5556

y = x4

1

-1 0

1

x

Рис.57

Функция

y = f (x) называется

нечетной,

если

f (− x) = − f (x).

График

нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Пример.

Функция

y = x3

является

нечетной,

так

как

y(− x) = (− x)3

= −x3 = − y(x),

следовательно, график этой функции симметричен

y = x3

1

-1 0

1

x

-1

Рис.58

Заметим, что график четной (нечетной) функции достаточно исследовать

только при x ³ 0 , а при

x < 0 достроить по симметрии, то есть симметрично

относительно оси Oy (начала координат).

Функция

y = f (x)

называется

периодической, если

существует такое

положительное

число T ,

что f (x + T ) = f (x).

Наименьшее

из таких чисел T

Пример. Функция

y =

1

периодическая с периодом T = π , так как

sin 2

x

1

1

1

y(x + T ) =

=

=

= y(x).

График этой функции

sin2 (x + T )

(− sin x)2

sin2 x

изображен на рис. 59.

− 2π

3π

−π

π

0

π

3π

2π x

−

−

π

2

2

2

2

Рис. 59

Асимптоты графика функции

Прямую L

называют

асимптотой

графика

функции y = f (x), если

Прямая

x = a

является

вертикальной

асимптотой

кривой

y = f (x),

если

lim f (x) = ∞ .

x→a

y = b является горизонтальной асимптотой кривой

y = f (x),

Прямая

если

lim f (x) = b .

x→∞

y = kx + b

y = f (x),

Прямая

является наклонной асимптотой кривой

если

существуют пределы:

f (x)

k = lim

и

b = lim( f (x) − kx).

x→∞

x

x→∞

Пример. Найти асимптоты кривой y =

x2

.

x −

1

Решение. Данная функция определена в интервалах (− ∞;1) и (1;+∞).

Так

как

lim

x2

=

12

=

1

= ∞ , то

прямая

x = 1

есть

вертикальная

x→1

x − 1

1 −1

0

асимптота данной кривой.

Горизонтальных

асимптот

кривая

не

имеет,

так

как

предел

lim

x2

= ¥

= lim

(x2 )′

= lim

2x

= ¥ не является конечной величиной.

x -1

(x -1)¢

1

x→∞

¥

x→∞

x→∞

Наклонные асимптоты находим в виде уравнения прямой y = kx + b :

f (x)

x2

x

∞

(x)′

1

k = lim

= lim

= lim

=

= lim

= lim

= 1;

x→∞

x

x→∞

(x −1)x

x→∞ x −1

∞

x→∞ (x −1)′

x→∞ 1

x2

x

b = lim( f (x) - kx) = lim

-1× x

= lim

= 1.

-

x→∞

x→∞

x

1

x→∞ x -1

Таким образом, существует наклонная асимптота y = x + 1.

Участки возрастания и убывания функции.

Точки минимума и максимума

Функция

y = f (x)

называется возрастающей (убывающей)

на

интервале

(a; b), если для любых точек

x1 ,

x2 (a;b)

таких,

что x1 < x2 ,

имеет место

неравенство: f (x1 ) < f (x2 )

( f (x1 ) > f (x2 )).

y = f (x)

Дифференцируемая

на

интервале (a; b)

функция

возрастает

(убывает) на интервале (a; b),

тогда и только тогда, когда для любого

x (a;b):

′

′

f (x) > 0

( f (x) < 0).

x −ε x

x0 0

x0

+ε

x

0

т. max

y

f (x)

f (x0 )

x −ε 0

x0

x x +ε

x

0

т. min

0

Необходимое условие экстремума: если x0

– точка экстремума функции

y = f (x), то в этой точке либо f

′

(x0 ) = 0 , либо производная не существует.

Достаточные

условия

экстремума:

пусть

функция

y = f (x)

дифференцируема и непрерывна в ε – окрестности критической точки

x0 кроме,

на плюс (плюс на минус) при переходе через точку

x0 , то

x0 – точка максимума

(минимума) функции y = f (x).

Пример. Найти интервалы монотонности и

точки

экстремума функции

y =

x2

.

x −1

x

2

′

(x

2

′

2

′

y¢

=

=

) × (x -1) - x

× (x -1)

=

x -1

(x -1)2

=

2x × (x -1)- x2 ×1

=

2x2 - 2x - x2

=

x2 - 2x

.

(x -1)2

(x -1)2

(x -1)2

y′ = 0 Û x2 - 2x = 0 или

x(x − 2) = 0 , откуда x1 = 0 или x2 = 2.

y′ не существует (x −1)2

= 0 , откуда x3 = 1.

Используем достаточные условия экстремума. Наносим три критические

точки x1 = 0 ; x2 = 2; x3 = 1 на область определения D функции y . Они разбивают

y′

+

–

–

+

y

0

1

2

x

Так как x1

= 0 D и при переходе через эту точку

y′

меняет знак плюс на

минус, то x1 = 0 – точка максимума функции y .

Так как x2

= 2 D и при переходе через эту точку

y′

меняет знак минус на

плюс, то x2 = 2 –

точка минимума функции y .

Так как при любом

x (− ∞;0)

или x (2;+∞)

y′ > 0 , то в интервалах

(− ∞;0) и (2;+∞) функция y монотонно возрастает.

Так как при любом

x (0;1) или

x (1; 2)

y′ < 0 ,

то в интервалах (0;1) и

(1; 2) функция y монотонно убывает.

