4808
.pdf
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
= 2 lim |
|
|
|
= 2 |
|
|
|
|
= 2 . |
||||
1+ 1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||
n→∞ |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
n |
|
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
¥ |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, ряд сходится, если x (− 2, 2). Осталось исследовать ряд в концевых точках x = 2 и x = −2 .
∞ |
n2 2n |
∞ |
|
При x = 2 степенной ряд принимает вид ∑ |
|
= ∑ n2 . Это |
|
2n |
|||
n=1 |
n=1 |
числовой знакоположительный ряд. Он расходится, т.к. не выполняется
необходимое условие сходимости (lim an |
= lim n2 = ¥ ¹ 0). |
|
|
|
|
|||
n→∞ |
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
n2 |
(- 2)n |
∞ |
n |
2 |
|
|
При x = −2 степенной ряд принимает вид ∑ |
|
|
= ∑ |
(-1) n |
|
. |
||
|
|
|
||||||
|
n=1 |
|
2n |
n=1 |
|
|
|
|
Это числовой знакочередующийся ряд. Так как lim an |
= lim n2 |
= ¥ ¹ 0 , то |
||||||
|
n→∞ |
|
n→∞ |
|
|
|
|
∞ n2 xn
ряд расходится. Таким образом, область сходимости ряда ∑
n =1 2n
совпадает с его интервалом сходимости: x (− 2, 2).
∞ |
|
|
|
Для степенного ряда ∑ nn × xn выпишем коэффициент an = nn . |
|||
n=1 |
|
|
|
Радиус сходимости найдем по другой формуле: R = lim |
1 |
= lim 1 |
= 0 . |
n→∞ n |
an |
n→∞ n |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Получили, что ряд ∑ nn × xn сходится только в одной точке x = 0 . Она и |
||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
является его областью сходимости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
n(x - 2)n |
|
|
|
|||||
Исследуем далее степенной ряд ∑ |
|
|
|
|
|
, который относится к |
||||
|
|
2n |
|
|||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
виду (5.1). Выпишем коэффициенты |
a |
|
= |
n |
и a = |
n + 1 |
|
, найдем |
||
|
2n |
2n+1 |
||||||||
|
|
|
n |
|
|
n+1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
радиус сходимости
40
R = lim |
a |
n |
|
= lim |
n × 2n+1 |
= 2 lim |
n |
= 2 . |
||
an+1 |
|
|
|
|
|
|||||
n→∞ |
|
n→∞ 2n ×(n +1) |
n→∞ n +1 |
|
Здесь x0 = 2, следовательно, ряд сходится при 2 − 2 < x < 2 + 2 , т.е. при
0 < x < 4. Осталось исследовать ряд в концевых точках x = 0 и x = 4.
При x = 4 степенной ряд принимает вид
∞ |
n(4 - 2)n |
∞ |
n × 2n |
∞ |
|
∑ |
|
= ∑ |
|
= ∑ n . |
|
2n |
2n |
||||
n=1 |
n=1 |
n=1 |
Это числовой знакоположительный ряд, который расходится, т.к.
lim an |
= lim n = ∞ (необходимое условие сходимости не выполняется). |
n→∞ |
n→∞ |
При x = 0 степенной ряд принимает вид |
∞ |
n(0 - 2)n |
∞ |
n × (-1)n 2n |
∞ |
n |
|
∑ |
|
= ∑ |
|
= ∑ |
(-1) n . |
|
2n |
2n |
|||||
n=1 |
n=1 |
n=1 |
|
Это числовой знакочередующийся ряд, который расходится по той же
причине ( lim an = lim n = ∞ ). Тем самым, область сходимости заданного
n→∞ n→∞
степенного ряда: x (0;4).
Мы рассмотрели задачу нахождения области сходимости степенных рядов. При этом сумма всякого степенного ряда является некоторой функцией, определенной внутри его области сходимости. В связи с этим
возникает обратная задача: для некоторой функции найти степенной
ряд, сумма которого в области сходимости равна исходной функции Такой ряд называется разложением функции в степенной ряд.
