3717
.pdfIII Уравнение вида |
|
′ |
|
′′ |
) = 0 , или y |
′′ |
|
′ |
|||
F (y, y , y |
|
|
= f ( у, у ) . |
||||||||
Для понижения порядка уравнения введём новую функцию P = P( y) , |
|||||||||||
полагая y′ = P( y) . Тогда |
y¢¢ = |
dP |
× |
dy |
= P |
dP |
= P × P¢ . |
Теперь данное уравнение |
|||
|
|
|
|||||||||
|
|
dy |
dx |
|
dy |
|
|
|
|||
сведется к уравнению первого порядка |
|
|
|
||||||||
|
|
F (y, P, P′)=0. |
|
|
|
||||||
Общим решением этого дифференциального уравнения I порядка будет |
|||||||||||
функция P( y) = ϕ ( y, C1 ) . Заменяя функцию P( y) |
на y′ , получаем y′ = ϕ (y,C1 ). |
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, интегрируя которое, получаем общий интеграл данного уравнения:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
dy |
|
= x + C2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ ( y,C ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Пример 4. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
′′ |
3 |
+ 1 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|||||
|
|
y y |
0 при начальных условиях: y(0) = 1, y |
(0) = 0 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Это уравнение не содержит явно аргумента х. Сделаем замену |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y′ = P( y) . |
Тогда y¢¢ = |
|
dP |
× P . Данное уравнение преобразуется в уравнение |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
первого порядка |
|
с разделяющимися переменными |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
dP |
× y3 = -1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P2 |
|
1 |
|
|
|||
Разделяя переменные и интегрируя, получим: |
|
= |
+ С , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 y2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
P = ± |
y 2 + 2С1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
то dx = ± |
y 2 |
+ 2С1 . |
||||||||||||||||||||
откуда |
. Так как P = y |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Прежде чем интегрировать это уравнение целесообразно найти значение |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 = ± |
|
|
|
|
|
|
С = - |
1 |
. |
|
||||||||||||||||||||||||||
постоянной С1: |
|
1 + 2С |
|
, откуда |
Подставляя это значение С1 в |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
последнее уравнение, разделяя в нем переменные и интегрируя, получим |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ydy |
|
|
|
= ± x + С2 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ 1 − y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
− |
|
|
= ± x + С2 . |
|
|
|
|
|
при x = 0 , y = 1, С2 = 0 . |
|||||||||||||||||||||||||||||
Далее |
1 − y 2 |
|
Находим значение |
С2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Получаем искомый частный интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
= ± x |
|
|
или x2 + y 2 = 1 . |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − y 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Частным |
решением, |
|
|
|
удовлетворяющим |
заданным |
начальным условиям |
||||||||||||||||||||||||||||||||
y(0) = 1 и |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 - x |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
y (0) = 0 будет функция y = + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решить задачу Коши:
6.01 |
y′′′ = sin x , |
|||||||
6.02 |
y ′′′ = |
1 |
, |
|
||||
|
||||||||
|
|
|
|
|
x |
|||
6.03 |
y′′′ = cos x , |
|||||||
6.04 |
y′′′ = sin 2 x , |
|||||||
6.05 |
y′′′ = ln x , |
|||||||
|
|
′′′ |
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
6.06 |
y |
= x2 , |
||||||
|
||||||||
6.07 |
y′′′ = cos2 x , |
|||||||
6.08 |
y′′′ = x sin x , |
6.09y′′′ = x cos x ,
6.10y′′′ = sin 2 2x ,
6.11y′′′ = e2x ,
6.12y′′′ = cos2 2x ,
|
|
′′′ |
|
1 |
|
|
6.13 |
y |
= x3 |
, |
|||
|
6.14y′′′ = sin 2 3x ,
6.15y′′′ = xe2 x ,
6.16y′′′ = cos2 3x ,
Задание №6
|
|
|
′ |
|
′′ |
|
|
|
|
= 0 |
|
|
||
y(0) = y (0) = y (0) |
|
|
||||||||||||
y(1) = |
3 |
; |
|
′ |
|
|
′′ |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4 |
y (1) = y (1) = 0 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
