5523
.pdf= - |
|
(x - 7 + x - 3)(x -1)4 - (x - 3)(x - 7)× 4(x -1)3 |
|
= |
|
||||
|
(x -1)8 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= - |
|
(2x -10)(x -1) - 4(x2 -10x + 21) = |
|
|
|
||||
|
|
|
(x -1)5 |
|
|
|
|
|
|
= - |
|
2x2 -12x +10 - 4x2 + 40x - 84 |
= |
2x2 - 28x + 74 |
. |
||||
|
|
(x -1)5 |
|
||||||
|
|
|
|
(x -1)5 |
|
|
|
||
Итак, |
y¢¢ = |
2(x2 -14x + 37) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
(x -1)5 |
|
|
находим y′′ = 0 |
|||
Используя необходимое условие |
перегиба, |
|
|
|
|
|
|
|
= |
14 ± |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x2 -14x + 37 = 0 , |
|
x |
196 −148 |
|
= 7 ± 2 |
|
|
|
|||||||||||||||||
или |
|
|
, откуда x |
|
3 ; |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1, 2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1, 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
существует (x -1)5 = 0 , откуда x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
= 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Используем достаточные условия перегиба. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
y′′ |
|
|
7 − 2 |
|
|
|
|
|
|
7 + 2 |
|
|
|
|
x |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
0 |
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y¢¢(0) = |
74 |
= -74 < 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
-1 |
|
|
|
= 7 ± 2 |
|
D и при переходе через эти точки |
y′′ |
||||||||||||||||||
Так как точки |
x1, 2 |
3 |
знак, то x1, 2 = 7 ± 23 – точки перегиба графика функции y .
y′′ не
меняет
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
||
Так как при x < 1, 7 − 2 3 < x < |
7 + 2 3 |
|
||||||||||||||||||||
y |
(x) < 0 , то в интервалах (− ∞;1) |
|||||||||||||||||||||
, (7 - 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3; 7 + 2 3) функция y выпукла вниз. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
Так |
|
|
как при |
|
1 < x < 7 − 2 3 , |
x > 7 + 2 |
3 |
то в интервалах |
||||||||||||||
|
|
|
y (x) > 0, |
|||||||||||||||||||
(1; 7 - 2 |
|
|
), (7 + 2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
3 |
3;+¥) функция y выпукла вверх. |
|
|||||||||||||||||||
6. Находим координаты точек пересечения кривой с координатными осями: |
||||||||||||||||||||||
Ox : y = 0 (x - 3)2 = 0 , откуда x = 3 ; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(0 - 3)2 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Oy : x = 0 y = (0 -1)3 = |
|
= -9 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7. Строим эскиз графика данной функции. (См. рис. 65).
70
y
y = 0 |
2 |
|
|
27 |
|
|
|
|
0 1 3 7−2 3 7 |
7+2 3 |
x |
-9
x = 1 |
Рис. 65 |
71
Контрольные задания
|
|
|
|
|
|
|
Задание 1 |
|
Найти матрицу C = AT × B , если: |
|
|||||||
|
2 |
3 |
|
−1 |
|
0 |
|
|
1.01. A = |
|
|
, B = |
|
|
|
. |
|
|
− 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
2 |
|
− 3 |
||||
|
0 |
2 |
|
|
4 |
|
− 1 |
|
1.02. A = |
|
|
, B = |
|
|
. |
||
|
− 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
6 |
||||
|
3 |
− 2 |
|
|
4 |
|
3 |
|
1.03. A = |
|
|
, |
B = |
|
|
|
. |
|
|
4 |
|
|
− 2 |
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|||||
− 3 |
0 |
|
|
2 |
|
1 |
|
|
1.04. A = |
|
|
, |
B = |
|
|
|
. |
|
− 2 |
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
− 3 |
||||
|
4 |
− 1 |
0 |
−1 |
||||
1.05. A = |
|
, B = |
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
0 |
5 |
1 |
|
6 |
||||
|
2 |
0 |
|
− 2 |
1 |
|
||
1.06. A = |
|
|
, |
B = |
|
|
|
. |
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
− 4 |
|
|
5 |
||||
|
0 |
− 2 |
|
|
1 |
|
2 |
|
1.07. A = |
|
|
, |
B = |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
−1 |
− |
|
|
1 |
− 3 |
|
2 |
|||||
|
3 |
4 |
|
|
0 |
|
6 |
|
1.08. A = |
|
|
, B = |
|
|
|
. |
|
|
− 5 |
|
|
|
− 2 |
− |
|
|
|
1 |
|
3 |
|||||
− 2 |
0 |
|
− 4 |
0 |
|
|||
1.09. A = |
|
|
, |
B = |
|
|
|
. |
|
− 3 |
1 |
|
|
− 1 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|||||
− 4 |
1 |
|
− 2 |
−1 |
||||
1.10. A = |
|
|
|
, B = |
|
|
. |
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
− 5 |
|
|
1 |
72
Задание 2
Решить систему по правилу Крамера.