Рис. 62

a

x 0

b

x

График функции

y = f (x) называется выпуклым вверх в интервале

(a; b),

если он расположен выше касательной,

проведенной в любой точке x

этого

интервала (См. рис. 63).

a 0

x

b

x

a x0 −ε 0 x0 x0 +ε b

x

Рис. 64

Необходимое условие перегиба функции

y = f (x)

в точке x0 : если x0

–

точка перегиба функции y = f (x) и функция

y = f (x)

имеет в некоторой ε

–

окрестности точки x0 вторую производную, непрерывную в точке x0 , то

′′

f (x0 ) = 0

.

бесконечную определенного знака производную

′′

а функция

′′

f (x0 ),

f (x)

y

0

x

Так как x = 0 D и при переходе через эту точку y′′ меняет знак, то x = 0 –

точка перегиба данной функции.

′′

(− ∞; 0)

Так как для любого

x < 0

то в интервале

функция

y

y (x) < 0 ,

выпукла вниз.

′′

( 0;+∞)

Так как для любого

x > 0

то в интервале

функция

y

y (x) > 0 ,

Пример. Построить график функции y =

(x - 3)2

(x -1)3 .

Решение.

1.

Областью определения D данной функции y

является множество всех

действительных чисел R , кроме x = 1, то есть D = R \ {1}.

2

(x +

2

2.

Поскольку

y(- x) = (- x - 3)3

=

3)

и

y(- x) ¹ y(x) и

3

y(- x) ¹ - y(x), то функция

(- x -1)

- (x +1)

y не является четной и нечетной,

то

есть данная

функция y общего вида.

3. Находим асимптоты кривой.

Поскольку

lim = (x - 3)2

=

(1 - 3)2

=

4

= ¥ , то

x = 1

–

уравнение

(

)3

x→1

(

x

-

)3

0

1

1-1

вертикальной асимптоты графика данной функции y .

Наклонные асимптоты находим в виде уравнения прямой y = kx + b :

k = lim

y(x)

= lim

(x - 3)2

= ¥

= lim

((x - 3)2 )′

=

x

3

(x × (x -1)3 )¢

x→∞

x→∞

x ×(x -1)

¥

x→∞

= lim

2 × (x - 3)×1

= lim

2x - 6

=

(x -1)2 × (x -1 + 3x)

x→∞ 1× (x - 3)3 + x ×3 × (x -1)2 ×1

x→∞

= lim

2x - 6

=

¥

= lim

(2x - 6)′

=

2

¥

((x -1)2 × (4x -1))¢

x→∞

(x -1) × (4x -1)

x→∞

= lim

2

=

2

=

2

= 0;

2×(x

¥ + ¥

x→∞

-1)×(4x -1)+ (x -1)2 ×4

¥

(x - 3)

(x - 3)

¥

2

2

b = lim(y(x) - kx) = lim

(x -1)

- 0 × x

= lim

(x -1)

=

¥

=

x→∞

x→∞

x→∞

3

3

((x − 3)2 )′

2(x − 3)

∞

= lim

((x − 1)3 )′

= lim

=

=

2

x→∞

x→∞

3(x − 1)

∞

y¢ =

(x - 3)2 ′

=

((x - 3)2 )′ ×(x -1)3

- (x - 3)2 × ((x -1)3 )′

3

2

=

(x -1)

((x -1)3 )

=

2(x - 3)×(x -1)3 - (x - 3)2 ×3(x -1)2

=

(x -1)6

=

2x2 - 8x + 6 - 3x2 +18x - 27 =

- x2 +10x - 21

=

(x -1)4

(x -1)4

= -

(x − 3)(x − 7)

(x -1)4

y′ = 0

Используя

необходимое условие

экстремума,

находим

(x − 3)(x − 7) = 0 ,

откуда

x1

= 3 или x2 = 7 ;

y′ не существует

(x -1)4

= 0,

откуда x3

= 1.

Используем достаточные условия экстремума. Найденные три критические

точки наносим на область определения

D и определяем знак

y′

в каждом из

четырех интервалов.

y′

y

0

1

3

7

x

y¢(0) = - (0 − 3)(0 − 7)

= -

21

= -21 < 0

(0 -1)4

1

Так как x1

= 3 D и при переходе через эту точку

y′

меняет знак минус на

плюс, то x = 3 –

точка минимума функции y , y(3) = (3 - 3)2

=

0

= 0 .

8

1

(

)3

3 -

1

Так как x2

= 7 D и при переходе через эту точку

y′

меняет знак плюс на

минус, то x = 7 –

точка максимума функции y , y(7) = (7 - 3)2

=

16

=

2

.

2

7 -1

216

27

(

)3

Так как при

′

x < 1, 1 < x < 3, x > 7 y (x) < 0 , то в интервалах (− ∞;1), (1;3),

(7;+∞) функция y монотонно убывает.

Так как при

′

3 < x < 7 y (x) > 0 , то в интервале ( 3; 7) функция y монотонно

y¢¢

(y¢)¢

(x - 3)(x - 7) ′

=

-

4

=

=

(x -1)

((x − 3)(x − 7))′(x −1)4 − (x − 3)(x − 7)((x − 1)4 )′

= −

=

((x −1)4 )2

= -

(x - 7 + x - 3)(x -1)4 - (x - 3)(x - 7)× 4(x -1)3

=

(x -1)8

= −

(2x − 10)(x −1)− 4(x2 −10x + 21) =

(x − 1)5

= −

2x2 −12x + 10 − 4x2 + 40x − 84

=

2x2 − 28x + 74

.

(x −1)5

(x − 1)5

Итак,

y′′ =

2(x2 − 14x + 37)

.

(x − 1)5

y′′ = 0

Используя

необходимое условие

перегиба,

находим

или x1, 2 =

14 ±

x2 −14x + 37 = 0 ,

196 −148

x1, 2 = 7 ± 2

;

y′′ не

, откуда

3

2

существует (x −1)5

= 0 , откуда x3

= 1.