y(0) = y (0) = 0; |
|
y (0) = 1 |
|
|||||||||||
y(0) = 0; |
|
′ |
|
1 |
|
|
′′ |
|
|
|||||
|
|
; |
|
|
||||||||||
y (0) = |
|
y (0) = 0 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
||
y(1) = − |
|
7 |
|
′ |
|
|
|
|
|
1 |
|
′′ |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||||
36 |
; y (1) = |
y (1) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|||
y(1) = 0; |
|
′ |
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
||||
|
y (1) = 1; |
|
y (1) = 0 |
|||||||||||
y(0) = 0; |
|
′ |
= |
1 |
; |
|
′′ |
= 0 |
||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
y (0) |
8 |
|
y (0) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y(0) = 2; |
|
′ |
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
||||
|
y (0) |
= y (0) = 0 |
|
|||||||||||
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
′′ |
= 1 |
|
||
y(0) = y (0) = 0 |
|
|
y (0) |
|
y(0) = 0; y′(0) = 1 ; y′′(0) = 0 32
y(0) = |
1 |
|
′ |
= |
1 |
|
′′ |
= |
1 |
; |
; |
|
|||||||
y (0) |
y (0) |
2 |
|||||||
|
8 |
|
|
|
4 |
|
|
|
y(0) = 0; y′(0) = − 1 ; y′′(0) = 0 32
y(1) = 0; y′(1) = 1 ; y′′(1) = − 1 2 2
y(0) = 0; y′(0) = 1 ; y′′(0) = 0 72
y(0) = − |
3 |
′ |
= − |
1 |
′′ |
= − |
1 |
|
|
|
|
|
|||||
16 |
; y (0) |
4 |
; y (0) |
4 |
||||
|
|
|
|
|
y(0) = 0; y′(0) = − 1 ; y′′(0) = 0 72
31
|
|
′′′ |
|
1 |
|
|
6.17 |
y |
= x4 |
, |
|||
|
6.18y′′′ = sin 2 4x ,
6.19y′′′ = e−4 x ,
6.20y′′ = tg2 x ,
6.21y′′ = ctg2 x ,
6.22y′′′ = cos2 4x ,
6.23y′′′ = sin2 x ,
2
6.24 y′′′ = cos2 x ,
2
6.25y′′′ = e−2 x ,
6.26y′′′ = sin 2 x ,
3
6.27 y′′′ = cos2 x ,
3
6.28y′′′ = e−3x ,
6.29y′′′ = sin2 x ,
4
6.30 y′′′ = cos2 x ,
4
y(1) = − |
1 |
|
|
′ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
′′ |
= − |
|
1 |
|
|
|||||
|
; |
|
|
|
; |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
y (1) = |
|
y |
(1) |
3 |
|
|||||||||||||||||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
′ |
= |
|
1 |
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y(0) = 0; y (0) |
|
|
|
|
|
|
; y (0) = 0 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
128 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
y(0) = − |
1 |
|
|
′ |
|
= |
|
|
1 |
′′ |
(0) |
|
= − |
1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
64 |
; y (0) |
|
|
|
|
|
; y |
|
4 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y(0) = y (0) = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
π |
|
|
′ |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y( ) = y ( |
) = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
= − |
1 |
|
|
′′ |
|
= 0 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
y(0) = 0; y (0) |
|
|
|
|
|
|
; y (0) |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
128 |
|
|
|
|
|
|
|
y(0) = 0; y′(0) = 1 ; y′′(0) = 0 2
y(0) = 0; y′(0) = − 1 ; y′′(0) = 0 2
y(0) = − |
1 |
|
′ |
|
|
1 |
|
|
′′ |
|
|
1 |
|
|
||||
; |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||
y |
(0) = |
|
|
|
y |
(0) = − |
2 |
|
|
|||||||||
|
|
8 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y(0) = 0; |
|
|
′ |
= |
9 |
; |
|
|
′′ |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
y |
(0) |
8 |
|
|
y |
(0) = 0 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y(0) = 0; |
|
|
′ |
= − |
9 |
|
|
|
′′ |
= 0 |
|
|||||||
|
|
; |
|
|
||||||||||||||
|
|
y |
(0) |
|
y (0) |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
′ |
|
|
|
|
|
1 |
|
′′ |
|
|
|
1 |
|
y(0) = − |
|
|
; |
y |
|
|
= |
|
; |
|
|
|
|
|||||
27 |
(0) |
9 |
y (0) = − |
3 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y(0) = 0; |
|
|
′ |
|
= 2; |
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
||||
|
|
y (0) |
|
|
y (0) = 0 |
|
||||||||||||
y(0) = 0; |
|
|
′ |
= −2; |
|
|
′′ |
= 0 |
|
|||||||||
|
|
y (0) |
|
y (0) |
|
32
Задание №7
Решить задачу Коши:
7.01 |
xy |
′′ |
+ xy |
′ |
= y |
′ |
, |
|
|
|
|
|
y(1) |
= 0; |
|
|
′ |
= 1 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (1) |
|
|
||||||||||||||||||||||||
7.02 |
x |
2 |
y |
′′ |
= |
|
|
|
′ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(1) |
= 2; |
|
|
|
′ |
= 2 |
|
|
|||||||
|
|
|
(y ) |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (1) |
