3952
.pdfy = u × v = (e x2 + C )× e−x2 , т.е. y = Ce−x2 +1.
Используя начальные условия y(0) = 4 , получим 4 = С + 1; С = 3; т.о. y = 3e−x2 +1 - частное решение заданного уравнения.
Пример 2. Найти общее решение уравнения 2 ydx + ( y 2 - 6x)dy = 0 . Решение. Если это уравнение разрешить относительно производной
dy |
= - |
2y |
, |
|
y 2 - 6x |
||
dx |
|
то мы не сможем отнести его ни к одному из рассмотренных ранее типов.
Оно будет линейным относительно функции x( y) |
и ее производной |
|
x′ , если |
|||||||||||||||||||||
записать его в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
= - |
y 2 - 6x |
или |
x¢ - |
3 |
× x = - |
y |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
2 y |
|
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Воспользуемся подстановкой x = u( y) × v( y) . Подставим x и |
x |
′ |
|
′ |
′ |
в |
||||||||||||||||||
|
= u v + v u |
|||||||||||||||||||||||
уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u ¢v + v¢u - |
3 |
× uv = - |
|
y |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
u¢v + u(v¢ - |
3 |
× v) = - |
y |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Получим два уравнения с разделяющимися переменными.
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
1) v¢ - |
|
|
× v |
= 0 |
||||
|
|
|||||||
|
|
|
y |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
dv |
= |
|
3v |
|
и |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
dy |
|
y |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
dv = 3dy v y ln v = 3ln y
v = y3
|
|
1 |
Общее решение |
x = u × v = |
|
|
||
|
|
|
|
2 y |
2)u¢v = -
du × y3 dy
du = -
u = 1 2 y
|
× y 3 . |
+ C |
|
|
|
|
|
y
2
=- y
2
1
2y2
+C
20
Задание №4
Решить задачу Коши.
4. 01 y¢ - y = x × arctg x x
4.02 y′ + 3x2 y =1
x3 −1
4.03 y′ - 2 y = 3x -1
4.04 2 y¢ - 6 y + x2 = 0
4. 05 |
xy′ + y = x × sin x |
|
|
|
|||||||||
4. 06 |
y′ + |
|
x2 y |
= x2 + x5 |
|||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
x3 +1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
y¢ + |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|||
4. 07 |
|
|
|
|
|
= x - 2 |
|||||||
|
|
|
|||||||||||
(x - 2)(x - 4) |
|||||||||||||
4. 08 |
y′ + |
|
|
2 y |
|
= |
1 − x |
|
|
|
|||
|
|
− x2 |
(1 + x)3 |
||||||||||
|
1 |
|
|||||||||||
4. 09 |
y¢ - |
|
xy |
= x3 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
x2 - 9 |
|
|
|
|
|
|
4.10y¢ + xy = x3
|
|
y |
1 |
||
4.11 |
y¢ + |
= e |
|
||
x |
|||||
x2 |
|||||
|
|
|
|
4.12(x +1)y¢ - 3y = ex (x +1)4
4.13y¢ + 3 y = 2
xx3
4.14y′ - y sin x = sin x cos x
4.15(1 + x 2 )y′ − 2 xy = (1 + x 2 )2
y(1)= −1 ln 2 2
y(-1) = - 5 8
y(0) = 1 4
y(0) =0
y(π) = 0
y(0) =0
y(5) = 0
y(0) =0
y(5) = 0
y(0) =0
y(1) = 0
y(0) =1
y(1) = 0
y π = 02
y(0) =0
21
4.16y¢ + y = 1x
e
4.17y′cos x + y sin x = 1
4.18y′ + y cos x = 1 sin 2x
2
4.19y′ = y tg x + cos x
4.20y¢ + y = 2 ln x + 1
|
|
x |
|
|
|
|
|
4.21 |
y¢ + |
2xy |
|
= |
|
1 |
|
x2 - |
1 |
x4 |
-1 |
||||
|
|
|
|||||
4.22 |
y¢ + |
xy |
|
=1 |
|
||
x2 + |
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
4.23y¢ - y ctg x = sin3 x
|
y′ + |
|
xy |
|
|
1 |
|||||
4.24 |
|
|
|
= |
|
|
|
||||
|
x2 + a2 |
|
|
||||||||
|
x2 + a2 |
||||||||||
4.25 |
y′ + |
3x2 y |
= 1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
x3 + 8 |
|
|
|
|
|||
4.26 |
y¢ - |
|
|
sin 2x |
|
|
y =1 |
||||
|
|
cos2 x + |
4 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4.27 |
y¢ - |
|
2sin x |
|
× y =1 |
||||||
|
cos x + 1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4.28xy′ + y = x cos x
4.29 |
y¢ - y tg x = |
1 |
|
||
cos x |
|||||
|
|
||||
|
y′ − xy = x 2e |
x2 |
|||
4.30 |
2 |
|
y(0) = 0
y(0) =1
y(0) = 0
y(0) = 0
y(1) =1
y(0) =1
y(0) = 0
π = y 0
2
y(a3) = 1 2
y(0) = 1 8
y(0) = 0
y(0) = 0
y(π ) = 0
y(0) =1
y(0) = 0
22
3.4. Уравнение Бернулли
Уравнение вида
y¢ + P(x) × y = Q(x) × y n ,
где n ¹ 0, n ¹1, называется уравнением Бернулли. Левая часть у него такая же, как и у линейного уравнения, а в правой части стоит выражение ynQ(x) , где n – вещественное число, отличное от 0 и 1, Для его решения тоже можно
воспользоваться постановкой |
|
y = u(x) ×v(x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 1. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
xy¢ + y = y2 ln x |
|
|
|
при начальных условиях y(1) = 1. |
|
(1) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Это уравнение Бернулли ( n = 2 ). Для интегрирования этого |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