3x1 + x2 + 3x3 = 6 |
||||||||
|
x1 − x2 |
− x3 |
= 0 . |
|||||
2.01. |
||||||||
2x − 3x |
2 |
− 4x = −2 |
||||||
|
1 |
|
|
3 |
|
|||
4x1 − x2 − x3 = 3 |
||||||||
|
|
+ x2 − 5x3 |
= 2 . |
|||||
2.02. x1 |
||||||||
2x − 3x |
2 |
+ x = −1 |
||||||
|
1 |
|
|
3 |
|
|
||
− x1 + x2 + 5x3 = 5 |
||||||||
|
|
− 3x2 |
− 2x3 = −3. |
|||||
2.03. 2x1 |
||||||||
|
x + 2x |
2 |
− 3x |
3 |
= 0 |
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
||
x1 − 3x2 + x3 = 2 |
||||||||
|
|
+ x2 − 2x3 |
|
= 0 . |
||||
2.04. 2x1 |
|
|||||||
3x − x |
2 |
− 5x = −2 |
||||||
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
x1 − x2 + 4x3 = 2 |
||||||||
|
|
+ 2x2 − x3 |
|
= −3. |
||||
2.05. − x1 |
|
|||||||
|
x − 3x |
2 |
+ x |
= 4 |
||||
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
3x1 + x2 − x3 = 0 |
||||||||
|
|
− 3x3 |
= −4 . |
|||||
2.06. x1 − x2 |
||||||||
− 2x + x |
2 |
+ 3x = 4 |
||||||
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
x1 − x2 − x3 = −1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
+ 3x3 |
= 2 . |
|
2.07. − 2x1 + x2 |
||||||||
|
2x + x |
2 |
− 2x |
= 1 |
||||
|
1 |
|
|
|
3 |
|
||
x − 4x |
2 |
|
+ x |
= 0 |
||||
|
1 |
|
|
3 |
|
|
||
2.08. 2x1 + x2 |
|
|
+ 2x3 |
= 0 . |
||||
2x + 2x |
2 |
− x |
= 4 |
|||||
|
1 |
|
|
3 |
|
|
4x1 + x2 + x3 = 3 |
||||
|
+ 2x2 |
− x3 = −1. |
||
2.09. x1 |
||||
x + x |
2 |
+ 3x = 0 |
||
|
1 |
|
3 |
|
− x1 − x2 + x3 = 0 |
||||
|
|
|
|
− x3 = 1 . |
2.10. 2x1 + x2 |
||||
3x − 3x |
2 |
+ 2x = 5 |
||
|
1 |
|
3 |
73
Задание 3
Дана пирамида ABCD . Найти:
1)угол ABC грани ABC ;
2)площадь грани BCD;
3)объем пирамиды ABCD , если
3.01. A( 1; 2;3), B( 0;−1;1), C(−1; 0;−2), D(− 2;3;0). 3.02. A( 4;3;1), B( 0;−2;3), C( 3;0;−3), D(−1;1;0). 3.03. A( 2;3; 4), B( 0;−1;1), C( 3;0;−2), D(− 2;3;0). 3.04. A( 3; 4;1), B( 0;−1;3), C( 2;0;−1), D(−1; 2;0). 3.05. A( 4;5; 2), B( 0;−2;1), C(1;0;−3), D(− 2; 2;0). 3.06. A( 3; 2;1), B( 0;1; 2), C( 2;0;−1), D(− 3;3;0). 3.07. A( 1;3;5), B( 0; 2; −1), C( 2;0;3), D(− 2;−1; 0). 3.08. A( 1; 4;6), B( 0;1;−1), C( 2; 0; 2), D(−1;−2; 0).
3.09.A( 2; 4;1), B( 0;−1; − 2), C(1;0; 2), D(− 2;1;0).
3.10.A( 3;1; 2), B( 0;−1;−3), C(1;0;1), D(−1;3;0).
74
Задание 4
Дан ABC. Найти:
1)уравнения его сторон;
2)уравнение высоты, опущенной из вершины A на сторону BC ;
3)уравнение медианы AM ;
4)уравнение прямой, проходящей через точку A и параллельной медиане AM , если
4.01. A( 0; 2), B(1;0), C(− 2;1). 4.02. A( 0;−1), B(− 2;0), C( 3; 4). 4.03. A( 0;1), B(−1;0), C( 4;3). 4.04. A( 0;3), B(−1;0), C(− 2;1). 4.05. A( 0;−2), B(−1;0), C( 3; 4). 4.06. A( 0; 4), B( 4;0), C(− 2;−3). 4.07. A( 0;3), B(− 3;0), C( 2;−3). 4.08. A( 0;1), B(− 3;0), C( 2;−3).
