4807
.pdfЕсли изменить правую часть уравнения:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′′ − 3 y′ + 2 y = e2 x , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
то степень функции |
|
f ( x) = e2 x |
|
будет |
n = 0 , |
а параметр γ = 2 совпадет с |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
одним из корней характеристического уравнения, то есть |
k =1. Частное |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
решение |
|
следует |
|
|
искать |
|
|
теперь |
|
|
в |
виде |
y |
чн |
( x) = xP ( x)e2 x = p xe2 x . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
||
Находим |
|
|
|
|
|
|
производные |
|
|
|
|
|
|
( p0 xe |
2 x ′ |
|
|
|
|
2 x |
+ 2 p0 xe |
2 x |
|
|
|
и |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) = p0e |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
( p0 xe |
2 x |
′′ |
|
|
|
4 p0e |
2 x |
|
+ 4 p0 xe |
2 x |
. |
Подставим их в уравнение: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 p e2 x |
+ |
4 p xe2 x |
− 3 p e2 x |
− |
6 p xe2 x + |
|
2 p xe2 x = e2 x . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Равенство |
|
|
|
|
обращается |
|
в |
|
|
тождество, |
если |
|
|
p0 = 1, |
следовательно, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
y |
чн |
( x) |
= xe2 x и y |
oн |
( x) = C |
e x + C |
e2 x |
+ xe2 x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Для неоднородного уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′′ − 4 y′ + 4 y = 8e2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
функция |
f ( x) = 8e2 x |
степени |
n = 0 имеет параметр γ = 2, совпадающий с |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
двукратным корнем характеристического уравнения, |
поэтому здесь k = 2. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Частное |
|
|
|
|
|
решение |
|
|
в |
|
|
|
|
этом |
|
случае |
|
|
|
приобретает |
|
|
вид |
||||||||||||||||||||||||||
yчн ( x) = x |
2 |
P0 ( x)e |
2 x |
|
|
|
2 |
e |
2 x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
e |
2 x |
′ |
= (2 p0 x + 2 p0 x |
2 |
)e |
2 x |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= p0 x |
|
|
Производные ( p0 x |
|
) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
и ( p0 x |
2 |
e |
2 x |
|
|
′′ |
= (2 p0 |
+ 8 p0 x |
|
+ 4 p0 x |
2 |
)e |
2 x |
подставим в уравнение: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2 p + 8 p x + 4 p x2 − |
8 p x |
− |
8 p x2 |
+ 4 p x2 )e2 x = 8e2 x . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Равенство |
|
|
|
|
обращается |
|
в |
|
|
тождество, |
если |
|
|
p0 = 4 , |
следовательно, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
y |
чн |
( x) |
= 4 x2e2 x и y |
oн |
( x) = C |
e2x + C |
2 |
xe2 x + 4 x2e2 x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
В случае комплексного значения параметра γ функции специального |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вида ( β ¹ 0 ) частное решение |
|
неоднородного |
|
уравнения |
ищут в |
виде |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y |
чн |
( x) |
= xk eα x (P ( x) cos β x + R ( x)sin β x) . |
|
Здесь |
|
P ( x) |
и |
|
R ( x) |
|
- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
многочлены той же степени n , что и в правой части, |
k |
- кратность |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
совпавшего |
|
с параметром |
|
γ |
корня |
в |
характеристическом |
|
уравнении. |
Важно иметь в виду, что вид решения в этом случае всегда содержит обе тригонометрические функции – и cos β x , и sin β x , каждая из которых
20
умножается на многочлен со своими коэффициентами. Коэффициенты многочленов снова нужно определять, подставляя в исходное уравнение функцию, в виде которой записано частное решение.
В качестве примера рассмотрим уравнение (2.1), описывающее вынужденные колебания в случае, если на систему воздействует периодическая внешняя сила, имеющая синусоидальный характер:
&&x + 2hx& + k 2 x = M sin ωt .
