3709
.pdfy = u × v = (e x2 + C )× e−x2 , т.е. y = Ce−x2 + 1.
Используя начальные условия y(0) = 4 , получим 4 = С + 1; С = 3; т.о. y = 3e−x2 + 1 - частное решение заданного уравнения.
Пример 2. Найти общее решение уравнения 2 ydx + ( y 2 - 6x)dy = 0 . Решение. Если это уравнение разрешить относительно производной
dy |
= - |
2 y |
|
, |
|
y 2 - |
|
||
dx |
6x |
то мы не сможем отнести его ни к одному из рассмотренных ранее типов. Оно будет линейным относительно функции x( y) и ее производной x′ , если
записать его в виде
|
dx |
= - |
y 2 - 6x |
или |
x¢ - |
3 |
× x = - |
y |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
dy |
2 y |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Воспользуемся подстановкой |
x = u( y) × v( y) . Подставим |
x и |
x |
′ |
′ |
′ |
в |
|||||||||||||||||
|
= u v + v u |
|||||||||||||||||||||||
уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
u¢v + v¢u - |
3 |
× uv = - |
|
y |
, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
u¢v + u(v¢ - |
3 |
× v) = - |
y |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Получим два уравнения с разделяющимися переменными.
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||
1) v¢ - |
|
|
× v |
= 0 |
|
|||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
dv |
= |
|
|
3v |
|
и |
|
||||
|
dy |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
dv |
= |
3dy |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
v |
|
|
|
y |
|
|
|
||||
ln v = 3ln y |
|
|
||||||||||
v = y3 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
Общее решение |
|
|
|
x = u × v = |
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 y |
2)u¢v = -
du × y3 dy
du = -
u = 1 2 y
|
× y3 . |
+ C |
|
|
|
|
|
y
2
=- y
2
1
2 y 2
+ C
20
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание №4 |
|||||||||
Решить задачу Коши. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
4. 01 |
y¢ - |
|
|
y |
= x × arctg x |
y(1) = - |
1 |
ln 2 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||
4. 02 |
y¢ + |
|
3x2 y |
=1 |
|
|
|
y(-1) = - |
5 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 -1 |
|
8 |
|
||||||||||||||||||||
4. 03 |
y′ - 2 y = 3x - 1 |
y(0) = |
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|||
4. 04 |
2 y′ − 6 y + x2 = 0 |
y(0) = 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||
4. 05 |
xy′ + y = x × sin x |
y(π ) = 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||
4. 06 |
y¢ + |
|
|
|
x2 y |
|
|
|
|
= x2 + x5 |
y(0) = 0 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
y¢ + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
y(5) = 0 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
4. 07 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= x - 2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
(x - 2)(x - 4) |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
2 y |
|
|
|
|
|
|
|
1 − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4. 08 |
y |
+ |
1 − x2 = (1 + x)3 |
y(0) = 0 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
4. 09 |
y¢ - |
|
|
|
|
xy |
|
|
|
|
= x3 |
y(5) = 0 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
x2 - |
9 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4.10 |
y′ + xy = x3 |
y(0) = 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4.11 |
y¢ + |
|
|
|
= e |
|
|
|
y(1) = 0 |
||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4.12 |
(x + 1)y′ − 3y = e x (x + 1)4 |
y(0) = 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||
4.13 |
y¢ + |
3 |
y = |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
y(1) = 0 |
|||||||||||||||||||
|
x3 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
4.14 |
y′ - y sin x = sin x cos x |
π |
|
||||||||||||||||||||||||||||
y |
= 0 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||
4.15 |
(1 + x2 )y′ − 2xy = (1 + x2 )2 |
y(0) = 0 |
21
4.16y¢ + y = 1x
e
4.17y′cos x + y sin x = 1
4.18y¢ + y cos x = 1 sin 2x
2
4.19y′ = y tg x + cos x
4.20y¢ + y = 2ln x + 1
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
4.21 |
y¢ + |
2xy |
|
= |
|
1 |
||
x2 |
- |
1 |
x4 |
-1 |
||||
|
|
|
||||||
4.22 |
y¢ + |
xy |
|
=1 |
|
|||
x2 |
+ |
