3487
.pdf8. |
|
Уравнение |
x2 |
- |
|
|
y 2 |
|
|
= -1 задает гиперболу, сопряженную к (10). Для |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a 2 |
b2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
сопряженной |
гиперболы b – действительная полуось, a – мнимая |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
полуось. |
|
Она |
расположена |
|
в |
области |
|
y |
|
³ b .(на |
рис. 6 |
изображена |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
пунктиром). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«Вырождения» гиперболы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
y x |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
= 0 , |
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
= 0 отсюда |
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
= 0 и |
|
|
|
+ |
|
|
= 0 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
b a |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a b |
|
|
|
|
|
|
a b |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
или |
y = |
b |
x |
|
и |
|
|
|
y = - |
b |
x – |
пара пересекающихся прямых. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
Пример. |
|
Точка M (6,-2 |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
лежит на гиперболе, уравнения асимптот |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
которой y = ± |
2 |
x . Составить уравнение гиперболы и построить ее. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Решение. Каноническое уравнение гиперболы |
x2 |
|
|
- |
y 2 |
|
=1, т.к. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
a 2 |
|
|
b2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
асимптоты y = ± |
2 |
x , то |
b |
= |
2 |
, b = |
2 |
a . Подставим последнее в уравнение |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
- |
y 2 |
|
× 9 =1, далее т. M (6,-2 |
|
) лежит на гиперболе, т.е. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
гиперболы: |
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a 2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4a 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
36 |
- |
|
8 × 9 |
=1, |
|
144 - 72 |
=1, |
|
|
72 = 4a2 , |
a2 =18, |
|
a = 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 ; |
тогда |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4a 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
b = |
2 |
× 3 |
|
|
= 2 |
|
|
|
|
. Итак, искомое уравнение |
x2 |
|
- |
y 2 |
|
=1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y
22
- 3 2 |
3 2 |
x |
|
|
- 22
Рис. 7.
10
§ 5. Парабола. Каноническое уравнение параболы
Параболой называется множество, состоящее из всех точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки F , называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой директрисой (не содержащей т. F ).
Пусть p – расстояние от F до директрисы. По определению параболы
|
MF |
|
= |
MN |
|
, |
|
(11) |
|
|
|
|
где точка |
M – произвольная |
точка параболы, N – |
ее |
проекция на |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
директрису. |
Выберем систему |
координат так, чтобы |
т. |
F |
|
,0 была |
||||||
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
фокусом, а x = − p – директрисой. 2
y
N |
M(x,y) |
|
− |
p |
0 |
p |
|
x |
|
|
|
F |
|
,0 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
Рис. 8.
Запишем соотношение (11) в координатах:
|
p |
2 |
2 |
|
|
p 2 |
||
x − |
|
|
+ y |
|
= |
x + |
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
|
|
|
2 |
это и есть уравнение параболы. После упрощения получим: y 2 = 2 px
Уравнение (13) называется каноническим уравнением параболы. Основные характеристики параболы:
(12)
(13)
1.Парабола (13) симметрична относительно оси ox .
2.Точка O(0,0) – вершина параболы (13).
3.Фокальный радиус точки M(x,y) параболы: FM = x + p .
2
11
Уравнение вида |
y2 |
= −2 px |
(14) |
||||||
определяет параболу, для которой x ≤ 0 , т.е. график этой параболы: |
|||||||||
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M(x,y) |
|
|
|
|
|
|
||
|
0 |
|
|
p |
|
|
|||
|
− |
p |
|
|
|
x |
|||
F |
|
,0 |
|
|
2 |
|
|
||
2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнения вида |
x2 |
= 2 py |
|
|
|
(15) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
x2 |
= −2 py |
|
|
|
(16) |
||||
задают параболы симметричные относительно оси oy : |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
y |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
p |
|
|
|
|
0 |
|
x |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
F 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
M |
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
2 |
|
M |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F 0,− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
0 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− p N
2
Рис. 11.