|
|
|||||||||||||||||
7.03 |
x |
3 |
y |
′′ |
+ x |
|
2 |
y |
′ |
= 1, |
|
|
y(1) |
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= y (1) = 0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
7.04 |
y |
′′ |
|
|
|
|
′ |
tg x = sin 2x |
y(0) |
= 1; |
|
|
′ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
+ y |
|
y (0) = 0 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
7.05 |
xy |
′′ |
− y |
′ |
= x |
2 |
e |
x |
, |
|
|
y(1) |
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= y (1) = 0 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
7.06 |
y |
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
2 |
|
= 0 , |
|
y(0) |
= 2; |
|
′ |
|
= 9 |
|
|
|||||||||||||
|
+ 2x(y ) |
|
|
|
|
y (0) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
7.07 |
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(e) |
= 2; |
|
′ |
|
= 4 |
|
|
||||
y x ln x = y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (e) |
|
|
||||||||||||||||||||||
7.08 |
y′′ − y′ctg x = sin 2x , |
π |
|
= |
π |
; |
|
|
π |
= 0 |
|||||||||||||||||||||||||||
y |
|
|
2 |
y′ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
7.09 |
y |
′′ |
|
|
x |
+ 1) |
+ y |
′ |
= 0 , |
y(0) |
= 3; |
|
|
′ |
|
= 2 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
(e |
|
|
|
y (0) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
7.10 |
y |
′′ |
+ y |
′ |
= xy |
′′ |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
y(0) |
= 2; |
|
′ |
|
= −1 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (0) |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|||
7.11 |
|
|
− 2 y |
|
|
= − x2 |
, |
|
y(1) |
= 0; |
|
|
|
= 0 |
|
|
|||||||||||||||||||||
xy |
|
|
|
|
|
|
|
y (1) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
7.12 |
xy′′ = y′ + x sin |
|
y′ |
y(1) = |
π |
|
−1; |
|
′ |
|
|
π |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
y (1) = |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
7.13 |
x |
2 |
y |
′′ |
+ xy |
′ |
= 1, |
|
|
|
|
|
y(1) |
= 0; |
|
|
′ |
= 1 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (1) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
7.14 |
(1 − x |
2 |
)y |
′′ |
+ xy |
′ |
= 2 , |
y(0) |
= 0; |
|
′ |
|
= 2 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y (0) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
7.15 |
xy |
′′ |
− y |
′ |
= x , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(1) |
= 0; |
|
|
|
′ |
= 0 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (1) |
|
|
|||||||||||||||||||||
7.16 |
xy |
′′ |
− y |
′ |
= x |
3 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
y(1) |
= 0; |
|
|
|
′ |
= 0 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (1) |
|
|
33
7.17(x − 3)y′′ + y′ = 0 ,
7.18(1 + x2 )y′′ + xy′ = 0 ,
7.19y′′ − y′ = xe2 x ,
|
x |
|
|
7.20 |
x4 y′′ + x3 y′ = 4 , |
|
|
7.21 |
tg xy′′ − y′ + |
1 |
= 0 , |
|
|||
|
sin x
7.22(1 + x2 )y′′ + 2xy′ = x3 ,
7.23(1 + x2 )y′′ + 2xy′ = 12x3 ,
7.24 |
y |
′′ |
+ |
|
2x |
|
|
y |
′ |
|
= 2x , |
|
1 + x |
2 |
|
||||||||||
|
|
|
||||||||||
7.25 |
xy′′ + y′ = |
|
|
1 |
|
|
, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.26(x + 1)y′′ + y′ = x + 1,
7.27y′′ tg 5x = 5 y′ ,
7.28(1 + sin x)y′′ = y′cos x ,
7.29y′′ tg x = y′ + 1,
7.30tg x × y′′ = 2 y′ ,
y(4) = 0; |
′ |
= 1 |
|
|
|||||
y (4) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
y(0) = y (0) = 1 |
|
|
|
||||||
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|||
y |
|
|
|
= y′ |
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
y(1) =1; y (1) = 0 |
|
|
|||||||
π |
|
|
|
π |
|
1 |
|||
y |
|
= 0; |
|
y′ |
|
= |
|
||
|
2 |
||||||||
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
y(0) = y (0) = 0 |
|
|
|
||||||
y(0) = 0; |
|
′ |
=1 |
|
|||||
y (0) |
|
y(0) = 0; |
′ |
= |
|
1 |
|
|||||
|
|
|
||||||||
y (0) |
|
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(1) = 4; |
|
′ |
|
|
|
|
||||
y (1) = 0 |
|
|
||||||||
y(0) = 0; |
′ |
= |
|
1 |
|
|||||
|
|
|
||||||||
y (0) |
|
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
π |
|
|||||
y |
|
= 0; |
y′ |
|
|
|
|
= 1 |
||
|
|
|
|
|||||||