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
4.23y′ − y ctg x = sin 3 x
|
|
′ |
|
|
|
xy |
|
|
1 |
||||
4.24 |
y |
|
+ |
|
|
|
|
= |
|
|
|
||
|
|
x2 + a2 |
|
|
|||||||||
|
|
x2 + a2 |
|||||||||||
4.25 |
y¢ + |
3x2 y |
=1 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
x3 + 8 |
|
|
|
|
|||
4.26 |
y¢ - |
|
|
sin 2x |
|
|
y =1 |
||||||
|
|
cos2 x + |
4 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4.27 |
y¢ - |
|
|
2sin x |
|
× y =1 |
|||||||
|
|
cos x + 1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.28xy′ + y = x cos x
4.29 y¢ - y tg x = 1 cos x
x2
4.30y¢ - xy = x2e 2
y(0) = 0
y(0) = 1
y(0) = 0
y(0) = 0
y(1) = 1
y(0) = 1
y(0) = 0
π = y 0
2
y(a3) = 1 2
y(0) = 1 8
y(0) = 0
y(0) = 0
y(π ) = 0
y(0) = 1
y(0) = 0
22
3.4. Уравнение Бернулли
Уравнение вида
y¢ + P(x) × y = Q(x) × y n ,
где n ¹ 0 , n ¹ 1, называется уравнением Бернулли. Левая часть у него такая же, как и у линейного уравнения, а в правой части стоит выражение ynQ(x) ,
где n – |
вещественное число, отличное от 0 и 1, Для его решения тоже можно |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
воспользоваться постановкой |
y = u(x) × v(x) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 1. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
xy¢ + y = y 2 ln x |
|
|
|
|
|
при начальных условиях y(1) = 1. |
|
(1) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Это уравнение Бернулли ( n = 2 ). Для интегрирования этого |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
уравнения воспользуемся подстановкой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = uv , y |
′ |
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
′ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= u v |
+ uv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Подставляем эти значения у и y′ |
в заданное уравнение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
′ |
) + uv = u |
2 |
v |
2 |
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(u v |
+ uv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
+ v) = u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
v |
2 |
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xu v + u(xv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Потребуем, чтобы |
xv′ + v = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Тогда |
|
xdv |
= −v , |
|
dv |
|
|
= − |
dx |
, |
|
|
|
|
|
∫ |
dv |
= −∫ |
dx |
, |
|
|
|
|
|
ln |
|
v |
|
= − ln |
|
x |
|
, |
v = |
1 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
dx |
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Подставляем найденное значение v в уравнение (2): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
u′ = u 2 |
ln x |
|
|
|
|
du |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
du |
|
|
ln x dx |
|
du |
ln x dx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= u 2 |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
= ∫ |
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||
|
x |
2 |
|
|
|
|
dx |
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
u |
2 |
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
2 |
x |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Выполняя интегрирование, получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
− |
1 |
= − |
1 |
|
(ln |
|
x |
|
+ 1) + C , |
|
|
|
или |
|
|
|
|
u = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
x |
+1 - Сx |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Так как y = uv , то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
- |
общее решение уравнения Бернулли. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
x |
|
+ |
1 - |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Решаем задачу Коши: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 = |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
1 − С = 1, |
|
|
|
|
С = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ln1 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом,
23
y = |
1 |
|
- искомое частное решение уравнения (1). |
|||
ln |
|
x |
|
|
||
|
|
|
+ 1 |
Уравнение Бернулли можно также решить с помощью подстановки z = y1−n , которая приводит данное уравнение к линейному.