В отсутствии сопротивления уравнение упрощается:
&& |
2 |
|
|
+ k x = M sinωt . |
(3.1) |
||
x |
Свободные колебания были уже рассмотрены, необходимо теперь записать вид частного решения неоднородного уравнения. Параметр функции в правой части γ = ωi , степень n = 0 . Если частота вынуждающей
силы не совпадает с частотой собственных |
колебаний |
(ω ¹ k ), |
то |
||||
xчн (t) = p0 cosωt + r0 sin ωt . После |
дифференцирования и |
подстановки |
|||||
такой функции в уравнение (3.1) получим значения коэффициентов p0 |
= 0 |
||||||
и r = M /(k 2 − ω 2 ) . Тем самым, x |
|
(t) = |
M |
|
sin ωt . |
|
|
|
k 2 − ω 2 |
|
|
||||
0 |
чн |
|
|
|
|
Общее же решение уравнения вынужденных колебаний в среде без сопротивления является наложением двух гармонических колебаний с разными частотами:
M |
|
|
xoн (t) = Asin(kt + ϕ ) + k 2 − ω 2 |
sin ωt . |
(3.2) |
При совпадении частоты возмущающей |
силы |
с |
частотой |
||||
собственных колебаний (ω = k ) |
движение описывается уравнением |
||||||
&& |
|
2 |
|
|
|
|
(3.3) |
|
|
|
|
|
|
||
x + k x = M sin kt , |
|
|
|||||
а частное решение имеет вид |
|
xчн (t) = t( p0 cos kt + r0 sin kt) . |
Подставляя |
||||
такую функцию в уравнение (3.3), получим |
p0 = − M / 2k |
и r0 = 0 . |
|||||
Видим, что частное решение x |
|
(t) = − |
M |
t cos kt описывает колебания с |
|||
чн |
|
||||||
|
|
2k |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
21
неограниченно возрастающей амплитудой. Общее решение тогда является наложением этих колебаний и обычных гармонических колебаний:
xoн (t) = Asin(kt + ϕ ) − M t cos kt .
2k
Таким образом, если в среде без сопротивления частота
возмущающей силы совпадает с частотой собственных колебаний, то
амплитуда вынужденных колебаний Mt / 2k может стать неограниченно большой даже тогда, когда M невелико. Иначе говоря, возможно
получение сколь угодно больших амплитуд при малых возмущающих силах. Это явление называется резонансом. Если учитывать
сопротивление среды, то при совпадении частот |
явление |
резонанса |
проявляется в более «мягком» виде. |
|
|
Впрочем, в действительности точное совпадение этих частот не |
||
является необходимым. При близости частот |
ω и k |
амплитуда |
M /(k 2 − ω 2 ) решения (3.2) для вынужденного колебания может быть очень большой, хотя и ограниченной.
Возможностью создания колебаний со значительной амплитудой часто пользуются в различных усилителях, например в радиотехнике. С
другой стороны, во многих случаях появление больших амплитуд является вредным, ибо может приводить к разрушению конструкций (скажем,
мостов или перекрытий).
22
§ 4. Числовые ряды
Пусть задана последовательность чисел a1 , a2 ,..., an ,.... Если ее члены ai , i = 1,2,... соединить знаками "+", то получится выражение вида
a1 + a2 + a3 + ... + an |
∞ |
|
+ ... = ∑ an , которое называют |
числовым рядом. |
|
|
n=1 |
|
Числа a1 , a2 ,..., an ,... |
называются членами ряда, an |
называется общим |
членом ряда.
Ряд считается заданным, если задано правило, позволяющее по известному номеру k его члена записать этот член ряда ak . Чаще всего ряд задается формулой общего члена an = f (n).
|
|
|
= |
1 |
|
|
|
|
∞ |
1 |
|
|||
Например, формула |
|
an |
|
|
|
|
|
задает ряд ∑ |
|
, то есть выражение |
||||
|
2n |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
2n |
|||||
вида |
1 |
+ |
1 |
|
+ |
1 |
+ ... + |
1 |
+ ... |
(4.1) |
||||
2 |
4 |
|
2n |
|||||||||||
|
|
|
8 |
|
|
|
|
Подставляя в эту формулу конкретное натуральное число, можно записать любой член ряда:
|
при |
n = 1 |
|
a = |
1 |
= |
1 |
|
|
– |
1- й член ряда (4.1); |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
21 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
при |
n = 2 |
a |
|
|
|
= |
1 |
|
= |
1 |
– |
2- й член ряда (4.1); |
|
||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
4 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
при |
n = 3 |
a |
|
|
= |
1 |
|
= |
1 |
|
– |
3- й член ряда (4.1) и т.д. |
|
||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
|
8 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Аналогично, если задан ряд вида |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑3n = 3 + 9 + 27 + ... + 3n + ... , |
(4.2) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
для которого |
|
a |
n |
= 3n - формула общего члена, поэтому |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
n = 1 |
a = 31 = 3 – |
1- й член ряда (4.2); |
|
||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
n = 2 |
a |
2 |
= 32 |
|
|
= 9 |
|
|
– 2- й член ряда (4.2); |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23
при n = 3 a3 = 33 |
= 27 – 3- й член ряда (4.2) и т.д. |
|
∞ |
|
|
Для ряда ∑ an |
введем обозначения: |
|
n=1 |
|
|
S1 = a1 ; S2 = a1 + a2 ; |
S3 = a1 + a2 + a3 ; …, |
|
|
= a1 + a2 + ... + an |
n |
Sn |
= ∑ ai и т.д. |
|
|
|
i=1 |
∞
Сумма S n называется n - ой частичной суммой ряда ∑ an .
