3632

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

y′′′ = cos2 3x ,

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.11.2023

Размер:

377.79 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

y = ∫ϕ (x, C1 ) dx + C2 .

Пример 3. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения

y¢¢ - 2 ctg x × y¢ = sin	3			π		π		1		y¢	π
		x при начальных условиях	y		=		-		;			= 1.
				2		4		3			2

Решение. Это уравнение 2го порядка не содержит явно функции у. Полагая y′ = z , получаем уравнение первого порядка относительно этой вспомогательной функции z, зависящей от х:

z¢ - 2 ctg x × z = sin 3 x .

Это линейное уравнение 1го порядка относительно функции z.

Заменяем z = uv ,

где

′

функции, зависящие от х.

z (x)

= u v + v u , u и v –

Подставляем:

u¢v + v¢u - 2 ctg x × uv = sin 3 x .

Группируем 2-е и 3-е слагаемые

и выносим и за скобку

u¢v + u(v¢ - 2 ctg x × v) = sin 3 x ,

(1)

Получаем два уравнения

(v′ - 2ctgx × v) = 0

u¢v = sin 3 x

= 2ctgx × dx

u¢sin 2 x = sin 3 x

du = sin xdx

= 2 ln

sin x

v = sin2 x

u = − cos x + C1

Откуда

z = -sin 2 x × cos x + С sin 2

x .

Так как

z = y′ ,

то, интегрируя, получим общее решение

y = ∫(- sin 2 x × cos x + С1 sin 2

x)dx = -

sin 3

sin 2x

x -

+ С2 .

Используя начальные условия, получаем:

С1 = 1,

С2 = 0 .

sin 3 x

sin 2x

Итак,

y = -

x -

- частное решение.


III Уравнение вида			′		′′		) = 0 , или y			′′	′
	F (y, y , y										= f ( у, у ) .
Для понижения порядка уравнения введём новую функцию P = P( y) ,
полагая y′ = P( y) . Тогда	y¢¢ =	dP	×	dy		= P		dP	= P × P¢ .		Теперь данное уравнение

		dy		dx				dy

сведется к уравнению первого порядка

F (y, P, P′)=0.

Общим решением этого дифференциального уравнения I порядка будет функция P( y) = ϕ ( y, C1 ) . Заменяя функцию P( y) на y′ , получаем y′ = ϕ (y,C1 ). Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, интегрируя которое, получаем общий интеграл данного уравнения:

∫ϕ ( y,C1 ) = x + C2 .

Пример 4. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения

′′

′

y y

+ 1 = 0 при начальных условиях: y(0) = 1, y (0) = 0 .

Решение. Это уравнение не содержит явно аргумента х. Сделаем замену

y′ = P( y) . Тогда y¢¢ =

× P .

Данное уравнение преобразуется в уравнение

первого порядка

с разделяющимися переменными

× y3 = -1.

Разделяя переменные и интегрируя, получим:

+ С ,

2 y2

P = ±

+ 2С1 .

′

откуда

y 2

Так как

P = y

то dx = ±

y 2

+ 2С1 .

Прежде чем интегрировать это уравнение целесообразно найти значение

0 = ±

, откуда С = -

постоянной С1:

1 + 2С

. Подставляя это значение С1 в

последнее уравнение, разделяя в нем переменные и интегрируя, получим

ydy

= ± x

+ С2 .

∫

1 − y 2

Далее −

= ± x + С2 . Находим значение С2

y = 1, С2 = 0 .

1 − y 2

при x = 0 ,

Получаем искомый частный интеграл

−

= ± x

x2 + y 2 = 1 .