Пример 2. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения
|
|
|
y′ − 2xy = 2x3 y2 |
при начальных условиях y(0) = 1. |
(1) |
||||||||||||||||||||||||
Решение. |
Это уравнение Бернулли, так как в правой части стоит выражение |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ynQ(x) = 2x3 y2 , т.е. n = 2 . |
|
|
||||||||||||||||||
Разделим обе части уравнения на у2 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y −2 y′ − 2xy −1 = 2x3 |
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
||||||||||||
Положим |
y −1 = z , |
|
тогда z′ = − y2 y′ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Умножая обе части уравнения (2) на (-1) и выполняя указанную |
|||||||||||||||||||||||||||||
подстановку, получим линейное уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z′ + 2xz = −2x3 |
|
|
|
|
|
|
|
(3) |
|||||||
Положим z = uv , z |
′ |
|
|
′ |
′ |
и подставим эти значения z и z |
′ |
в уравнение |
|||||||||||||||||||||
|
= u v + uv |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
(3): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
+ uv |
′ |
+ 2xuv = −2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
или |
|
|
|
′ |
+ u(v |
′ |
+ 2xv) = −2x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
(4) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
u v |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Потребуем, чтобы |
v′ + 2xv = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Тогда |
dv |
= -2xv , |
|
|
dv |
= -2x dx , ∫ |
dv |
= -2∫ x dx , |
ln |
|
v |
|
= -x2 , |
v = e−x2 . |
|||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
dx |
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Подставим v в уравнение (4): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
u¢e−x2 = -2x3 , |
|
|
|
du |
= -2x3e x2 , du = -2x3e x2 dx . |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Интегрируя это уравнение, находим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
z = u × v = Сe− x 2 |
|
|
|
u = С - x2e x2 + e x2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Откуда |
- x2 +1 - общее решение уравнения (3). |
|
|||||||||||||||||||||||||||
Так как z = |
1 |
, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
- общее решение уравнения (1). |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сe− x 2 - x2 +1 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решаем задачу Коши:
1 = |
1 |
, |
С = 0 . |
С × e0 +1 |
Таким образом, искомое частное решение имеет вид:
y = |
1 |
. |
1 - x2 |
Задание №5
Решить задачу Коши.
|
y¢ + |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(1) = 1 |
|||||||||
5. 01 |
= y3 × x 1 - x2 , |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||||||||||||||
5. 02 |
y 2 × y¢ + y3 =1 - x , |
y(0) = 0 |
|||||||||||||||||||||
5. 03 |
y¢ + |
y |
= |
|
|
× ln x , |
y(1) = 0 |
||||||||||||||||
y |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||||||||||||||
5. 04 |
y¢ + |
y |
= y3 x2 arcsin x , |
y(1) = 1 |
|||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||||||||||||||
5. 05 |
y¢ - |
|
y |
= |
|
|
× tg 2 x , |
y(π ) = 0 |
|||||||||||||||
xy |
|||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||||||||||||||
5. 06 |
y¢ - y = e2 x y 4 , |
y(0) = 1 |
|||||||||||||||||||||
5. 07 |
y 4 × y¢ + y5 = x2 + 1 , |
y(0) = 0 |
|||||||||||||||||||||
5. 08 |
y¢ + 2xy = 2x3 y3 , |
y(0) = 1 |
|||||||||||||||||||||
5. 09 |
xy¢ + y = y 2 ln x , |
y(1) = 1 |
|||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
5. 10 |
y¢ - 9x2 y = (x5 + x2 )y |
|
, |
y(0) = 0 |
|||||||||||||||||||
3 |
|||||||||||||||||||||||
5. 11 |
y¢ - y = xy 2 , |
y(0) = 1 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
y¢ - |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(1) = - |
3 5 |
||||||
5. 12 |
= y 2 x2 + 4 , |
||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
25 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
3 |