n=1
Если существует конечный предел последовательности частичных
сумм lim Sn = S , |
|
∞ |
|
|
то ряд |
∑ an называется сходящимся, |
а число S |
||
n→∞ |
|
n=1 |
|
|
|
|
|
∞ |
|
называется суммой ряда. В этом случае пишут |
∑ an |
= S . Таким |
||
|
|
|
n=1 |
|
|
∞ |
|
|
|
образом, символом |
∑ an |
обозначается не только сам ряд, но и (в случае |
||
|
n=1 |
|
|
|
сходимости) его сумма. Ряд называется расходящимся, если предел
последовательности частичных сумм |
lim Sn |
не существует или равен |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
бесконечности. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Исследуем для примера числовой ряд |
∑ |
|
|
. Составим частичную |
||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
2n |
|
|
|
|
|
||||
сумму S |
|
этого ряда |
S |
|
= a + a |
|
+ ... + a |
|
= |
1 |
+ |
1 |
+ |
1 |
+ ... + |
1 |
. Здесь |
|||
n |
n |
2 |
n |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
2 |
4 |
8 |
|
2n |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
суммируются числа, образующие геометрическую прогрессию со
знаменателем q = |
1 |
< 1 и первым членом |
a = |
1 |
. Из школьного курса |
|
|
||||
2 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
математики известна формула суммы n первых членов геометрической |
|
прогрессии: S = a1 (1 − qn ). В нашем случае |
|
n |
1 − q |
|
24
|
1 |
|
|
|
|
|
1 n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
× 1 |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||
|
Sn = |
|
|
|
|
= 1 - |
. |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 - |
|
|
|
|
|
2n |
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Найдем предел последовательности частичных сумм Sn |
|
|||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||
lim Sn |
= lim 1 - |
|
|
|
= lim1– |
lim |
|
=1 |
− 0 |
= 1. |
||||||||||
|
2n |
|
||||||||||||||||||
n→∞ |
n→∞ |
|
|
|
|
n→∞ |
|
n→∞ |
2n |
|
|
Видим, |
что предел Sn существует и конечен. |
Следовательно, данный ряд |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
сходится и его сумма равна 1. Записываем |
∑ |
|
|
|
|
= 1. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
2n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим числовой ряд ∑ 3n . Для него частичная сумма Sn имеет |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вид |
S |
n |
= a + a |
2 |
+ ... + a |
n |
= 3 + 32 |
+ ... + 3n . |
|
|
Здесь |
суммируются |
числа, |
|||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
образующие геометрическую прогрессию со знаменателем q = 3 > 1 |
и |
|||||||||||||||||||||||||||||||
первым членом |
a1 = 3. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
Sn |
= |
a1 (1 - qn ) |
= |
3(1 - 3n ) |
= |
3 |
× (3n -1). |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 - q |
1 - 3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Находим предел |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
lim Sn = lim |
3 |
× (3n -1)= lim |
3 |
×3n – lim |
3 |
= + ¥ - |
3 |
= ¥ . |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n→∞ |
|
n→∞ 2 |
|
|
|
n→∞ 2 |
|
n→∞ 2 |
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||
Следовательно, данный ряд расходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
В |
процессе |
исследования |
числовых |
|
|
|
рядов |
бывает |
удобно |
||||||||||||||||||||||
пользоваться свойствами сходящихся рядов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
1. |
Если |
сходится |
|
ряд u + u + ... |
+ u |
n |
+ ... , |
то |
сходится |
и |
ряд |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
um +1 |
+ um + 2 + ... + un + ..., |
получаемый из данного ряда отбрасыванием первых |
m членов (этот последний ряд называют m -ым остатком исходного ряда)
25
и наоборот – |
из сходимости |
m -го остатка ряда вытекает сходимость |
|||||||||||||||
данного ряда. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Если сходится ряд |
u + u + |
... + u |
n |
+ ... , и суммой его является число |
||||||||||||
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S , то сходится и ряд |
