6005

10

В качестве моделирующих процессов используются обычно электриче-

ские процессы и модели, так как и в этом случае, весьма просто могут быть произведены измерения, а сама модель получается компактной.

Наиболее перспективным в применении аналогии между физически раз-

нородными процессам является метод математического моделирования, осно-

ванный на применении электронных вычислительных машин.

1.3 Математическое моделирование.

Математическое моделирование является методом описания процессов с количественной и качественной стороны с помощью математических моделей.

При построении математической модели реальное явление упрощается,

схематизируется, а полученная схема описывается в зависимости от сложности явления с помощью математического аппарата. От удачного выбора модели, от того, насколько правильно она отражает характерные черты рассматриваемого процесса, зависит успех исследования и ценность полученных выводов. В мо-

дели должны быть учтены все наиболее существенные факторы, влияющие на процесс, и вместе с тем она не должна быть загромождена множеством мелких,

второстепенных факторов, учет которых только усложнит математический ана-

лиз и сделает исследования труднообозримыми.

Составление исходных соотношений основывается на представлениях

«лапласовского детерминизма» о том, что состояние, свойство, изменение ма-

териальной системы в данном месте в координатах (X, Y, Z) в данный момент времени τ однозначно определяются влиянием на модель так называемыми функциями точки (x, y, z, τ).

Математическое описание, составляющее структуру модели, в зависимо-

сти от процесса представляют в виде системы конечных или дифференциаль-

ных уравнений. При этом необходимо соблюдать следующие правила:

– уравнений должно быть столько (не больше и не меньше), сколько име-

ется неизвестных величин, определяющих поведение физической системы;

11

– любое уравнение может быть решено относительно какой-то неизвест-

ной величины в том случае, когда остальные входящие в него неизвестные ве-

личины получены из других уравнений;

– каждое уравнение решается относительно наиболее значимой из входя-

щих в него переменных; при ее выборе надо руководствоваться физическими аспектами задачи.

Для определения выходных параметров в зависимости от входных из уравнений математического описания составляется алгоритм, т. е. строгая сис-

тема вычислений, которая после определенного числа шагов приводит к окон-

чательному решению.

При математическом моделировании необходимо, чтобы модель доста-

точно верно описывала качественно и количественно свойства моделируемого процесса, т. е. она должна быть адекватна моделируемому процессу. Для про-

верки адекватности математической модели реальному процессу нужно срав-

нивать результаты измерения в ходе процесса с результатами предсказания в идентичных условиях (при определенных значениях параметров).

Из изложенного выше следует, что математическое моделирование вклю-

чает основные три этапа: 1) формализацию изучаемого процесса или объекта – составление математического описания его модели; 2) создание алгоритма, мо-

делирующего изучаемый процесс или объект; 3) установление адекватности модели изучаемому процессу или объекту.

Следует иметь в виду, что математическое моделирование ни в коей мере не противопоставляется физическому моделированию, а скорее призвано до-

полнить его имеющимся арсеналом средств математического описания и чис-

ленного анализа. По существу, методы физического моделирования также ба-

зируются на тождественности математического описания процессов в иссле-

дуемом объекте и его физической модели. Однако они не рассматривают кон-

кретных свойств математического описания, а ограничиваются лишь суждени-

ем о тождественности объектов на основании сравнения некоторых опреде-

ляющих комплексов в общих математических уравнениях.

12

Методы физического моделирования в настоящее время приобретают но-

вое качество: их можно использовать для нахождения границ деформации ко-

эффициентов, входящих в уравнения математической модели, и тем самым – для масштабирования математически описанного процесса и установления аде-

кватности модели изучаемому объекту.

Применение метода математического моделирования целесообразно в тех случаях, когда:

–затруднительно или невозможно дать полное аналитическое решение конкретной задачи;

–возможно создание такой модели, исследование на которой проще и це-

лесообразнее, нежели исследование на самом объекте;

– ведется такое исследование, в ходе которого меняются условия постав-

ленной задачи (например, нахождение оптимума, сравнение вариантов и т. д.), а

это связано с большими затратами времени и ресурсов.

В зависимости от степени полноты математического описания какого-

либо процесса можно выделить два предельных случая: 1) известны полная система уравнений, описывающая все основные стороны моделируемого про-

цесса, и все численные значения параметров этих уравнений; 2) полное матема-

тическое описание процесса отсутствует. Этот второй случай типичен для ре-

шения кибернетических задач, в которых приходится иметь дело с управлением процессами при наличии неполной информации об объекте и действующих на него возмущениях. При этом параллельно с решением задачи моделирования решают задачу создания модели.

1.4 Основные виды математических моделей

Виды математических моделей определятся конкретными условиями осуществления процесса в выбранной аппаратуре. По своей природе процессы разделяются на детерминированные и стохастические.

13

Детерминированными называются такие процессы, в которых опреде-

ляющие величины изменяются непрерывно по вполне определенным законо-

мерностям. При этом значение выходной величины, характеризующей процесс,

однозначно определяется значением входной величины. Для описания детер-

минированных процессов применяются методы классического анализа и чис-

ленные методы.

Стохастическими называют такие процессы, в которых изменение опре-

деляющих величин происходит беспорядочно и часто дискретно. При этом зна-

чение выходной величины не находится в соответствии с входной. Для описания стохастических процессов используют статистически-вероятностные методы.

В настоящее время для большинства систем все характернее становится замена однозначного детерминизма более свободной и многозначной стохасти-

ческой, вероятностной картиной связи между событиями.