y¢ + |
y |
4 |
|
|
= sin x , |
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
5. 13 |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
= 0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5. 14 |
2 y¢y - |
y 2 |
|
= x2 ln x , |
|
|
|
y(1) = 0 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5. 15 |
y¢ - y tg x = - |
2 |
y 4 × sin x , |
y(0) = 1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2(y¢ + xy) = (x -1)e |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
5. 16 |
2 |
× y 2 , |
y(0) = 2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
5. 17 |
2xy¢ - 3y = -(5x2 + 3y)y3 , |
y(1) = |
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5. 18 |
2( y¢ + y) = xy 2 , |
|
|
|
y(0) = 2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
5. 19 |
2 y¢ + y cos x = y −1 × cos x(1 + sin x) , |
y(0) = 1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
5. 20 |
xy¢ - y = - y 2 × (ln x + 2)× ln x , |
y(1) = 1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
5. 21 |
3y¢ + 2xy = 2xy−2e−2 x2 |
, |
y(0) = 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
5. 22 |
4 y3 y¢ + |
y 4 |
= |
1 |
sin2 x , |
|
y(2π ) = 0 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5. 23 |
2xy¢ - 3y = -(20x2 + 12)y3 , |
y(1) = |
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5. 24 |
3xy¢ + 5 y = (4x - 5)y 4 , |
y(1) = 1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
5. 25 |
3dy = (1 - 3y |
3 |
)y sin x |
, |
|
π |
|
=1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
y(2) = 1 |
|
|
|
|
||||||||||
5. 26 |
xdy + y |
- |
|
|
|
y |
|
|
|
x dx |
= 0 , |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5. 27 |
2xy - |
dy |
- y 2 + x = 0 , |
|
y(1) = 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5. 28 |
yy¢ + y 2 = cos x , |
|
|
|
y(0) = 0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
5. 29 |
(y¢ - 2xy)× |
|
|
|
= x3 , |
|
|
|
y(0) = 0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
5. 30 |
yy¢ - y 2 = sin 2x , |
|
|
|
y(0) = 0 |
|
|
|
|
26
§4. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка
Дифференциальные уравнения второго порядка в общем случае записываются в виде
′ ′′ |
) = 0 |
|
F (x, y, y , y |
|
|
или в форме Коши |
|
|
y′′ = f (x, y, y′). |
|
|
Общее решение этого уравнения |
содержит две произвольные |
|
постоянные |
|
|
y = ϕ (x,C1 ,C2 ), |
|
Частным решением дифференциального уравнения 2го порядка является функция
y = ϕ(x,C1 °,C2 °),
где C1 ° и C2 ° определяются из общего решения путём подстановки в него
начальных условий: |
y(x0 ) = y0 и |
y |
′ |
(x0 ) = y |
′ |
|
0 . |
Одним из методов интегрирования дифференциальных уравнений высших порядков является метод понижения порядка, суть которого состоит в том, что с помощью подстановки данное уравнение сводится к уравнению, порядок которого ниже.
Рассмотрим три типа уравнений 2-го порядка, допускающих понижение порядка.
I Уравнение вида F (x, y′′) = 0 или y′′ = f (x) .
В этом случае порядок уравнения понижается путём последовательного интегрирования уравнения.
Пример 1. Найти общее решение уравнения |
y′′ = sin 3x |
||||||||||||||||
Решение. Запишем |
y′′ = |
dy′ |
, |
тогда |
dy′ |
= sin 3x , отсюда dy′ = sin 3xdx ; |
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
dx |
|
|
dx |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
y′ = ∫sin 3xdx = − |
1 |
cos 3x + C1 . |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||
Интегрируя еще раз, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
∫ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
y = |
− |
|
cos 3x + C |
dx = − |
|
sin 3x + C x + C |
|
- общее решение. |
|||||||||
|
9 |
|
|||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
27
Замечание. Таким же образом можно решать уравнения более высокого порядка, если в уравнении содержится только старшая производная и независимая переменная, т. е. уравнения вида
y(n) = f (x) .