Рис. 10.
|
|
|
|
«Вырождения» параболы: |
1. |
x2 |
= −k 2 , |
y 2 |
= −k 2 . Эти уравнения не определяют никакого точечного |
|
множества при k ¹ 0 . |
|||
2. |
x2 |
= k 2 , |
y2 |
= k 2 , эти уравнения определяют пару параллельных |
прямых: x = ±k и y = ±k . При k = 0 эти прямые совпадают.
12
Пример. Парабола, симметричная относительно оси oy , имеет вершину в начале координат и проходит через точку (6,-2). Написать уравнение параболы и определить координаты ее фокуса.
Решение. Уравнение параболы, симметричной относительно оси oy : x2 = 2 py либо x2 = -2 py . Подставим координаты точки в оба уравнения:
62 ¹ 2 p × (- 2), т.к. p > 0 . |
62 = -2 p × (- 2) |
|
36 = 4 p |
|
p = 9 |
Уравнение параболы x2 = -18y , ветви вниз и F (0;−4,5)
y
0 |
6 |
x
-2
F(0;-4,5)
Рис. 12.
§ 6. Применение преобразования координат к приведению уравнений кривых второго порядка к каноническому виду
Значения коэффициентов A, B,C общего уравнения (1) |
кривой II-го |
порядка Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 определяют, к |
какому типу |
относится кривая (эллиптическому, гиперболическому или параболическому). Так, например, если A = C и B = 0 , то кривая – окружность или ее «вырождения». В общем случае, если:
1.A B = AC - B2 > 0 , то кривая эллиптического вида.
B C
2.A B = AC - B2 < 0 , то кривая гиперболического вида.
B C
3.A B = AC - B2 = 0 , то кривая параболического вида.
B C
13
С помощью преобразований параллельного переноса и поворота координатных осей общее уравнение кривой II-го порядка можно привести к каноническому виду.
Рассматриваются следующие преобразования координат: 1) параллельный перенос координатных осей:
y y′
x
Рис. 13.
M (x, y) – точка с координатами в старой системе координат oxy , M (x′, y′) – точка с координатами в новой системе координат o′x′y′ ,
O′(a,b) –
системе.
x = x′ + ay = y′ + b
начало координат новой системы с координатами в старой
– формулы параллельного переноса координатных осей,
выражающие старые координаты через новые.
x′ = x − a |
– обратные формулы. |
|
|
y′ = y − b |
|
2) Поворот координатных осей на угол α :
M x′
α
Рис. 14.
M (x, y) – точка с координатами в старой системе координат oxy , M (x′, y′) – точка с координатами в новой системе координат o′x′y′ .
14
|
|
|
x = x′ × cosα - y′ × sinα |
– |
формулы преобразования координат т. M при |
|||||||||||
|
|
|
|
= x¢ × sinα + y¢ × cosα |
||||||||||||
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
повороте осей на угол α . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
x′ = x × cosα + y × sinα |
– |
обратные формулы. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
y¢ = -x × sinα + y × cosα |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Пример 1. С помощью параллельного переноса осей координат |
|||||||||||||
привести к простейшему виду уравнение кривой x2 |
+ 2 y2 − 4x + 8 y − 10 = 0 и |
|||||||||||||||
построить ее. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Решение. |
AC - B2 = 2 > 0 – |
кривая эллиптического типа. Преобразуем |
|||||||||||
данное уравнение – сгруппируем полные квадраты |
|
|||||||||||||||
|
|
|
x2 − 4x + 4 − 4 + 2(y 2 + 4 y + 4 − 4)− 10 = 0 |
|
||||||||||||
|
|
|
(x - 2)2 + 2(y + 2)2 = 22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
(x − 2)2 |
+ (y + 2)2 |
= 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
22 |
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Положим |
x - 2 = x′ |
эта |
система задает |
формулы параллельного |
|||||||||
|
|
|
|
= y¢ |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
переноса |
осей |
координат в т.O1 (2,−2). Получим уравнение эллипса: |
||||||||||||||
|
x12 |
+ |
y12 |
|
=11, |
|
|
a = |
|
|
, b = |
|
и |
|
||
|
|
с |
полуосями |
|
22 |
11 |
центром симметрии в |
|||||||||
22 |
|
|||||||||||||||
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
т. O1 (2,−2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
0 |
by′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-a |
|
|
|
|
|
a |
x′ |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-b
Рис. 15.