|
10 |
|
10 |
|
||||||
y(0) = 0; |
′ |
=1 |
|
|||||||
y (0) |
|
|||||||||
|
π |
= 0; |
π |
= 0 |
||||||
y |
|
y′ |
|
|||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
||||
|
π |
= |
π |
|
π |
= 1 |
||||
y |
|
; |
y′ |
|
|
|
||||
|
2 |
|
4 |
|
2 |
|
34
Задание №8
Решить задачу Коши:
8.01 |
y |
′′ |
= |
128 y |
3 |
, |
|
|
|
|
|
|
y(0) = 1; |
|
′ |
= 8 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (0) |
|
|||||||||||||
8.02 |
|
′′ |
|
3 |
|
= −64, |
|
|
|
|
|
|
y(0) = 4; |
′ |
|
|
|||||||
y y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (0) = 2 |
|||||||||||||
8.03 |
y |
′′ |
+ |
8sin y cos |
3 |
y = 0 , |
y(0) = 0; |
′ |
|
|
|||||||||||||
|
|
y (0) = 2 |
|||||||||||||||||||||
8.04 |
yy |
′′ |
|
|
|
|
′ 2 |
|
|
|
′ |
2 |
, |
y(0) = 1; |
|
′ |
= 2 |
|
|||||
|
|
− (y ) |
|
= y y |
|
|
y (0) |
|
|||||||||||||||
8.05 |
y(y − 1)y′′ = (y′)2 , |
y(0) = y′(0) = 2 |
|
|
|||||||||||||||||||
8.06 |
(y + 2)(y + 3)y′′ = (y′)2 , |
y(0) = −1; |
y′(0) = 1 |
||||||||||||||||||||
8.07 |
(y − 4)(y − 5)y′′ = (y′)2 , |
y(6) = 6; |
y′(6) = 1 |
||||||||||||||||||||
8.08 |
2(y |
′ |
2 |
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
y(0) = 1; |
|
′ |
= 1 |
|
||||||
|
) |
= y y , |
|
|
|
|
|
|
y (0) |
|
|||||||||||||
8.09 |
y |
′′ |
= (y |
′ 2 |
tg y , |
|
|
|
y(0) |
= |
π |
; |
′ |
|
|
||||||||
|
) |
|
|
|
4 |
y (0) = 1 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.10 |
y |
′′ |
sin y = (y |
′ |
2 |
, |
|
|
y(0) |
= |
π |
; |
′ |
|
|
||||||||
|
) |
|
|
|
|
3 |
y (0) = 1 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
′ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
||
8.11 |
yy |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
y(0) = 1; |
|
= 10 |
|||||||||
|
|
+ 1 = (y ) |
|
|
|
|
|
y (0) |
|||||||||||||||
8.12 |
(1 + y)y′′ = (y′)2 , |
|
y(0) = 1; |
|
y′(0) = 2 |
||||||||||||||||||
8.13 |
y |
3 |
y |
′′ |
+ 9 = 0 , |
|
|
|
|
|
y(0) = 1; |
|
′ |
= 3 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (0) |
|
|||||||||||||
8.14 |
y |
′′ |
+ |
2 y(y |
′ |
3 |
|
|
|
|
|
|
y(0) = 0; |
|
′ |
= −3 |
|||||||
|
) = 0 , |
|
|
y (0) |
|||||||||||||||||||
8.15 |
y′′ tg y = 2(y′)2 , |
|
|
y(0) = π ; |
y′(0) = 1 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35 |
|
|
|
|
|
|
8.16 |
|
′ |
2 |
+ 2 yy |
′′ |
= 0 , |
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
(y ) |
|
|
|
|
y(0) = y (0) = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
8.17 |
y2 y′′ = (y′)3 , |
|
|
|
|
y(0) = 1; |
|
|
|
y′(0) = 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
8.18 |
2(y′)2 = ( y − 1) y′′ , |
y(0) = 2; |
|
y′(0) = 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
8.19 |
yy |
′′ |
|
|
|
|
′ |
2 |
|
= 0 , |
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
+ (y ) |
|
|
|
|
|
y(0) = y (0) = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
8.20 |
y |
′′ |
sin y = |
|
|
|
|
′ |
2 |
|
|
y(0) = |
π |
; |
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2(y ) |
, |
|
2 |
|
|
|
y |
(0) = 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
′′ |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
||
8.21 |
y |
y |
= y |
− 16 , |
|
|
|
y(0) = 2 |
2; |
= 2 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y (0) |
|||||||||||||||||||||||||||
8.22 |
yy |
′′ |
|
|
|
|
′ |
|
2 |
|
|
= y |
2 |
ln y , |
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
− (y ) |
|
|
|
|
|
y(0) = y (0) = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
8.23 |
y |
′′ |
+ 50sin y cos |
3 |
y = 0 , |
y(0) = 0; |
|
′ |
|
= 5 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
y (0) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
8.24 |
y |
′′ |
+ y = b , |
|
|
|
|
|
|
|
y(0) = 26; |
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (0) = 0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
8.25 |
y |
′′ |
ctg y = |
|
|
|
|
′ |
2 |
|
|
y(0) = 0; |
|
′ |
|
= 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
2(y ) |
, |
|
|
y (0) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
8.26 |
yy′′ + y = (y′)2 , |
|
|
|
y(0) = 1; |
|
|
|
y′(0) = 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