Пример 2. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения
y |
′′′ |
= 60x |
2 |
при начальных условиях |
′ |
′′′ |
= 2 . |
|||||||
|
|
y(0) = 0 , y (0) = 1 , |
y (0) |
|||||||||||
Решение. Запишем: y′′′ = |
dy′′ |
, |
тогда |
dy′′ |
= 60x2 , отсюда dy′′ = 60x2 dx ; |
|||||||||
|
|
|
|
|
dx |
|
dy′ |
|
dx |
|
|
|
||
|
|
y′′ = 20x3 + C1 , |
y′′ = |
, |
dy′ = (20x3 + C1 )dx , |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
y′ = 5x 4 + C1 x + C2 .
И, наконец, последнее интегрирование дает общее решение данного уравнения:
y = x5 + C1 x2 + C2 x + C3 .
2
Используя начальные условия, получаем значения произвольных постоянных С1 = 2, С2 = 1, С3 = 0 . Подставляя их в общее решение, получаем частное решение дифференциального уравнения:
y = x5 + x2 + x .
II Уравнение вида |
′ |
′′ |
) = 0 или |
y |
′′ |
|
′ |
F (x, y , y |
|
|
= f (x, у ) . |
||||
Введем переменную |
z , обозначив |
y′ = z , |
где z = z(x) - новая |
||||
неизвестная функция. Тогда |
y′′ = z′ |
|
и уравнение принимает вид: |
F (x, z, z′) = 0 .
Общим решением этого дифференциального уравнения I порядка будет функция z = ϕ (x,C1 ) . Заменяя z на y′ , получим еще одно дифференциальное уравнение 1 порядка
y′ = ϕ (x,C1 ) ,
интегрируя которое, получаем общее решение данного уравнения в виде:
y = ∫ϕ (x, C1 ) dx + C2 .
28
Пример 3. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения
|
3 |
|
π |
|
|
π |
|
1 |
|
π |
|
|
||
y¢¢ - 2 ctg x × y¢ = sin |
|
x при начальных условиях |
y |
|
|
= |
|
- |
|
|
; y¢ |
|
|
= 1. |
|
2 |
4 |
3 |
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Это уравнение 2го порядка не содержит явно функции у. Полагая y′ = z , получаем уравнение первого порядка относительно этой вспомогательной функции z, зависящей от х:
z¢ - 2 ctg x × z = sin 3 x .
Это линейное уравнение 1го порядка относительно функции z.
Заменяем z = uv , где |
|
′ |
|
|
′ |
′ |
|
функции, зависящие от х. |
|||||||||||||||||||
z (x) |
= u v + v u , u и v – |
||||||||||||||||||||||||||
Подставляем: |
|
u¢v + v¢u - 2 ctg x × uv = sin 3 x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Группируем 2-е и 3-е слагаемые |
и выносим и за скобку |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u¢v + u(v¢ - 2 ctg x × v) = sin 3 x , |
|
|
|
|
(1) |
||||||||||||
Получаем два уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1) |
(v′ - 2ctgx × v) = 0 |
|
|
2) |
|
u¢v = sin 3 x |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
dv |
= 2ctgx × dx |
|
|
|
|
|
u¢sin 2 x = sin 3 x |
|||||||||||||||||
|
|
|
v |
и |
|
|
|
|
du = sin xdx |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
ln |
|
v |
|
= 2 ln |
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
v = sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
u = − cos x + C1 |
|
|||||||||||||||
Откуда |
|
|
z = -sin 2 x × cos x + С sin 2 |
x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как |
z = y′ , то, интегрируя, получим общее решение |
|
|||||||||||||||||||||||||
y = ∫(- sin 2 x × cos x + С1 sin 2 |
x)dx = - |
sin 3 |
x |
|
С |
|
|
sin 2x |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
+ |
1 |
|
x - |
|
|
+ С2 . |
||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
||||
Используя начальные условия, получаем: |
С1 = 1, |
С2 = 0 . |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
sin 3 x |
|
1 |
|
sin 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Итак, |
y = - |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
x - |
|
|
|
- частное решение. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29