Для решения поставленной задачи потребуется формула Тейлора.
Пусть функция имеет в некотором замкнутом отрезке
непрерывные производные до (n + 1)-го порядка включительно, а точка a
находится внутри этого отрезка. Тогда для любого x из интервала справедлива формула Тейлора
41
f (x) = f (a) + |
|
f ′(a) |
(x - a)+ |
f ′′(a) |
(x - a)2 + ... + |
f (n ) (a) |
(x - a)n + R (x), |
||
|
|
|
|
||||||
|
1! |
|
2! |
|
n! |
n |
|||
|
|
|
|
||||||
где Rn (x) – остаточный член, который может быть записан в виде |
|
||||||||
R (x) = |
(x - a)n+1 |
× f (n+1) (ξ ) (форма Лагранжа), причем число ξ |
|
||||||
n |
|
(n +1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лежит между a и x (его можно представить в виде ξ = a + θ (x − a)), где
0 < θ < 1.
Если в формуле Тейлора взять a = 0 , то получим частный случай этой формулы – формулу Маклорена
f (x) = f (0) + |
f ′(0) |
x + |
f ′′(0) |
x2 + ... + |
f (n ) (0) |
xn + R (x) |
|
|
|
||||
1! |
2! |
|
n! |
n |
||
|
|
Формулы Тейлора и Маклорена показывают, что функцию f (x)
можно оценить многочленом n -ой степени. Ошибка вычисления будет равна Rn (x).
Пусть функция f (x) имеет в интервале (x1 , x2 ), содержащем точку
a , производные любого порядка |
|
|
и, кроме того, для |
|
|
|
x (x1 , x2 ) |
|||||||||||||||||||||||
lim Rn (x) = 0 . Тогда функция |
|
f (x) |
|
может быть |
представлена |
рядом |
||||||||||||||||||||||||
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (a) + |
|
f ¢(a) |
( x - a) + |
|
f ¢¢(a) |
( x - a) |
2 |
+ ... + |
f (n) (a) |
( x - a) |
n |
+ ... |
= |
|||||||||||||||||
|
1! |
|
2! |
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
f |
n |
(a) |
( x - a)n , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
= ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.3) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
который сходится, и его суммой будет функция |
f (x). Представление |
|||||||||||||||||||||||||||||
функции |
f (x) в виде |
такого |
|
ряда |
|
называется |
разложением |
этой |
||||||||||||||||||||||
функции в ряд Тейлора. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
При a = 0 получим частный случай ряда Тейлора |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
f (x) = f (0)+ f ′(0) x + f ′′(0) x2 |
+ ... + |
|
f |
(n ) |
(0) xn + ... |
= ∑ f |
n |
(0)xn |
, (5.4) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1! |
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
n=0 |
n! |
|
|
|
42
который называют рядом Маклорена.
Видим, что вопрос о разложении функции в ряд сводится к
исследованию поведения остаточного члена Rn (x) при n → ∞ . В
частности, остаточный член Rn (x) стремится к нулю, когда производные
функции f (x) ограничены в совокупности в интервале (x1 , x2 ), т.е. когда
при каждом натуральном n и каждом x из этого интервала выполняется неравенство f (n ) (x) < M , где M - положительная постоянная.
Итак, для разложения функции f (x) в степенной ряд нужно сначала формально составить для нее ряд Тейлора. С этой целью вычисляют производные функции в точке x = a и подставляют их в разложение (5.3).