уравнения воспользуемся подстановкой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = uv, y′ = u′v + uv′ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Подставляем эти значения у и y′ |
|
в заданное уравнение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(u′v + uv′) + uv = u 2v2 ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
xu′v + u(xv′ + v) = u 2 v2 ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
||||||||||||||||||||||||||||||||
Потребуем, чтобы |
xv′ + v = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Тогда |
xdv |
= -v , |
|
dv |
= - |
dx |
, |
|
|
|
∫ |
dv |
= -∫ |
dx |
, |
|
|
ln |
|
v |
|
= −ln |
|
x |
|
, |
v = |
1 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
dx |
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Подставляем найденное значение v в уравнение (2): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
u¢ = u2 |
ln x |
|
|
|
du |
= u 2 |
|
ln x |
|
|
du |
|
ln x dx |
|
|
∫ |
du |
= ∫ |
ln x dx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||
x |
2 |
|
|
|
dx |
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
u |
2 |
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
u |
2 |
|
x |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Выполняя интегрирование, получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
- |
1 |
= - |
1 |
|
(ln |
|
x |
|
+1) + C , |
|
или |
|
u = |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 1 − Сx |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Так как y = uv, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y = |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
- |
общее решение уравнения Бернулли. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
x |
|
+ |
1 − |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Решаем задачу Коши: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 = |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
, |
|
|
1− С = 1, |
|
С = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ln1 |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом,
23
y = |
1 |
|
- искомое частное решение уравнения (1). |
|||
ln |
|
x |
|
|
||
|
|
|
+ 1 |
Уравнение Бернулли можно также решить с помощью подстановки z = y1−n , которая приводит данное уравнение к линейному.
Пример 2. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения |
|
y′ − 2xy = 2x3 y2 при начальных условиях y(0) = 1. |
(1) |
Решение. Это уравнение Бернулли, так как в правой части стоит выражение ynQ(x) = 2x3 y2 , т.е. n = 2.
Разделим обе части уравнения на у2 : |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y−2 y′ − 2xy−1 = 2x3 |
(2) |
||||||||||||
Положим y−1 = z , |
тогда z′ = − y2 y′. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Умножая обе части уравнения (2) на (-1) и выполняя указанную |
||||||||||||||||||||
подстановку, получим линейное уравнение |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z¢ + 2xz = -2x3 |
(3) |
||||||||
Положим z = uv , z′ = u′v + uv′ |
и подставим эти значения z и z′ |
в уравнение |
||||||||||||||||||
(3): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u¢v + uv¢ + 2xuv = -2x3 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
u′v + u(v′ + 2xv) = −2x3 |
(4) |
||||||||||||
Потребуем, чтобы |
v′ + 2xv = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Тогда |
dv |
= −2xv , |
|
dv |
= −2x dx , |
∫ |
dv |
= −2∫ x dx , ln |
|
v |
|
= −x2 , |
v = e−x2 . |
|||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
dx |
|
v |
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Подставим v в уравнение (4): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
u¢e− x2 = -2x3 , |
du |
= −2x3e x2 , |
du = -2 x3e x2 dx . |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интегрируя это уравнение, находим: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
u = С - x2e x2 + e x2 . |
|
|||||||||||
Откуда |
z = u × v = Сe− x 2 - x2 +1 - общее решение уравнения (3). |
|
||||||||||||||||||
Так как z = |
1 |
, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = |
|
|
|
1 |
|
|
- |
общее решение уравнения (1). |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Сe− x |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 − x2 +1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
Решаем задачу Коши:
1 = |
1 |
, |
С =0. |
С ×e0 +1 |
Таким образом, искомое частное решение имеет вид:
y = |
1 |
. |
1 - x2 |
Задание №5
Решить задачу Коши.
