение 4 содержит 10% нитратов, 5% фосфатов и 5% поташа.

Цены на удобрения соответственно 400, 500, 400 и 450 руб. за тонну.

Объем спроса на удобрения практически не ограничен.

Стоимость производства одной тонны нитратов 360 руб., фосфатов 240 руб. и поташа 200

руб.

Инертные ингредиенты закупаются заводом по цене 100 руб. за тонну.

На текущий месяц завод уже заключил контракт на поставку 10 т удобрения 3.

Определите, какие удобрения и в каком количестве следует производить, чтобы в текущем месяце завод получил максимальную прибыль.

Вопросы:

1.Сколько удобрения 1 следует производить?

2.Сколько всего следует производить удобрений?

3.Какова максимальная прибыль?

4.На сколько изменилась бы прибыль, если бы заказчик отказался от контракта на поставку удобрения 3?

Производство конфет. На кондитерской фабрике изготовляют два вида продуктов —

восточные сладости, для которых используют орехи: миндаль, фундук и арахис. Миндаль фабрика

закупает по цене 75 руб. за килограмм, фундук — 60 руб., а арахис — 45 руб. Продукт 1 должен содержать не менее 12% миндаля и не более 18% фундука, продукт 2 — не менее 25% миндаля.

Цены готовых продуктов 1 и 2 соответственно 70 и 65 руб. за килограмм. Ежедневно фабрика получает следующее количество орехов: миндаля — 33 кг, фундука — 80 кг, арахиса —

60 кг.

Вопросы:

1.Какое количество фундука следует использовать при производстве продукта 1?

2.Какое количество продукта 2 следует производить ежедневно, чтобы фабрика получала максимальную прибыль?

3.Каков общий объем ежедневно производимой продукции?

14

4.Какова максимальная прибыль?

5.На сколько увеличится прибыль, если увеличить закупки миндаля на 5 кг?

Вложение денег в проекты. Пять проектов конкурируют за получение инвестиционных фондов компании.

Проект 1 предполагает вложение денег в 2003 г., получение 30% по вкладу в 2004 г. и

возврат вложенных средств (без процентов) в 2005 г.

Проект 2 предполагает вложение денег в 2004 г., получение 30% по вкладу в 2005 г. и

возврат вложенных средств (без процентов) в 2006 г.

Проект 3 предполагает вложение денег в 2003 г. и получение 1,75 руб. на один вложенный рубль в 2006 г.

Проект 4 предполагает вложение денег в 2005 г. и получение 1,4 руб. на один вложенный рубль в 2006 г.

Проект 5 предполагает вложение денег в 2003 г. и получение 1,2 руб. на один вложенный

рубль в 2005 г.

Максимальная сумма, которая может быть вложена в любой проект, не должна превышать

10 млн руб.

Деньги, полученные в результате инвестиций в один проект, можно реинвестировать в другие проекты.

Компания также может получать 6% годовых по краткосрочному (на один год) банковскому вкладу.

К началу 2003 г. инвестиционный фонд компании составит 20 млн руб. Целью компании является максимизация дохода от инвестиций к 2006 г.

Вопросы:

1.Какова максимальная сумма денег, которую можно получить в 2006 г.?

2.Какую сумму следует вложить во второй проект?

3.В каком году следует вложить деньги в банк под 6% годовых?

4.Какой максимальный доход можно получить в 2006 г., вложив 1 руб. в 2003 г.?

Выбор стратегии. Матрица некоторой игры имеет вид

15

С каждым узлом связано уравнение баланса потоков, которое находится по формуле: поток,

выходящий из i, минус поток, входящий в i, равно предложение в узле i.

Задача 2. Задача нахождения кратчайшего пути возникает в сети, в которой с каждой дугой

(i, j) связано число cij, интерпретируемое как расстояние (или стоимость, или время движения) от узла i к узлу j. Маршрут, или путь между двумя узлами – произвольная последовательность дуг,

соединяющая данные узлы. Задача состоит в нахождении кратчайшего (требующего минимальных затрат, или минимального времени) пути из определенного узла в другой узел сети. Рассмотрим конкретный пример.

Фирма занимается регулярными поставками вина в семь различных пунктов. На рисунке 23

показаны эти пункты и соединяющие их маршруты. Каждой дуге на рисунке соответствует число,

обозначающее расстояние между соединяемыми данной дугой узлами. Фирма считает, что суммарные затраты будут минимальными, если все поставки в любой заданный пункт будут осуществляться по кратчайшему маршруту. Найти кратчайший маршрут из исходного пункта Н в пункт 5.

Задача 3.

Задача 4.

18

Существует два инвестиционных проекта, в которых компания может участвовать наряду с другими инвесторами:

1) при 100% уровне участия компании в проекте развития города, предполагаемое движение денежных средств показано в таблице 2 (отрицательные числа − инвестиции, а

положительные − доходы). Таким образом, чтобы участвовать в данном проекте на уровне 100%,

она должна внести 1 млн. $, через 6 месяцев − еще 700 тыс. $, затем она получит 1 млн. 800 тыс. $. 2) Второй проект предусматривает приобретение предприятия по сдаче жилья в аренду для людей со средними доходами, при условии, что будет сделан предварительный косметический ремонт. Динамика финансов для данного проекта при 100% уровне участия

показан в таблице 3.

Таблица 2

Финансовая динамика проекта развития города

тыс.

Таблица 3

Финансовая динамика проекта сдачи жилья в аренду

Корпорация может участвовать в проектах менее, чем на 100%. В этом случае недостающие средства вносят другие инвесторы, а все затраты и поступления для компании уменьшаются пропорционально доле участия. Например, если компания примет решение участвовать в проекте развития на уровне 30%, все данные таблицы 2 надо умножить на 0,3. Проводимая компанией политика запрещает занимать деньги. Однако в начале каждого 6-месячного периода на все свободные средства (не вложенные в проекты развития и аренды) можно купить депозитный сертификат прибыль от которого для 6-месячного периода составляет 7%. Нужно решить, какую часть имеющихся 2 млн. вложить в каждый из двух проектов, а какую просто положить на депозит под 7% полугодовых. Цель руководства компании − максимизировать средства компании по окончании 24 месяцев.

20