3577

дель парожидкостной смеси в термодинамическом равновесии. В этом случае, нестационарное поведение парожидкостной смеси описывается

нелинейными уравнениями Эйлера для идеальной сжимаемой жидкости с баротропным уравнением состояния:

Связь между системами уравнений динамики стержня (4) и протекающей жидкости (5), (6) обусловлена, с одной стороны, заданием пра-

вых частей Frf , Ffz в системе (4), как функций текущих значений давления и скорости потока жидкости (в том числе коэффициентов k m , k j ) , a c другой стороны, зависимостью давления в систeмах (5), (6)

Погонная сила, действующая на криволинейных участках стержня ds со стороны жидкости (трением жидкости о стенки трубы пренебрегаем), имеет компоненты в локальном базисе

- единичный безразмерный орт нормали к осевой линии,

- ее кривизна в данной точке. Таким образом, правые части в системе (5) получим в виде

Поток жидкости внутри двигающейся трубы сопровождается возникновением силы Кориолиса, погонная компонента которой определяется следующим образом:

(8)

где СО - скорость поворота осевой линии трубы. Правые части в системе (4)получим в виде

Уравнения (I) - (8) описывают гидроупругопластическое волновое деформирование стержня с жидкостью с учетом больших перемещений его осевой линии. Полные перемещения определяются суммированием перемещений, полученных на каждом этапе dt, на которые разбивается процесс деформирования. Несмотря на то, что система уравнений (4) внешне выглядит как линейная, она является нелинейной, так как коор-

динаты осевой линии r(s, t), z(s, t), а следовательно, и rs , z s ,

Fr f, Fzf есть функционалы процесса деформирования. Вместе с тем

заметим, что приведенная постановка задачи учитывает влияние перемещения осевой линии трубопровода в плоскости на волновые процессы

в протекающей жидкости и наоборот.

Уравнения движения стержня (4) интегрировались вариационноразностным методом с использованием явной схемы «крест». Явные рекуррентные соотношения получаем при замене вариационного уравнения (3) дискретным аналогом и из условий независимости вариаций скоростей перемещений в узлах основной сетки

10

Расчет пластических компонент деформаций проводится итерациям, исходя из требований удовлетворения условию текучести. Для системы разностных уравнений (9) используется регуляризация, позволяющая смягчить условие устойчивости и повысить точность численных резуль-

ляется условием Куранта для продольных упругих волн

Уравнения гидродинамики (6) интегрируются по явной схеме Годунова.

Условие устойчивости для системы уравнений по схеме Годунова более мягкое, чем (10), и поэтому решение связанной задачи проводится

с шагом

Предварительное статическое напряженно-деформированное состояние трубопровода при действии на него стационарного потока жидкости определяется решением динамической задачи по описанной выше методике методом установления. Процедура вычислений, предложенная Баженовым В.Г., Ломуновым В.К., имеет итерационный характер и выглядит следующим образом. На первой итерации ненапряженный стержень приходит в движение и деформируется под действием стационарных сил. При достижении стержнем глобального максимума полной кинетической энергии

11

рой начальным условием является найденное на предыдущей итерации напряженно-деформированное состояние стержня; далее вновь решается

динамическая задача до того момента, когда кинетическая энергия Wi+1

достигает максимального значения. Процесс нахождения равновесного положения продолжается до удовлетворения условия

где - максимальные значения полной кинетической энергии в

таким образом статическое напряженно-деформированное состояние используется в качестве начальных условий для решения задачи нестационарного деформирования трубопровода.

В третьей главе приводится методика численного моделирования и алгоритм решения задач нелинейной динамики пространственно - кри-

волинейных трубопроводов с жидкостью.

В основу методики положены соотношения и алгоритм численного решения разработанные Баженовым В.Г. и Кибецем А.И. для анализа нелинейного динамического деформирования пространственных стержней, основанные на МКЭ. Автором диссертационной работы предложено развитие данного подхода применительно к трубопроводам с жидко-

стью.

Уравнение движения выводится из вариационного принципа Журде-

где

векторы, составленные из компонент тензоров деформаций и напряже-

- плотность трубы, {f} - распределенная нагрузка.

занимаемая конструкцией, Гр- область действия внешнего давления;

точка над символом означает частную производную по времени Л Скорости деформаций определяются в местной (сопутствующей) ортогональной системе координат {x}, отслеживающей смещение и поворот элементарного объема dV как жесткого целого:

ремещений в местной системе координат {х} . При упругопластическом

деформировании полные деформации раскладываются на пластические и упругие компоненты. Пластические деформации вычисляются с помощью соотношений теории течения с кинематическим и изотропным упрочнением.

13

Здесь одним и двумя штрихами обозначены упругие и пластические компоненты тензоров, Е - модуль Юнга, G - модуль сдвига, V - коэф-

лю при упругом деформировании и определяемый из условия прохождения мгновенной поверхности текучести через конец вектора догрузки в пространстве компонент девиатора напряжений при упругопластиче-

ском деформировании, Р - давление в протекающей жидкости. Нестационарное поведение жидкости или парожидкостной смеси в

трубе будем считать зависящим от значений осевой координаты X1,

времени ?, продольных деформаций трубы, и описывать приведенными ранее модифицированными уравнениями акустики или нелинейными

уравнениями гидродинамики.