|
y¢ + |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. 01 |
|
|
|
|
= y3 × x 1 - x2 , |
y(1) =1 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||
5. 02 |
y2 × y¢ + y3 =1 - x , |
y(0) =0 |
|
||||||||||||||||||||||
5. 03 |
y¢ + |
y |
= |
|
|
× ln x , |
y(1) = 0 |
|
|||||||||||||||||
y |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||
5. 04 |
y¢ + |
y |
= y3 x2 arcsin x , |
y(1) =1 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||
5. 05 |
y¢ - |
y |
= |
|
|
× tg 2 x , |
y(π) = 0 |
|
|||||||||||||||||
xy |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||
5. 06 |
y¢ - y = e2 x y4 , |
y(0) =1 |
|
||||||||||||||||||||||
5. 07 |
y4 × y¢ + y5 = x2 +1, |
y(0) =0 |
|
||||||||||||||||||||||
5. 08 |
y¢ + 2xy = 2x3 y3 , |
y(0) =1 |
|
||||||||||||||||||||||
5. 09 |
xy¢ + y = y2 ln x , |
y(1) =1 |
|
||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
5. 10 |
y′ − 9x2 y = (x5 + x2 )y |
|
, |
y(0) =0 |
|
||||||||||||||||||||
3 |
|
||||||||||||||||||||||||
5. 11 |
y¢ - y = xy2 , |
y(0) =1 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
y¢ - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(1) = − |
3 5 |
|
|||||||
5. 12 |
= y 2 x2 + 4 , |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
25 |
|
25
|
|
3 |
|
|
y 4 |
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
||
5. 13 |
y |
|
y¢ + |
|
|
= sin x , |
y |
|
= 0 |
||||||||
|
2x |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
5. 14 |
2 y¢y - |
y 2 |
|
= x2 ln x , |
y(1) = 0 |
||||||||||||
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5. 15 |
y¢ - y tg x = - |
2 |
y 4 × sin x , |
y(0) =1 |
|||||||||||||
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2(y¢ + xy) = (x -1)e |
x2 |
y(0) = 2 |
||||||||||||||
5. 16 |
2 |
× y 2 , |
|||||||||||||||
5. 17 |
2xy¢ - 3y = -(5x2 + 3y)y3 , |
y(1) = |
1 |
||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. 18 |
2( y¢ + y) = xy2 , |
||||
5. 19 |
2 y¢ + y cos x = y−1 × cos x(1 + sin x) , |
||||
5. 20 |
xy¢ - y = -y2 × (ln x + 2)× ln x , |
||||
5. 21 |
3y¢ + 2xy = 2xy−2e−2x2 , |
||||
5. 22 |
4 y3 y¢ + |
y 4 |
= |
1 |
sin 2 x , |
|
|
xx
5.23 2xy¢ - 3y = -(20x2 +12)y3 ,
5.24 3xy¢ + 5y = (4x - 5)y4 ,
5.25 3dy = (1 - 3y3 )y sin x ,
5.26 xdy + y - 1 y3 x dx = 0 ,
2
5. 27 |
2xy - |
dy |
- y 2 + x = 0 , |
||
|
|||||
|
|
dx |
|||
5. 28 |
yy¢ + y2 = cos x , |
||||
|
(y¢ - 2xy)× |
|
= x3 , |
||
5. 29 |
y |
||||
5. 30 |
yy¢ - y2 = sin 2x , |
y(0) = 2 y(0) =1 y(1) =1 y(0) =1
y(2π ) = 0
y(1) = |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
||
y(1) =1 |
|
|
|
π = y 2 1
y(2) =1
y(1) =1 y(0) = 0 y(0) = 0 y(0) = 0
26
§4. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка
Дифференциальные уравнения второго порядка в общем случае записываются в виде
F (x, y, y′, y′′) = 0
или в форме Коши
y′′ = f (x, y, y′).
Общее решение этого уравнения содержит две произвольные постоянные
y = ϕ(x,C1 ,C2 ),
Частным решением дифференциального уравнения 2го порядка является функция
y = ϕ (x,C1 °,C2 °),
где C1 ° и C2 ° определяются из общего решения путём подстановки в него
начальных условий: y(x0 ) = y0 и |
y |
′ |
′ |
|
(x0 ) = y0 . |
Одним из методов интегрирования дифференциальных уравнений высших порядков является метод понижения порядка, суть которого состоит в том, что с помощью подстановки данное уравнение сводится к уравнению, порядок которого ниже.
Рассмотрим три типа уравнений 2-го порядка, допускающих понижение порядка.