au + au + |
... + |
au |
n |
+ ..., |
полученный из исходного |
|||||||||||
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
умножением на ненулевое число a , причем |
сумма последнего ряда равна |
||||||||||||||||
aS . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Если сходятся ряды |
u + u + |
... + u |
n |
+ ... |
и |
v + v + ... + v |
+ ... , |
|||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 2 |
n |
|
|
имеющие, соответственно, |
суммы |
S |
|
и |
|
σ , |
то |
сходится |
и |
ряд |
|||||||
(u + v ) + (u + v )+ ... + (u + v )+ ..., |
|
причем |
сумма |
последнего |
ряда |
||||||||||||
1 1 |
2 |
2 |
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
равна S +σ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Основным вопросом при изучении числовых рядов является вопрос об их сходимости или расходимости. Формулу для n - ой частичной суммы
можно записать далеко не всегда, поэтому нужны утверждения,
позволяющие решить этот вопрос. Начнем с необходимого условия
сходимости числового ряда:
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если числовой ряд ∑ an . сходится, |
то предел его общего члена |
an при |
||||||||||||||
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n → ∞ равен нулю, т.е. |
lim an |
= 0. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
∞ |
|
|
Действительно, если данный нам ряд ∑ an |
сходится и∑ an |
= S , то |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
n=1 |
|
|
an = Sn − Sn −1 . Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
lim an |
= lim(Sn − Sn−1 ) = lim Sn − lim Sn−1 = S − S = 0 . |
||||||||||||||
|
n→∞ |
n→∞ |
|
|
|
|
n→∞ |
|
n→∞ |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
n2 |
+ 3 |
|
|
|
|
Например, для числового ряда ∑ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
n |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|||
|
|
n2 |
+ 3 |
|
n2 |
|
3 |
|
|
|
3 |
|
||||
lim an |
= lim |
|
|
|
= lim |
|
+ |
|
|
= lim n + |
|
= ¥ + 0 = ¥ ¹ 0 . |
||||
|
n |
|
|
|
||||||||||||
n→∞ |
n→∞ |
|
n→∞ n |
|
n |
|
n→∞ |
n |
|
Видим, что необходимый признак не выполняется, следовательно, ряд
расходится.
26
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Рассмотрим далее ряд ∑ln 1 |
+ |
|
. Для него необходимый |
|
||||||
|
|
|||||||||
n=1 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
признак сходимости выполняется, поскольку lim an |
= lim ln 1 |
+ |
|
|
= 0. |
|||||
|
||||||||||
|
|
|
|
n→∞ |
n→∞ |
|
|
n |
|
|
|
1 |
|
n + 1 |
|
= ln(n + 1) − ln n . Отсюда |
|||
С другой стороны, ln 1 |
+ |
|
= ln |
|
|
|
|||
|
n |
||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|||
|
|
|
Sn = a1 + a2 + ... + an = |
||||||
= (ln 2 − ln1)+ (ln 3 − ln 2) + ... + (ln(n +1) − ln n) = ln(n +1). |
|||||||||
Следовательно, при |
n → ∞ |
последовательность частичных сумм |
|||||||
|
|
|
|
∞ |
|
|
1 |
||
Sn ® ¥ , а это означает, что ряд ∑ ln 1 + |
|
расходится. |
|||||||
|
|||||||||
|
|
|
|
n=1 |
|
|
n |
Рассмотренный пример иллюстрирует важность понимания того,
что необходимый признак не является достаточным – сходимости он не обеспечивает. Поэтому вопрос о сходимости числовых рядов, для которых необходимый признак сходимости выполнен, будем решать с помощью достаточных признаков сходимости. Этот вопрос проще всего решается для рядов с неотрицательными членами.
Признаки сравнения. Пусть даны два ряда с неотрицательными
∞
членами ∑ an = a1 + a2 + ... + an + ...
n=1
∞
И ∑ bn =b1 + b2 + ... + bn + ... ,
n=1
где an > 0, bn > 0, n = 1, 2,... Признак сравнения 1. Если ряд
(1)
(2)
∞
∑ bn сходится и
n=1
|
|
³ an , n = 1,2,..., то ряд |
∞ |
выполняется неравенство |
bn |
∑an также |
|
|
|
|
n=1 |
∞ |
|
|
|
сходится; если ряд ∑ bn |
расходится и выполняется |
неравенство |
|
n=1 |
|
|
|
bn £ an , n = 1,2,..., то ряд |
∞ |
|
|
∑ an также расходится. |
|
||
|
n=1 |
|
|
27
Сходимость или расходимость ряда с неотрицательными членами устанавливают сравнением исследуемого ряда с "эталонным" рядом,
относительно которого заведомо известно, сходится он или нет.