Затем необходимо найти область сходимости полученного ряда и
выяснить, для каких значений x из |
этой области |
сходимости можно |
поставить знак равенства между функцией f (x) и ее рядом Тейлора. |
||
Разложим, например, функцию |
f (x) = 2 x в |
ряд Маклорена (по |
степеням x ). Найдем числовые значения производных функции f (x) = 2x
в точке x = 0 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = 2x , |
|
|
|
|
|
|
f (0) = 20 = 1 |
|
|
|
|
|
||||||
′ |
x ¢ |
|
|
x |
|
′ |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
) = 2 ln 2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
f (x) = (2 |
|
|
f (0) = 2 ln 2 = ln 2 |
|
|
|||||||||||||
′′ |
|
x ² |
|
|
|
x 2 |
′′ |
|
0 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ln 2 |
||||||
f (x) = (2 ) = 2 ln 2, |
f |
(0) = 2 ln 2 |
||||||||||||||||
′′′ |
x |
ln |
3 |
2 |
|
|
′′′ |
|
|
0 |
ln |
3 |
2 |
= ln |
3 |
2 . |
||
f (x) = 2 |
|
|
|
|
|
f (0) = 2 |
|
|
|
|
Отсюда легко установить закономерность образования производной n -го
порядка: f (n ) (x) = (2x lnn−1 2)¢ = 2x lnn 2 , |
f (n) (0) |
= lnn 2 . |
Подставляя теперь значения этих производных в ряд |
(5.4), получаем ряд |
|
Маклорена для функции f (x) = 2x : |
|
|
43
|
|
|
ln 2 |
|
ln2 |
2 |
|
ln3 |
2 |
|
|
|
|
lnn 2 |
|
|
|
|
∞ |
lnn 2 |
||||
1 + |
|
|
|
|
x + |
|
|
x2 + |
|
|
x3 + ... + |
|
|
xn |
+ |
... = ∑ |
|
xn . |
||||||
1! |
|
|
2! |
3! |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
n=0 |
n! |
|||||||
Находим область сходимости полученного ряда. Так как |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
an |
|
|
= lim (n +1)!lnn 2 = |
1 |
lim |
n!(n +1) |
= |
|
1 |
lim(n +1) = ¥ , |
|||||||||||||
R = lim |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
an+1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
n→∞ |
|
n→∞ |
n!lnn+1 2 |
|
|
ln 2 n→∞ |
|
n! |
|
|
|
ln 2 n→∞ |
то ряд сходится для всех значений x .
Выясним, для каких значений x найденное разложение сходится к функции 2x . С этой целью заметим, что ввиду справедливости неравенства
lnn 2 < 1 |
|
производные |
всех порядков функции |
f (x) = 2x |
на любом |
|||||||||
отрезке |
− R ≤ x ≤ R , |
ограничены одним |
и |
тем же числом 2R : |
||||||||||
|
f (n ) (x) |
|
= |
|
2x lnn 2 |
|
£ 2R . |
Отсюда следует, |
что |
найденное |
разложение |
|||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
lnn 2 |
|
|
сходится к функции 2x при всех значениях x , т.е. 2x = ∑ |
|
xn . |
||||||||||||
n! |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
Во многих случаях можно пользоваться готовыми рядами,
составленными для элементарных функций. Основными табличными разложениями назовем следующие разложения:
|
∞ |
t n |
|
t 2 |
|
t 3 |
|
|
|
|
|
|
t n |
|
|
( |
|
< ¥); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
10. et = ∑ |
|
|
= 1 + t + |
|
|
+ |
|
+ ... + |
|
|
+ ..., |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
n=0 |
n! |
|
2! |
|
3! |
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
0 |
|
∞ |
(-1)n−1 ×t 2n−1 |
|
|
|
t 3 |
|
|
|
|
|
(-1)n−1 t 2 n−1 |
|
|
( |
|
|
|
< ¥); |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2 . sin t = |
∑ |
|
|
|
= t - |
|
|
|
+ ... + |
|
|
+ ..., |
t |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