Связь между системами уравнений динамики трубопровода, полученной из ( 1 1 ) и протекающей жидкости обусловлена как заданием пра-

вых частей ТУ , ТУ , функции текущих значений давления и скорости потока жидкости, так и зависимостью давления в жидкости от скорости

стках стержня dx1, со стороны жидкости (трением жидкости о стенки трубы пренебрегаем), имеет компоненты в локальном базисе

(13)

14

где К 2 , К3- проекции вектора кривизны на координатные плоскости

местного базиса, который в общем случае может не совпадать с осями сопровождающего трехгранника.

Для дискретизации определяющей системы уравнений динамики трубопровода по пространственным переменным используется метод конечных элементов, а по времени явная конечно-разностная схема типа «крест». Ось криволинейного стержня разбивается на ряд 2-узловых конечных элементов с линейными функциями формы. В каждом из них

пространстве, которого определяется осью стержня. Принимая гипотезу плоских сечений предполагаем, что деформации малы, а смещения и углы поворота поперечного сечения стержня произвольны. В пределах конечного элемента распределение скорости перемещения в поперечном сечении определяетсяформулами

перемещения центра КЭ.

углы поворота поперечного сечения относительно осей местного базиса {х}. Текущие значения скорости перемещений

оси стержня и угловые скорости поворота поперечного сече- ния определяются в узлах конечных элементов в общей системе координат {X} . При вычислении деформаций и напряжений они проецируют-

ся в местный базис. Скорости деформаций аппроксимируются в стержневом КЭ линейными функциями в виде суммы безмоментных и моментных составляющих.

С учетом принятых гипотез уравнение (! 1) для стержневого конечного элемента длиной запишется в виде:

(15)

15

стержневой модели

моментов от распределенной на боковой поверхности трубы нагрузки - вектор сил дейст-

вующих на трубу, на криволинейных участках со стороны жидкости; вектор силы Кориолисса;

вектор сил и моментов от распреде-

ленной нагрузки на торцах трубы. Компоненты векторов

вычисляются по формулам (16).

Для вычисления геометрических характеристик и компонент обобщенных внутренних сил, поперечное сечение трубы покрывается четырехугольными ячейками, внутри которых напряжения и пластические деформации предполагаются постоянными и равными их значени-

ям в центрах ячеек.

16

Уравнения гидродинамики интегрируются также по явной схеме С.К.Годунова.

В четвертой главе.

Приводятся результаты тестирования разработанных численных

методик и программ путем сравнения с известными численными и экспериментальными результатами.

В частности, сравнивались с результатами полученными в экспериментах (N.Chiba, N.Sueyoshi. J.Kaneko) no деформированию плоско-

криволинейного трубопровода при действии приложенной на свободном конце следящей силы.

Параметры трубы (смотри рис. 1):

(в качестве материала взята

рая аппроксимируется в виде, изображенном на рис. 2. На рис. 3 приводится изменение во времени скорости концевой точки в направлении поворота трубы. А на рис.4 показаны формы трубы в различные моменты времени (кривая1 -t=80 мс; кривая2 -t=120 мс; криваяЗ - t=160 мс). На этих рисунках, штриховая линия - результат эксперимента, сплошная линия - результат численного решения по данной методике. В целом

получено хорошее сходство в результатах, даже при отсутствии точных значений характеристик материала трубы.

Решение задачи о нелинейном динамическом деформировании трубопровода со стационарным потоком жидкости при разрыве по полному

сечению сравнивалось с численными результатами (Белостоцкий A.M. и др.). Параметры трубопровода:

Поток жидкости предпо-

лагался стационарным с Для моделирования разрыва ставятся граничные усло-

ловия на свободном крае. В начальный момент времени смешения, напряжения и деформации в трубопроводе отсутствуют. Формы трубопровода в различные моменты времени приведены на рис. 5: сплошная лилиния решения по методике автора, штриховые - результаты (Белостоц-

17

кий A.M.), трубопровод в моменты времени t=0;33;66;88 мс, соответственно. Трубопровод испытывает большие смещения, что вызывает пластические деформации в зоне заделки. В целом наблюдается удовлетворительное соответствие между результатами, что свидетельствует о достоверности численных решений в данной постановке,

С целью апробирования методики для гидроупругих систем проводилось сравнение с численными результатами (Уиггерт Д.С., Хатфилд Ф.Дж., Штукенбрук), где решалась задача о гидравлическом ударе в трубопроводе при быстром закрытии клапана на одном из его концов. Параметры трубопровода:

и для рассматриваемой задачи при s=0 и s=L выполняются условия жесткого закрепле-

края s=0 постоянную подпитку жидкости из резервуара с постоянным давлением, а с края s=L - закрытие "клапана" за время t*=0,2 мс. В начальный момент времени смещения, напряжения и деформации в трубопроводе отсутствуют. Зависимость давления жидкости в районе клапана от времени приведены на рис. 6. Сплошные линии - решение по данной методике, штриховые - результаты (Уиггерт и др.). В целом наблюдается удовлетворительное соответствие между результатами. Деформирование трубы в данной задаче происходит упруго.

Наряду с тестированием разработанной программы приведены результаты численных исследований взаимного влияния деформационных и гидродинамических процессов.

В частности, на рис. 7 приведены численные результаты решения задачи в полной гидроупругой постановке (сплошные линии) и в несвязанной постановке (штриховые линии). В обоих случаях поток жидкости предполагается нестационарным с начальными данными Рн=5,05 МПа, VH=7,92 м/с и краевыми условиями: при s=0 V(0, t) = 7,92 м/с (посто-

янный расход жидкости), при s=L P(L,t)=0,l МПа (свободное истечение); предварительное статическое напряженно-деформированное состояние не учитывалось. В несвязанной постановке предполагалось в уравнениях гидродинамики (4) и при определении

18