Замечание. С помощью параллельного переноса координатных осей удается в общем уравнении избавиться от слагаемых, содержащих x и y в первой степени.
15
Пример 2. Преобразовать уравнение xy = m (m > 0) к простейшему
виду.
Решение: AC - B2 = -1 < 0 – кривая гиперболического типа. Повернем заданную систему координат на угол α .
Подставим в заданное уравнение формулы
x = x′ × cosα - y′ × sinα |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
= x¢ × sinα + y¢ × cosα |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
(x′cosα − y′sinα )(x′sinα + y′cosα ) = m |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
x |
′2 |
cosα sinα − y |
′ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
′ ′ |
2 |
α − sin |
2 |
α ) = m |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
sinα cosα + x y (cos |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
cos2 α - sin2 α = 0 , |
|
|
cos 2α = 0 , |
2α = π , |
α = π . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
при α = π |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
||||||||||
Итак, |
|
|
мы избавились |
|
в уравнении от |
слагаемого, |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
содержащего произведение x′ × y′ и получили уравнение вида |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x¢2 |
× |
|
2 |
× |
|
|
2 |
- y¢2 × |
|
2 |
× |
|
2 |
= m |
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x′2 |
|
- |
y′2 |
|
=1 – это уравнение гиперболы с полуосями a = b = |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2m . |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
2m |
2m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′ |
y |
|
x′ |
||
|
2m
2m
x
- 2m
- 2m
Рис. 16.
Замечание. С помощью поворота координатных осей удается избавиться от слагаемого, содержащего произведение xy .
16
Пример. 3. Привести к простейшему виду и построить кривую, заданную уравнением: x2 + 4x + 3y + 6 = 0 .
Решение. AC - B2 = 0 – кривая параболического типа. Сгруппируем
полный квадрат и преобразуем данное уравнение: x2 + 4x + 4 − 4 + 3y + 6 = 0
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 2 = x¢ |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(x + 2) |
= -3 y + |
|
.Положим, что |
|
+ |
2 |
= y¢ |
являются |
формулами |
||||||||||
|
|||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
параллельного переноса в т. O1 |
|
- 2,- |
2 |
. |
Получим уравнение: |
x′2 = -3y′ – |
|||||||||||||
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
парабола с вершиной в т. O1 |
|
- 2,- |
|
и симметричная относительно оси oy′ . |
|||||||||||||||
3 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
y′ |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
-2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
O1 |
|
|
|
|
|
|
− |
2 |
|
|
|
x′ |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-2 |
3 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 17.
|
Пример 4. Построить кривую y = |
|
x + 3 |
. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x + 1 |
||
|
Решение. Перепишем уравнение 2xy - x + y - 3 = 0 , 2x + 1 ¹ 0 . |
|||||||||||||||||||||||
AC - B2 = -4 < 0 – |
кривая гиперболического типа. |
|||||||||||||||||||||||
|
Преобразуем данное уравнение: |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
5 |
|
|
|
|
|
||||||
|
2 y x + |
|
|
- |
x |
+ |
|
- |
|
= 0 |
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x + |
|
|
y - |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
= x¢ . Получим x¢ × y¢ = |
|
|
|
|
|||||||||
Положим x + |
|
|
|
5 |
. |
|||||||||||||||||||
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
y - |
1 |
= y¢ |
|
|
|
|
4 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
O¢ - |
|
, |
|
– |
|
новое начало координат после параллельного переноса. |
||||||||||||||||||
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
′ |
|
′ |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
o |
|||
Повернем оси координат o x |
|
и o y |
|
на угол 45 |
(см. пример 2). |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x′ = x′′ |
|
− y′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y′ = x′′ |
2 |
|
− y′′ |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Получим уравнение (x¢¢)2 × |
1 |
- (y¢¢)2 × |
1 |
= |
5 |
, |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
(x |
′′ 2 |
|
′′ |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
4 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
= 1 – |
|
гипербола, где |
a = b = |
2,5 . |
|
|||||||||||||||||||||||||
) − (y |
) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
2,5 |
2,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′ |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
y′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x′′ |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,5 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O′ |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x′ |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 1 |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,5 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 18.