n=1 |
(2n -1)! |
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
(2n -1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
0 |
|
∞ |
(-1)n ×t 2n |
|
|
t 2 |
|
|
|
|
t 4 |
|
|
|
|
(-1)n t 2 n |
|
|
( |
|
|
|
< ¥); |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
3 . cos t = ∑ |
|
= 1 - |
|
|
+ |
|
|
|
- ... + |
|
+ ..., |
t |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n=0 |
(2n)! |
|
|
|
|
2! 4! |
|
|
|
(2n)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
0 |
α |
|
|
∞ α ×(α -1)× (α - 2)×...× (α - n +1) |
n |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
4 . (1 + t ) =1 + ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
=1 + α t + α × (α -1)t 2 |
+ α × (α -1)(α - 2)t 3 |
+ ..., ( |
|
t |
|
< 1) |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
(α – |
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
любое действительное число). Ряд называется биномиальным. |
44
50. Eсли положить α = −1 и t заменить на − t , то получим ряд, который является геометрической прогрессией
|
|
1 |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
< 1); |
|
|
|
|
||||
|
= |
∑ t n |
=1 + t + t 2 |
+ ... + t n + ..., |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
1 - t |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
60. ln(1+ t ) = ∑∞ (-1)n−1 t n |
= t - |
t 2 |
|
|
+ |
t3 |
|
-... + (-1)n−1 t n |
+ ..., |
|
( −1 < t ≤ 1); |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n=1 |
|
n |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
0 |
|
|
|
∞ |
(-1)n−1 |
× t 2n−1 |
|
t3 |
|
|
|
|
(-1)n−1 t 2n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
7 . |
arctgt = ∑ |
(2n -1) |
|
|
= t - |
|
|
+ ... + |
2n - |
1 |
+ ... , |
|
( −1 ≤ t ≤ 1). |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Например, |
чтобы |
|
разложить |
|
функцию |
|
f (x) = sin |
x2 |
|
в ряд |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||
Маклорена, используем табличное разложение синуса, полагая |
y = |
x2 |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
y3 |
y5 |
|
y7 |
|
|
|
(-1)n−1 y2 n−1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Тогда sin |
|
= sin y = y - |
|
|
+ |
|
|
- |
|
|
|
+ ... + |
|
(2n -1)! |
+ ...= |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
3 |
3! |
|
5! |
7! |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x2 |
|
x6 |
|
|
|
x10 |
|
|
|
|
|
x14 |
|
|
(-1)n−1 x4 n−2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
- |
|
+ |
|
|
|
|
- |
|
+ ... + |
|
|
|
+ .... |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
3!33 |
5!35 |
|
|
|
7!37 |
(2n -1)!32 n−1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Так |
как разложение |
функции |
|
sin y в |
ряд имеет место для всех |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y (− ∞;+∞), |
то и разложение функции |
sin |
x2 |
|
имеет место для всех |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x (− ∞;+∞).
Степенные ряды можно использовать для приближенных
вычислений значений функции в точке. Для этого исходную функцию f (x) раскладывают в степенной ряд, сохраняя первые n членов разложения, отбрасывая остальные. Для оценки погрешности найденного приближенного значения нужно оценить сумму отброшенных членов.