1 − y 2

или

Частным	решением, удовлетворяющим			заданным начальным условиям

y(0) = 1 и	′	= 0	будет функция y = +	1 − x	2	.
	y (0)

Решить задачу Коши:

6.01	y′′′ = sin x ,
6.02	y ′′′ =			1	,

				x
6.03	y′′′ = cos x ,
6.04	y′′′ = sin 2 x ,
6.05	y′′′ = ln x ,
		′′′	1

6.06	y		= x2 ,

6.07	y′′′ = cos2 x ,
6.08	y′′′ = x sin x ,

6.09y′′′ = x cos x ,

6.10y′′′ = sin 2 2x ,

6.11y′′′ = e2 x ,

6.12y′′′ = cos2 2x ,

		′′′		1
6.13	y		= x3		,

6.14y′′′ = sin 2 3x ,

6.15y′′′ = xe2 x ,

Задание №6

′

′′

= 0

y(0) = y (0) = y (0)

y(1) =

;

′

′′

y (1) = y (1) = 0

′

′′

y(0) = y (0) = 0;

y (0) = 1

y(0) = 0;

′

′′

;

y (0) =

y (0) = 0

y(1) = −

′

′′

= 0

;

; y (1) =

y (1)

y(1) = 0;

′

′′

y (1) = 1;

y (1) = 0

y(0) = 0;

′

;

′′

= 0

y (0)

y(0) = 2;

′

′′

y (0)

= y (0) = 0

′

′′

= 1

y(0) = y (0) = 0

y (0)

y(0) = 0; y′(0) = 1 ; y′′(0) = 0 32

y(0) =	1	′	=	1	′′	=	1
	;			;
		y (0)			y (0)		2
	8			4

y(0) = 0; y′(0) = − 1 ; y′′(0) = 0 32

y(1) = 0; y′(1) = 1 ; y′′(1) = − 1 2 2

y(0) = 0; y′(0) = 1 ; y′′(0) = 0 72

y(0) = −	3	′	= −	1	′′	= −	1

	16	; y (0)		4	; y (0)		4

6.18y′′′ = sin 2 4x ,

6.19y′′′ = e−4 x ,

6.20y′′ = tg 2 x ,

6.21y′′ = ctg 2 x ,

6.22y′′′ = cos2 4x ,

6.23y′′′ = sin 2 x ,

6.24 y′′′ = cos2 x ,

6.25y′′′ = e−2 x ,

6.26y′′′ = sin 2 x ,

6.27 y′′′ = cos2 x ,

6.28y′′′ = e−3x ,

6.29y′′′ = sin 2 x ,

6.30 y′′′ = cos2 x ,

y(0) = 0; y′(0) = − 1 ; y′′(0) = 0 72

y(1) = −

′

′′

= −

; y (1) =

; y (1)

′

′′

= 0

y(0) = 0; y (0)

; y (0)

128

y(0) = −

′

′′

= −

; y (0)

′

y(0) = y (0) = 0

′

y( ) = y (

) = 0

′

= −

′′

= 0

y(0) = 0; y (0)

128

; y (0)

y(0) = 0; y′(0) = 1 ; y′′(0) = 0 2

y(0) = 0; y′(0) = − 1 ; y′′(0) = 0 2

y(0) = −

′

′′

; y (0) =

; y (0) = −

y(0) = 0;

′

;

′′

y (0)

y (0) = 0

y(0) = 0;

′

= −

;

′′

y (0)

y (0) = 0

y(0) = −

′

′′

= −

;

; y (0)

y (0)

y(0) = 0;

′

= 2;

′′

y (0)

y (0) = 0

y(0) = 0;

′

= −2;

′′

y (0)

y (0) = 0

Задание №7

Решить задачу Коши:

7.01	xy′′ + xy′ = y′ ,
7.02	x2 y′′ = (y′)2 ,
7.03	x3 y′′ + x2 y′ = 1,
7.04	y′′ + y′ tg x = sin 2x
7.05	xy′′ − y′ = x2e x ,
7.06	y′′ + 2x(y′)2 = 0 ,
7.07	′′	′	,
	y x ln x = y
7.08	y′′ − y′ctg x = sin 2x ,