I |
Уравнение вида |
F(x, y′′) = 0 или y′′ = f (x) . |
|
|
||
В |
этом |
случае |
порядок |
уравнения |
понижается |
путём |
последовательного интегрирования уравнения. |
|
||||||
Пример 1. |
Найти общее решение уравнения |
y′′ = sin 3x |
|||||
Решение. |
Запишем y′′ = |
dy′ |
, |
тогда |
dy′ |
= sin 3x , отсюда dy′ = sin 3xdx ; |
|
|
|
||||||
|
|
dx |
|
dx |
|
y′ = ∫sin 3xdx = − 1 cos3x + C1 . 3
Интегрируя еще раз, получим
27
|
∫ |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
y = |
|
− |
|
cos3x + C |
dx = − |
|
sin 3x + C x + C |
|
- общее решение. |
|
3 |
9 |
|
||||||||
|
|
|
1 |
|
1 |
2 |
|
Замечание. Таким же образом можно решать уравнения более высокого порядка, если в уравнении содержится только старшая производная и независимая переменная, т. е. уравнения вида
y(n) = f (x) .
Пример 2. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения
y |
′′′ |
= 60x |
2 |
при начальных условиях y(0) = 0 |
, |
′ |
= 2 . |
|||||||||
|
|
y (0) = 1 , y′′′(0) |
||||||||||||||
Решение. |
Запишем: y′′′ = |
dy′′ |
, |
тогда |
dy′′ |
= 60x2 , |
|
отсюда dy′′ = 60x2dx ; |
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
dx |
|
|
dy′ |
|
|
dx |
|
|
|
||
|
|
y′′ = 20x3 + C , |
|
|
y′′ = |
, |
|
dy′ = (20x3 + C )dx , |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
1 |
|
||
|
|
y′ = 5x 4 + C x + C |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И, наконец, последнее интегрирование дает общее решение данного уравнения:
y = x5 + C |
x2 |
+ C |
x + C |
. |
|
2 |
|||||
1 |
2 |
3 |
|
Используя начальные условия, получаем значения произвольных постоянных С1 = 2, С2 = 1, С3 = 0 . Подставляя их в общее решение, получаем частное решение дифференциального уравнения:
y = x5 + x2 + x .
II Уравнение вида |
F (x, y′, y′′) = 0 или |
y′′ = f (x, у′) . |
Введем переменную |
z , обозначив |
y′ = z , где z = z(x) - новая |
неизвестная функция. Тогда |
y′′ = z′ и уравнение принимает вид: |
F(x, z, z′) = 0.
Общим решением этого дифференциального уравнения I порядка будет функция z = ϕ(x,C1 ) . Заменяя z на y′ , получим еще одно дифференциальное уравнение 1 порядка
y′ = ϕ(x,C1 ) ,
интегрируя которое, получаем общее решение данного уравнения в виде:
28
y = ∫ϕ(x, C1 ) dx + C2 .
Пример 3. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения
|
π |
|
|
π |
|
1 |
|
π |
|
|
|||
y¢¢ - 2ctg x × y¢ = sin3 x при начальных условиях |
y |
|
|
= |
|
- |
|
; |
y¢ |
|
|
=1. |
|
2 |
4 |
3 |
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Это уравнение 2го порядка не содержит явно функции у. Полагая y′ = z , получаем уравнение первого порядка относительно этой
вспомогательной функции z, зависящей от х:
z¢ - 2ctg x × z = sin3 x .
Это линейное уравнение 1го порядка относительно функции z.
Заменяем |
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
′ |
′ |
и v – |
функции, |
зависящие от х. |
||||||||||
z = uv , где z (x) |
= u v + v u , u |
|||||||||||||||||||||||
Подставляем: |
u¢v + v¢u - 2ctg x × uv = sin3 x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Группируем 2-е и 3-е слагаемые |
и выносим и за скобку |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
u¢v + u(v¢ - 2ctg x × v) = sin3 x , |
|
|
|
(1) |
|||||||||||||
Получаем два уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1) |
( ′ |
- 2ctgx × v |
) |
= 0 |
|
|
|
2) |
|
u¢v = sin3 x |
|
||||||||||||
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
dv |
= 2ctgx × dx |
|
|
|
|
|
|
|
u¢sin 2 x = sin 3 x |
|||||||||||||
|
|
v |
и |
|
|
|
|
|
|
du = sin xdx |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
ln |
|
v |
|
= 2 ln |
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
v = sin 2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u = − cos x + C1 |
|||||||||||
Откуда |
|
z = -sin 2 x × cos x + С sin 2 |
x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как |
z = y′ , |
то, интегрируя, получим общее решение |
|
|||||||||||||||||||||
y = ∫(- sin 2 x × cos x + С1 sin 2 |
x)dx = - |
|
sin3 |
x |
|
С |
|
sin 2x |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
+ |
1 |
x - |
|
|
+ С2 . |
||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|||
Используя начальные условия, получаем: |
С1 = 1, |
С2 = 0 . |
|
29