Если данный ряд знакопостоянный, то ряд, состоящий из отброшенных членов, сравнивают с бесконечно убывающей геометрической прогрессией. В случае знакочередующегося ряда, члены
45
которого удовлетворяют признаку Лейбница, используется оценка
|
Rn |
|
< un+1 , где un+1 – первый из отброшенных членов ряда. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с точностью δ = 0,00001. Для этого |
|||||||
|
|
|
Вычислим, |
например, |
|
|
|
e |
|
|||||||||||||||||||
используем готовое разложение функции ex |
в степенной ряд по степеням |
|||||||||||||||||||||||||||
|
x : |
|
|
|
ex |
= 1 + |
x |
+ |
|
x2 |
+ |
x3 |
+ ... + |
xn |
|
+ .... |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1! |
|
|
2! |
3! |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Полагая в данном равенстве |
x = |
1 |
, получим |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
= |
|
|
=1 + |
|
|
1 |
|
+ |
|
|
|
1 |
+ |
1 |
|
+ ... + |
1 |
+ ... |
|||||||
|
|
|
e |
2 |
|
e |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n!×2n |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1!×2 2!×22 |
3!×23 |
|
|
Определим, сколько членов ряда следует взять, чтобы погрешность приближенного равенства
|
|
|
|
|
|
|
|
|
» 1 + |
1 |
+ |
|
|
|
1 |
|
|
+ |
|
|
1 |
|
|
|
+ ... + |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n!×2n |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1!×2 2!×22 |
|
|
3!×23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
не превышала заданного числа δ = 0,00001. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Погрешность этого приближенного равенства Rn |
|
определяется суммой |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
членов ряда, следующих после |
|
|
|
|
|
в разложении |
|
|
e : |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n!×2n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Rn |
= un+1 + un+2 |
+ un+3 |
+ ... = |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
+ |
1 |
|
+ ..., |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n +1)!×2 |
|
|
|
|
|
(n + 2)!×2n+2 |
|
(n + 3)!×2n+3 |
|
||||||||||||||||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||
Rn |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ... . |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
(n +1)(n + 2)× 22 |
|
|
(n +1)(n + 2)(n + 3)× 23 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n!×2n (n +1)× 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Заменив |
каждый из |
|
сомножителей |
|
n + 2, n + 3, n + 4, ... меньшей |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
величиной n +1, получим неравенство: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
R < |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ... . |
|
|||
|
|
|
|
|
n!×2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(n |
+1) |
|
2 |
|
|
|
(n + |
1) 2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
(n +1)× 2 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
46
В скобке получаем бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с
первым членом b1 |
= |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
и знаменателем прогрессии q = |
|
|
1 |
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(n |
+1)× 2 |
|
|
(n + |
1)× 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Запишем ее сумму по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
S = |
|
|
1 |
|
|
= |
|
|
|
|
n +1 × 2 |
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 - q |
1 - |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
n + |
|
1 |
|
|
(2n +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n +1)× 2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rn |
|
< |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n!×2n (2n +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Далее подбором определяем, |
|
|
при каком натуральном значении n будет |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
выполняться неравенство Rn |
|
< δ = 0,00001. |
|
Полагая, к примеру, |
|
n = 3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
имеем |
R < |
|
|
1 |
|
|
|
|
= |
|
1 |
. |
|
|
|
(нельзя |
|
сказать |
с |
уверенностью, |
что |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
× 7 |
× 6 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
8 |
|
|
|
336 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
R3 < |
|
1 |
|
|
|
). |
Пусть |
далее |
|
|
n = 5 . |
Тогда |
|
|
|
|
|
R5 |
< |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
= |
|
|
1 |
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
100000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
120 × |
32 ×11 42240 |
|||||||||||||||||||||||
Пусть, |
наконец, |
n = 6 . Тогда |
|
R6 < |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
, |
|
т.е. |
R6 < |
|
|
|
1 |
|
|
и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100000 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
720 × 64 ×13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
можно принять n = 6 . Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
»1 + |
1 |
+ |
1 |
|
|
+ |
1 |
|
+ |
1 |
|
|
|
|
+ |
1 |
|
+ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1!×2 2!×22 |
|
3!×23 |
|
|
|
|
4!×24 |
|
|
5!×25 |
6!×26 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= 1 + 0.5 + 0.125 + 0.020833 + 0.002604 + 0.000260 + |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+0.000022 = 1.648719. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
» 1.648719 |
|
с точностью δ = 0,00001. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Значит |
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заметим, что каждое слагаемое мы вычисляли с точностью до
0,000001, чтобы при суммировании не получить погрешности,
превышающей 0,00001.