8.27 |
y |
′′ |
= 72 y |
3 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
y(2) = 1; |
|
|
|
|
′ |
|
= 6 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (2) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
8.28 |
2 yy |
′′ |
= y |
2 |
+ (y |
′ |
2 |
, |
y(0) = 1; |
|
′ |
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
) |
|
y (0) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
8.29 |
y |
′′ |
= 50sin |
3 |
y cos y , |
y(1) = |
π |
; |
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
y |
(1) = 5 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8.30 |
y |
4 |
− y |
3 |
y |
′′ |
= 1, |
|
|
|
|
y(0) = |
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
2; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (0) = |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36
Литература
1.Важдаев, В.П. 64 лекции по математике.Книга 2/ В.П .Важдаев, М.М .
Коган , М.И. Лиогонький , Л.А. Протасова– Нижний Новгород,: ННГАСУ, 2012г.-284с.
2.Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.2/ П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я Кожевникова. — М.: Высшая школа, 1980. —365 c.
3.Берман, Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа/Г.Н.Берман - М.: Наука, 2004г. - 416 с.
4.Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. Т.2/Н.С. Пискунов. — М.: Наука, 1970. — 310 c.
37
Оглавление |
|
§1. Основные понятия............................................................................................... |
3 |
§2. Задачи на составление дифференциальных уравнений .................................. |
4 |
Задание №1 .................................................................................................................. |
8 |
§3. Дифференциальные уравнения первого порядка. Типы уравнений и |
|
методы их решений. .................................................................................................. |
10 |
3.1. Уравнения с разделяющимися переменными............................................. |
10 |
Задание №2 ................................................................................................................ |
12 |
3.2. Однородные дифференциальные уравнения .............................................. |
14 |
Задание №3 ................................................................................................................ |
17 |
3.3. Линейные уравнения первого порядка........................................................ |
19 |
Задание №4 ................................................................................................................ |
21 |
3.4. Уравнение Бернулли...................................................................................... |
23 |
Задание №5 .............................................................................................................. |
225 |
§4. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение |
|
порядка ....................................................................................................................... |
27 |
Задание №6 ................................................................................................................ |
31 |
Задание №7 ................................................................................................................ |
33 |
Задание №8 .............................................................................................................. |
335 |
Литература ................................................................................................................. |
37 |
38
Опалева Галина Павловна Сенниковская Людмила Семеновна
Дифференциальные уравнения первого и высших порядков
часть VI
Учебно-методическое пособие по подготовке к лекционным и практическим занятиям по дисциплине
«Математика» для обучающихся по направлению подготовки 13.03.01_Теплоэнергетика и теплотехника, профиль Промышленная
теплоэнергетика
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
603950, Нижний Новгород, ул. Ильинская, 65. http://www. nngasu.ru, srec@nngasu.ru
39