Задание 1
1.01.Составить уравнение эллипса, имеющего общие фокусы с
гиперболой x2 |
− 2 y 2 |
= 24 , если эксцентриситет равен |
3 |
. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||
1.02. |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
Найти |
расстояние |
от |
центра |
окружности |
||||||||
x2 + y 2 + 6x + 2 y − 5 = 0 до асимптот гиперболы 9x2 |
− 16 y 2 = 144 . |
|
|
|
|
|
||||||
1.03. |
На |
параболе y2 = 32x |
взяты |
две точки |
M |
1 |
и M |
2 |
, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
расстояния которых до фокуса этой параболы равны 10. Составить уравнение окружности, диаметром которой является отрезок M 1 M 2 .
1.04. Вершины эллипса, большая ось которого лежит на оси абсцисс, совпадают с вершинами равносторонней гиперболы. Составить
18
уравнения обеих кривых, если известно, что точка M (6, 2), лежащая на гиперболе, равноудалена от ближайших к ней фокусов эллипса и гиперболы.
1.05. Ось симметрии параболы параллельна оси ординат, а уравнение директрисы y − 10 = 0 . Составить уравнение параболы, если она пересекает ось ox в точках (− 5,0) и (11, 0).
1.06. Вершина параболы совпадает с одним из фокусов гиперболы 9x2 − 16 y 2 = 144 . Составить уравнение параболы, если известно, что ее директриса проходит через точки (− 4,−3) и (− 4,3).
1.07. Директриса параболы пересекает эллипс 9x2 + 20 y 2 = 324 в точках (− 4,3) и (4,3), а расстояние от этих точек до фокуса параболы равно
25 . Составить уравнение параболы.
1.08. Равносторонняя гипербола x2 − y 2 = 16 проходит через фокусы эллипса. Составить простейшее уравнение этого эллипса, если
отношение эксцентриситетов гиперболы и эллипса равно |
3 . |
|
||||
1.09. |
Найти |
длину |
стороны квадрата, |
вписанного |
в эллипс |
|
9x2 + 16 y 2 |
= 576 . |
|
|
|
|
|
1.10. |
Найти |
угол, |
под которым |
из |
фокуса |
параболы |
x2 − 4x + 8y − 20 = 0 видна большая ось эллипса x2 + 2 y 2 |
= 16 . |
|
1.11.Написать каноническое уравнение эллипса, если его большая ось равна 16 , а фокусы отстоят от вершин на 0, 2 от ее длины.
1.12.Меридиан земного шара имеет форму эллипса, отношение
осей которого равно 299 . Определить эксцентриситет земного меридиана. 300
1.13.Написать уравнение окружности, проходящей через точки (− 1, 2) и (3, 0), зная, что ее центр лежит на прямой x − y + 2 = 0 .
1.14.Написать уравнение гиперболы, имеющей общие фокусы с
эллипсом |
x2 |
+ |
y 2 |
= 1 , если ее эксцентриситет равен 1, 25 . |
||||
|
|
|||||||
49 |
24 |
|
|
|
|
|
||
1.15. |
|
|
На эллипсе |
x2 |
+ |
y 2 |
= 1 найти точку, отстоящую на |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
30 |
24 |
|
расстояние пяти единиц от его малой оси.
1.16.Прямые x = 8, x = −8 служат директрисами эллипса, малая ось которого равна 8 . Найти уравнение этого эллипса.
1.17.Эллипс проходит через точки M (3,−2) и N (− 23,1).
Составить уравнение эллипса, приняв его оси за оси координат.
1.18. Составить уравнение гиперболы, проходящей через точку A(9,−8), если асимптоты ее заданы уравнениями 2x ± 3y = 0 .
19