7.09y′′(e x + 1)+ y′ = 0 ,

7.10y′′ + y′ = xy′′ ,

		′′		′		2
7.11	xy		− 2 y		= − x2			,

7.12	xy′′ = y′ + x sin						y′		,

								x

7.13x2 y′′ + xy′ = 1,

7.14(1 − x2 )y′′ + xy′ = 2 ,

7.15xy′′ − y′ = x ,

y(1) = 0;				′	= 1
y(1) = 0;				y (1)	= 1
y(1) = 2;				′	= 2
y(1) = 2;				y (1)	= 2
	′
y(1) = y (1) = 0
y(0) = 1;				′	= 0
y(0) = 1;				y (0)	= 0
	′
y(1) = y (1) = 0
y(0) = 2;				′		= 9
y(0) = 2;				y (0)		= 9
				′		= 4
y(e) = 2; y (e)						= 4
π	=	π				π	= 0
y	=		2	; y′			= 0
2			2			2
y(0) = 3;				′		= 2
y(0) = 3;				y (0)		= 2
y(0) = 2;				′		= −1
y(0) = 2;				y (0)		= −1
y(1) = 0;				′	= 0
y(1) = 0;				y (1)	= 0
y(1) =	π				′			π
y(1) =	2		− 1; y (1) =					2
	2							2
y(1) = 0;				′	= 1
y(1) = 0;				y (1)	= 1
y(0) = 0;				′		= 2
y(0) = 0;				y (0)		= 2
y(1) = 0;				′	= 0
y(1) = 0;				y (1)	= 0

7.16xy′′ − y′ = x3 ,

7.17(x − 3)y′′ + y′ = 0 ,

7.18(1 + x2 )y′′ + xy′ = 0 ,

7.19y′′ − y′ = xe2 x ,

7.20	x4 y′′ + x3 y′ = 4 ,
7.21	tg xy′′ − y′ +	1	= 0 ,

sin x

7.22(1 + x2 )y′′ + 2xy′ = x3 ,

7.23(1 + x2 )y′′ + 2xy′ = 12x3 ,

7.24	y	′′	+		2x	y		′	= 2x ,
				1 + x2

7.25	xy′′ + y′ =					1			,

							x

7.26(x + 1)y′′ + y′ = x + 1,

7.27y′′ tg 5x = 5 y′ ,

7.28(1 + sin x)y′′ = y′cos x ,

7.29y′′ tg x = y′ + 1,

7.30tg x × y′′ = 2 y′ ,

y(1) = 0;	′	= 0
	y (1)
y(4) = 0;	′
	y (4) = 1

y(0) = y′(0) = 1

= y′

= 0

y(1) = 1;

′

y (1) = 0

= 0;

y′

′

y(0) = y (0) = 0

y(0) = 0;

′

= 1

y (0)

y(0) = 0;

′

y (0)

y(1) = 4;

′

y (1) = 0

y(0) = 0;

′

y (0)

= 0;

y′

= 1

y(0) = 0;

′

= 1

y (0)

= 0;

y′

= 0

= 1

;

y′

Задание №8

Решить задачу Коши:

8.01

′′

128 y

y(0) = 1;

′

= 8

y (0)

8.02

′′

= −64

y(0) = 4;

′

= 2

y y

y (0)

8.03

′′

+ 8sin y cos

y = 0 ,

y(0) = 0;

′

= 2

y (0)

8.04

′′

′

y(0) = 1;

′

= 2

− (y )

= y y

y (0)

8.05

y(y − 1)y

′′

= (y

′

) ,

y(0) = y (0) = 2

8.06

(y + 2)(y + 3)y

′′

(y ) ,

y(0) = −1;

y (0) = 1

′ 2

′

8.07

(y − 4)(y − 5)y

′′

(y ) ,

y(6) = 6;

y (6) = 1

′ 2

′

8.08

2(y

′

′′

y(0) = 1;

′

= 1

)

= y y ,

y (0)

8.09

′′

= (y

′

tg y ,

y(0)

;

′

)

y (0) = 1

8.10

′′

′ 2

y(0)

;

′

sin y = (y )

y (0) = 1

′′

+ 1 = (y

′ 2

′

8.11

y(0) = 1;