4.09.A( 0;−1), B(− 3;0), C( 4; 2).
4.10.A( 0;−2), B( 2;0), C(−1;1).
75
Задание 5
Исследовать функцию и построить ее график:
3 |
|
3x − x |
2 |
|
5.1. y = (x -1) . |
5.6. y = |
|
. |
|
|
2 |
|||
x2 |
|
(x + 2) |
5.2. y = |
(x2 -1)2 |
|
|
|
|
x 2 |
||||||||
x |
3 . |
5.7. y = x × |
|
|
|
. |
||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x - 3 |
|||||||
5.3. y = |
(x - 2)3 |
5.8. y = |
|
x |
2 |
|
|
|
|
|||||
x2 -1 . |
|
|
. |
|
||||||||||
|
|
|
||||||||||||
(x −1)3 |
||||||||||||||
5.4. y = |
x5 |
|
|
|
|
|
2x2 |
+ 3 |
|
|
||||
1- x4 . |
5.9. y = |
|
||||||||||||
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||
|
|
x2 |
+1 |
|
|
|||||||||
5.5. y = |
2x − 3 |
. |
5.10. y = |
x3 - x2 +1 |
||||||||||
|
||||||||||||||
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 -1 |
76
Литература
1.Важдаев В.П., Коган М.М., Лиогонький М.И., Протасова Л.А. 64 лекции по математике. Книга 1 (лекции 1-39): монография; Нижегор. гос. архитектур.-строит. ун-т – Н.Новгород: ННГАСУ, 2012.– 284 с.
2.Иванова С.В. Построение графиков функций и кривых. – М.:
МФТИ, 2007. – 78 с.
3.Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть 1.– М.: ООО Изд-во «Мир и образование»,
2008 – 368 с.
77
|
Содержание |
|
|
§1. |
Линейная алгебра.............................................................................. |
|
3 |
|
Матрицы и действия над ними.....……...……………………........... |
|
3 |
|
Определители......................................................................…… ......... |
|
7 |
|
Системы линейных уравнений...………………………………........ |
|
8 |
§2. |
Векторная алгебра............................................................................. |
|
10 |
|
Линейные операции над векторами ……………………………… |
.. |
11 |
|
Действия над векторами в координатной форме.............................. |
|
13 |
|
Скалярное произведение векторов..................................................... |
|
15 |
|
Некоторые приложения скалярного произведения.......................... |
|
16 |
|
Векторное произведение векторов..................................................... |
|
17 |
|
Смешанное произведение векторов................................................... |
|
20 |
§3. |
Прямая на плоскости........................................................................ |
|
23 |
|
Общее уравнение прямой.................................................................... |
|
23 |
|
Взаимное расположение прямых на плоскости................................ |
|
32 |
§4. |
Функция одного переменного......................................................... |
|
35 |
|
Основные понятия............................................................................... |
|
35 |
|
Основные элементарные функции..................................................... |
|
38 |
|
Предел числовой последовательности.............................................. |
|
43 |
|
Предел функции................................................................................... |
|
47 |
|
Производная......................................................................................... |
|
51 |
|
Производная сложной функции......................................................... |
|
56 |
|
Производные высших порядков......................................................... |
|
57 |
|
Дифференциал функции...................................................................... |
|
58 |
|
Правило Лопиталя................................................................................ |
|
59 |
|
Исследование функций и построение их графиков.......................... |
|
60 |
|
Симметрия функции............................................................................ |
|
61 |
|
Асимптоты графика функции............................................................. |
|
62 |
|
Участки возрастания и убывания функции. Точки минимума и |
|
|
|
максимума............................................................................................ |
|
63 |
|
Интервалы выпуклости и вогнутости кривой. Точки перегиба....... |
|
65 |
|
Основные требования к результатам исследования и построения |
|
|
|
графика.................................................................................................. |
|
67 |
|
Контрольные задания.………………………………………….......... |
|
72 |
|
Литература.……………………………………………………........... |
|
77 |
78
Бесклубная Антонина Вячеславовна Павел Валерьевич Столбов
ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ПРЕДЕЛЫ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.
Учебно-методическое пособие по выполнению контрольной работы по дисциплине «Математика»
для обучающихся по направлению подготовки 38.03.02 Менеджмент, профиль Маркетинг
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
603950, Нижний Новгород, ул. Ильинская, 65. http://www. nngasu.ru, srec@nngasu.ru
79