В качестве "эталонных" рядов будем использовать следующие ряды:
Расходящиеся ряды a) гармонический ряд
∞ |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
∑ |
|
= 1 + |
|
+ |
|
+ ... + |
|
+ ...; |
|
n |
2 |
3 |
n |
||||||
n=1 |
|
|
|
|
б) обобщенный гармонический ряд
∞ |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
∑ |
|
= 1 + |
|
+ |
|
+ ... + |
|
+ ..., при |
p < 1; |
|
n p |
2 p |
3p |
n p |
|||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
в) ряд, составленный из членов геометрической прогрессии
∞ |
|
|
|
∑ aqn =a + aq + aq2 |
+ ... + aqn + ..., при |
q |
³ 1; |
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
Сходящиеся ряды |
|
|
|
а) обобщенный гармонический ряд
∞ |
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
∑ |
|
= 1 + |
|
|
+ |
|
+ ... + |
|
|
+ ..., при p > 1; |
||
n p |
2 p |
|
3p |
n p |
||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
б) ряд, составленный из членов геометрической прогрессии |
||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ aqn |
=a + aq |
+ aq2 |
+ ... + aqn + ..., при |
q |
< 1; |
|||||||
n=0 |
|
|
|
|
|
∞ |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Например, |
для ряда |
|
|
∑ |
|
|
|
в качестве ряда сравнения |
||||
|
|
(n +1)3n |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
∞ 1
выбираем ряд, составленный из членов геометрической прогрессии ∑ .
n=1 3n
Он является сходящимся, т.к. знаменатель прогрессии |
q = |
1 |
|
< 1. Кроме |
|||||
|
|||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|||
того, справедливо неравенство a = |
n |
< |
1 |
= b |
для |
всех n ³ 1. |
|||
(n +1)3n |
3n |
||||||||
n |
|
n |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
28
∞ |
n |
|
Следовательно, по первому признаку сравнения ряд ∑ |
|
тоже |
|
||
n=1 |
(n +1)3n |
сходится.
Сформулируем еще один признак сравнения (в предельной форме). Пусть даны два ряда с неотрицательными членами
∞ |
+ a2 |
+ ... + an |
+ ... , |
∞ |
+ b2 + ... + bn + .... Если существует |
|||
∑ an = a1 |
∑ bn =b1 |
|||||||
n=1 |
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an |
∞ |
|
конечный и отличный от нуля предел lim |
= k ¹ 0, то ряды ∑ an и |
|||||||
|
||||||||
|
|
|
|
|
n→∞ bn |
n=1 |
∞
∑ bn сходятся или расходятся одновременно.
n=1
Предельным признаком сравнения удобно пользоваться, если общий член an некоторого числового ряда есть дробно-рациональная функция,
= u (n)
т.е. an l ( ) , где ul (n) - многочлен степени l , а vm (n) - многочлен vm n
∞
степени m . При этом если m > l , то в качестве ряда сравнения ∑ bn
n=1
|
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
следует брать ряд |
|
∑ |
|
, где p = m − l . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
n=1 |
n p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
n + 1 |
|
|
Например, |
для исследования на сходимость |
ряда |
∑ |
|
в |
||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
4n3 -1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
качестве ряда сравнения ∑ bn выберем ряд |
∑ |
|
|
|
|
|
. Он |
сходится, |
т.к. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
n=1 n2 |
|
|
|
|
|
||||||
p = 2 > 1. Рассмотрим предел отношения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
lim |
an |
|
|
= lim |
(n +1)× n2 |
= lim |
n3 |
+ n2 |
|
= |
¥ = |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
n→∞ bn |
|
n→∞ |
(4n3 -1)×1 n→∞ 4n3 -1 |
¥ |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
lim |
(n3 + n2 ) / n3 |
= lim |
1 +1/ n |
= |
1 |
¹ 0 . |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
n→∞ |
(4n3 -1) / n3 |
n→∞ 4 -1/ n3 |
4 |
|
|
|
|
|
29