Если основные переменные процесса изменяются как во времени, так и в пространстве и если указанные изменения происходят только в пространстве с размерностью, большей единицы, модели, описывающие такие процессы, назы-

вают моделями с распределенными параметрами, и представляют их в виде дифференциальных уравнений в частных производных.

При изменении основных переменных процесса только во времени моде-

ли, описывающие такие процессы, называют моделями с сосредоточенными параметрами и представляют их в виде обыкновенных дифференциальных уравнений.

Значительная сложность теплотехнических процессов часто обуславлива-

ет составление математической модели по отдельным участкам (блочный принцип), что значительно облегчает их реализацию на вычислительных маши-

нах. В каждом конкретном случае полную модель процесса получают, комби-

нируя варианты отдельных участков (блоков).

В целом полная математическая модель включает в себя: основные пере-

менные процесса, описание связей между ними в установившихся процессах

(статистическая модель) и во времени при переходе от одного режима к друго-

14

му (динамическая модель), ограничения на процесс, критерий оптимальности,

функции оптимальности.

Схематические этапы построения полной математической модели пред-

ставлены на рис. 1.

В соответствии с природой рассматриваемого явления – детерминирован-

ной или стохастической – различают следующие математические модели: ана-

литическую жесткую, численную жесткую, аналитическую вероятностную,

численную вероятностную (модель «Монте-Карло»).

Жесткие модели (аналитическая и численная) обычно описывают детер-

минированные процессы без применения статически вероятностных распреде-

лений, а вероятностные модели (аналитическая и численная) – стохастические процессы.

При построении жестких моделей используют различные классические методы математики: дифференциальные уравнения, линейные разностные уравнения, интегральные уравнения и операторы для сведения к алгебраиче-

ским моделям. Вероятностные модели отражают законы распределения дис-

кретных и непрерывных переменных, а также распределение статистик (выбо-

рок). Эти методы рассматриваются в теории вероятностей и математической статистике.

Статистические модели имеют перед аналитическими то преимущество,

что они не требуют грубых упрощений и позволяют учесть большое число фак-

торов. Но зато результаты такого моделирования труднее поддаются анализу.

Наилучшие результаты получаются при совместном использовании аналитиче-

ских и статистических моделей: простая аналитическая модель позволяет разо-

браться в основных контурах явлений и наметить пути дальнейших исследова-

ний, в которых могут быть применены статистические модели любой сложности.

При анализе сложных процессов, когда не представляется возможным найти внутренние связи в системе или нет необходимости их изучать, приме-

няют принцип «черного ящика».

15

Рис. 1. Схематические этапы построения полной математической модели.

Этот принцип заключается в том, что, не имея информации о существе,

внутренней структуре процесса для его математического описания используют лишь зависимость выходных величин от входных.

Известны два вида «черных ящиков», рассматриваемых ниже по материа-

лам работы. К первому виду относится «черный ящик», который может рас-

сматриваться как автомат, причем такой, который может быть назван конечным или бесконечным. Поведение такого «ящика» известно. Ко второму виду отно-

сят такой «черный ящик», поведение которого может быть наблюдаемо только

16

в эксперименте. Здесь явно или неявно высказывается гипотеза о предсказуе-

мости поведения «черного ящика», хотя бы в вероятностном смысле. Без такой гипотезы невозможно никакое обобщение.

1.5 Классификация средств математического моделирования

Схему примерной классификации средств математического моделирова-

ния можно выразить совокупностью математических моделей (см. рис. 2).

Анализ математических моделей, их реализация с целью проведения вы-

числений, моделирование процесса в целом и управление им осуществляется при помощи вычислительных машин.

Рис. 2. Классификации средств математического моделирования.

Различают два класса вычислительных машин: непрерывного действия,

или аналоговые, и дискретного действия, или цифровые. Сравнение этих ма-

шин приведено в табл. 1.

Тепловые процессы протекают сравнительно медленно, и поэтому лучше применять ЦВМ, но вследствие большей наглядности изучение процесса ис-

следования, АВМ имеют конкурентоспособность с ЦВМ.

В последнее время находят широкое применение аналоговые цифровые вычислительные машины (АЦВМ), где быстродействие, простота программи-

рования одних машин, точность и универсальность других, взаимно дополняют друг друга, благодаря чему можно создать вычислительные системы, способ-

17

ные выполнять такие вычислительные работы, которые не может выполнять машина ни одно из упомянутых типов.

Типичная АЦВМ состоит из универсальных цифровой и аналоговой вы-

числительных машин и устройства связи, объединяющего их в единое целое и обеспечивающего двустороннюю передачу данных и управляющих сигналов в зависимости от решения требуемой задачи.

18

2. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ

САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

1.Дайте определение понятию модель.

2.Перечислите классификацию моделей тепловых процессов.

3.Назовите особенности физического моделирования.

4.Назовите особенности математического моделирования.

5.Какие процессы называются детерминированными?

6.Какие процессы называются стохастическими?

19

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Штофф, В.А. Моделирование и философия / В.А. Штофф. – М.: Наука, 1966. – 302 с.

2.Утеуш, Э.В. Введение в кибернетическое моделирование / Э.В. Утеуш,

З.В. Утеуш. – М.: Энергия, 1971. – 451 с.

3. Закгейм, А.Ю. Введение в моделирование химико-технологических

процессов / А.Ю. Закгейм. – М.: Химия, 1982. – 288 с.