47
1
Вычислим далее с точностью δ = 0,00001. Используем готовое
5 e
разложение функции ex в степенной ряд по степеням x , взяв x = - |
1 |
: |
|||||||||||||
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
1 |
|
= e− |
1 |
= 1 - |
|
1 |
+ |
1 |
- |
1 |
+ ... . |
|
|
||
|
5 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
5 e |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
1!×5 2!×52 |
3!×53 |
|
|
|
Полученный знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница, а потому допускаемая погрешность по абсолютной величине будет меньше первого из отброшенных членов ряда. Нетрудно видеть, что
|
1 |
= |
|
1 |
|
|
|
|
= |
|
1 |
|
|
< |
1 |
|
. Поэтому можно отбросить это |
||||||||
5!×55 |
|
|
|
|
|
|
375000 |
100000 |
|||||||||||||||||
120 |
× 3125 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
слагаемое и воспользоваться приближенным равенством |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
» 1 - |
1 |
+ |
1 |
|
- |
1 |
+ |
1 |
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 e |
1!×5 2!×52 |
|
3!×53 |
4!×54 |
|
||||||||||
Тем самым, |
1 |
|
» 1 - 0,2 + 0,02 - 0,001333 + 0,000067 = 0,81873. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
5 e |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Степенные ряды применяют также для вычисления
определенных интегралов. Если требуется вычислить определенный
интеграла |
∫b |
f (x)dx с заданной точностью δ , то подынтегральную |
|
a |
|
функцию |
f (x) нужно разложить в ряд Маклорена, пользуясь готовыми |
разложениями функций ex , sin x , cos x , (1 + x)m , ln(1 + x), arctg x .
Далее в области сходимости полученный ряд интегрируют почленно (для каждого слагаемого находят определенный иетеграл) если ряд явялется рядом Лейбница, отбрасывают все слагаемые, начиная с того, который по модулю меньше числа δ . Суммируя оставшиеся слагаемые, записываем ответ.
48
|
|
|
|
|
|
|
0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вычислим, например, |
|
|
∫ |
|
1 − cos x |
dx с точностью |
|
δ = 0,0001. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Раскладываем подынтегральную |
|
функцию |
|
f (x) = |
1 − cos x |
|
|
|
в ряд |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Маклорена, используя готовое разложение функции cos x : |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
n |
x2 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
cos x = 1 - |
|
|
+ |
|
|
- ... + (- |
1) |
(2n)! + .... |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
2! |
4! |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
x |
4 |
|
|
x |
6 |
|
|
|
|
x |
2 |
|
x |
4 |
|
|
x |
6 |
|
|
|||||
|
1 - cos x |
|
1 - 1 - |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
- |
|
|
+ ... |
1 -1 + |
|
- |
|
+ |
|
- ... |
|||||||||||
|
|
2! |
|
4! |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
f (x) = |
= |
|
|
|
|
|
6! |
|
|
= |
|
|
2! |
4! |
6! |
|
= |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
=1 - x2 + x4 - ....
2! 4! 6!
Область сходимости полученного ряда – вся числовая ось. Далее находим первообразные функции для каждого из слагаемых этого степенного ряда
0,51 - cos x |
|
0,5 |
1 |
|
|
x2 |
|
|
x4 |
|
|
1 |
|
|
x3 |
|
x5 |
|
|
0,5 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
|
dx = |
∫ |
|
|
- |
|
|
+ |
|
|
- ... dx |
= |
|
x |
- |
|
+ |
|
|
- ... |
|
= |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
0 |
|
x2 |
|
0 |
2! 4! |
|
|
6! |
|
|
2! |
|
4!×3 6!×5 |
|
|
0 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
x3 |
|
|
x5 |
|
|
0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
- |
|
|
+ |
|
|
|
|
- ... |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
72 |
|
3600 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Используя формулу Ньютона-Лейбница, получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
0,5 |
- (0,5)3 |
|
+ (0,5)5 |
- ... = 0,25 - 0,0017 + 0,000009 - .... |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
72 |
|
|
|
|
3600 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Все члены полученного числового ряда, начиная с третьего, отбрасываем,
поскольку третий член ряда равен 0,000009 и он меньше заданной
точности 0,0001. Окончательно получаем
∫ |
1 − cos xdx @ 0,25 - 0,0017 = 0,2483 . |
|
0,5 |
|
|
0 |
x2 |
49