= 10

) ,

y (0)

8.12

(1 + y)y

′′

′

y(0) = 1;

′

= 2

(y )

y (0)

8.13

′′

+ 9 = 0 ,

y(0) = 1;

′

= 3

y (0)

8.14

′′

′

y(0) = 0;

′

= −3

2 y(y )

= 0

y (0)

8.15

′′

′ 2

y(0) =

;

′

tg y = 2(y )

(0) = 1

8.16

′

+ 2 yy

′′

= 0 ,

′

(y )

y(0) = y (0) = 1

8.17

′′

′

y(0) = 1;

′

= 2

= (y )

y (0)

8.18

2(y

′ 2

= ( y − 1) y

′′

y(0) = 2;

′

= 1

)

y (0)

8.19

′′

′

= 0

′

+ (y )

y(0) = y (0) = 1

8.20

′′

sin y =

′

y(0) =

;

′

2(y )

(0) = 1

8.21

′′

= y

− 16 ,

y(0) = 2

′

y (0) = 2

8.22

′′

′

= y

ln y ,

′

− (y )

y(0) = y (0) = 1

8.23

′′

+ 50sin y cos

y = 0 ,

y(0) = 0;

′

= 5

y (0)

8.24

′′

+ y = b ,

y(0) = 26;

′

y (0) = 0

8.25

′′

ctg y =

′

y(0) = 0;

′

= 1

2(y )

y (0)

8.26

′′

+ y =

′ 2

y(0) = 1;

′

= 2

)

y (0)

8.27

′′

= 72 y

y(2) = 1;

′

= 6

y (2)

8.28

2 yy

′′

= y

+ (y

′

y(0) = 1;

′

= 0

)

y (0)

8.29

′′

= 50sin

y cos y ,

y(1) =

;

′

(1) = 5

8.30

− y

′′

= 1,

y(0) =

′

y (0) =

Литература

1.Важдаев, В.П. 64 лекции по математике.Книга 2/ В.П .Важдаев, М.М .

Коган , М.И. Лиогонький , Л.А. Протасова– Н. Новгород,: ННГАСУ, 2012г.-284с.

2.Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.2/ П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я Кожевникова. — М.: Высшая школа, 1980. —365 c.

3.Берман, Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа/Г.Н.Берман - М.: Наука, 2004г. - 416 с.

4.Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. Т.2/Н.С. Пискунов. — М.: Наука, 1970. — 310 c.

Оглавление
§1. Основные понятия...............................................................................................	3
§2. Задачи на составление дифференциальных уравнений ..................................	4
Задание №1 ..................................................................................................................	8
§3. Дифференциальные уравнения первого порядка. Типы уравнений и
методы их решений...................................................................................................	10
3.1. Уравнения с разделяющимися переменными.............................................	10
Задание №2 ................................................................................................................	12
3.2. Однородные дифференциальные уравнения ..............................................	15
Задание №3 ................................................................................................................	18
3.3. Линейные уравнения первого порядка........................................................	20
Задание №4 ................................................................................................................	21
3.4. Уравнение Бернулли......................................................................................	24
Задание №5 ................................................................................................................	26
§4. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие
понижение порядка...................................................................................................	28
Задание №6 ................................................................................................................	31
Задание №7 ................................................................................................................	34
Задание №8 ................................................................................................................	36
Литература .................................................................................................................	38

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.11.2023377.47 Кб03628.pdf
#
21.11.2023377.53 Кб13629.pdf
#
21.11.2023111.98 Кб0363.pdf
#
21.11.2023377.57 Кб03630.pdf
#
21.11.2023377.72 Кб03631.pdf
#
21.11.2023377.79 Кб03632.pdf
#
21.11.2023377.82 Кб03633.pdf
#
21.11.2023378 Кб03634.pdf
#
21.11.2023378.19 Кб03635.pdf
#
21.11.2023378.43 Кб03636.pdf
#
21.11.2023378.47 Кб13637.pdf