6038
.pdf
Выражается функция и ее изображение.
Строится область исследуемых значений, она находится внутри плоскостей, ограниченных линиями. Причем, ниже первой линии и выше двух других, как и обозначено в системе уравнений: x + y ≤ 7
3x + 2 ∙ y ≥ 7
2 ∙ x + y ≥ 7 x ≥ 0, y ≥ 0
Трассировкой определяется нижняя точка пересечения плоскостей.
10
Можно найти эту точку путем построения уровней функции.
Пересечения функций рассматриваются когда:
С = 5, С = 10, С = 11,5
11
Нахождение точного значения координаты точки пересечения осуществляется при помощи Find
Нахождение точного значения функции в точке пересечения при помощи блока
Given-Find
12
1.2 Задания для самостоятельной работы
|
1 вариант |
|
|
|
2 вариант |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определить |
и |
при |
которых |
Определить |
|
и |
при |
которых |
необходимо |
установить |
максимум |
необходимо |
установить |
максимум |
|||
функции |
|
3 |
|
функции |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
f(x, y) = x + 2 ∙ y |
|
f(x, y) = 5 ∙ x + 2 ∙ y |
|
||||
|
x ≤ 6 |
|
|
|
|
x + 12 ∙ y ≥ 5 |
|
|
|
x + 6 ∙ y ≥ 6 |
|
93 ∙ x + 3 ∙ y ≥ 924 |
|
||||
|
*x + 2 ∙ y ≤ 12 |
|
* |
|
4 ∙ x + 10 ∙ y ≤ 50 |
|
||
|
x 9 y ≥ 91 |
|
|
5 ∙ x 9 12 ∙ y ≥ 935 |
|
|||
|
3 вариант |
|
|
|
|
4 вариант |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определить |
и |
при |
|
которых |
Определить |
|
и |
при |
которых |
необходимо |
установить |
|
максимум |
необходимо |
|
установить |
максимум |
||
функции f(x, y) = 96 ∙ x + 2 ∙ y |
|
функции f(x, y) = 96 ∙ x + y |
|||||||
|
x ≤ 8 |
|
|
|
|
2 ∙ x + y ≥ 6 |
|
||
5 ∙ x + 7 ∙ y ≥ 35 |
|
|
9 ∙ x + 6 ∙ y ≤ 54 |
||||||
|
9 |
27 |
|
|
7 |
9 |
∙ y ≥ 9 |
63 |
|
93 ∙ x + 2 |
∙ y ≥ 9 |
2 |
|
9 2 |
∙ x + 2 |
4 |
|||
|
x 9 3 ∙ y ≥ 912 |
|
|
|
3 ∙ x 9 4 ∙ y ≥ 912 |
||||
|
5 вариант |
|
|
6 вариант |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Определить |
и |
при |
которых |
Определить |
и |
при |
которых |
необходимо |
установить |
максимум |
необходимо |
установить |
максимум |
||
функции f(x, y) = 94 ∙ x + 5 ∙ y |
|
функции f(x, y) = 6 ∙ x + 5 ∙ y |
|
||||
|
4 ∙ x 9 3 ∙ y ≥ 924 |
|
|
7 ∙ x 9 4 ∙ y ≥ 948 |
|
||
|
x + 27 ∙ y ≥ 12 |
|
|
4 ∙ x + 5 ∙ y ≥ 40 |
|
||
* 3 ∙ x 9 4 ∙ y ≥ 16 |
|
* 7 ∙ x 9 5 ∙ y ≤ 15 |
|
||||
|
4 ∙ x + 5 ∙ y ≤ 104 |
|
|
4 ∙ x + 3 ∙ y ≤ 73 |
|
||
13
|
|
7 вариант |
|
|
|
8 вариант |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определить |
|
и |
при |
которых |
Определить |
и |
при |
которых |
|
необходимо |
|
установить |
максимум |
необходимо |
установить |
максимум |
|||
функции f(x, y) = 7 ∙ x + 8 ∙ y |
функции |
f(x, y) = 7 ∙ x + 9 ∙ y |
|
||||||
4 ∙ x 9 3 ∙ y ≥ 916 |
|
|
7 ∙ x 9 8 ∙ y ≥ 912 |
|
|||||
* |
4 ∙ x + 5 ∙ y ≥ 48 |
|
|
|
5 ∙ x + 2 ∙ y ≥ 30 |
|
|||
2 ∙ x 9 3 ∙ y ≤ 32 |
|
|
* 3 ∙ x 9 8 ∙ y ≤ 48 |
|
|||||
6 ∙ x + 7 ∙ y ≤ 160 |
|
|
3 ∙ x + 4 ∙ y ≤ 84 |
|
|||||
|
|
9 вариант |
|
|
|
10 вариант |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определить |
|
и |
при |
которых |
Определить |
и |
при |
которых |
|
необходимо установить минимум функции |
необходимо |
установить |
минимум |
||||||
f(x, y) = 96 ∙ x + y |
функции |
f(x, y) = 93 ∙ x + 4 ∙ y |
|
||||||
|
|
2 ∙ x + y ≥ 6 |
|
|
|
x + 5 ∙ y ≥ 5 |
|
||
9 ∙ x + 6 ∙ y ≤ 54 |
|
|
|
|
|||||
9 |
7 |
∙ x + 9 |
∙ y ≥ 9 63 |
|
|
5 ∙ x + 15 ∙ y ≤ 75 |
|
||
|
2 |
2 |
|
4 |
|
*94 ∙ x + 5 ∙ y ≥ 920 |
|
||
3 ∙ x 9 4 ∙ y ≥ 912 |
|
|
x 9 2 ∙ y ≥ 92 |
|
|||||
14
2 Линейное программирование задач со многими переменными. Полное исключение неизвестных методом Жордана-Гаусса.
В том случае, когда каноническая запись основной задачи линейного программирования имеет не более двух свободных переменных ее можно решить графическим способом. Тогда, выражая целевую функцию через свободные переменные путем алгебраических преобразований и переходя к задаче линейного программирования с двумя переменными, производится решение графическим методом. Метод Жордана-Гаусса подходит для решения усложненных задач.
Имеется система M линейных уравнений, в которой N неизвестных, причем M ≤ N: |
||||
+ + + = , |
|
|
||
* + + + = , |
|
|
||
" + " + + " = ", |
|
|
||
Матрица данной системы = = ( )"× обозначается через ? = ( , , , )@. |
||||
Столбец неизвестных записывается как |
=A = ( , , , ) |
@ |
. Тогда система |
|
уравнений записывается в виде: |
= ? = =A |
|
|
|
|
|
|
|
|
Когда матрица А содержит в каждом столбце ровно по одному ненулевому элементу, причем в разных строках, тогда переменные называются базисными. Свободные переменные (остальные) приводят решение системы уравнений к поиску коэффициентов. Задача решает систему квадратной матрицы А−1. При умножении матричного уравнения на обратную
матрицу, получается А0 решение системы:
B ? = =C ∙ =A
Метод алгебраических дополнений для нахождения обратной матрицы весьма проблематичный и долгий математический процесс, проще использовать численный метод. Производя элементарные преобразования находится через некоторое число шагов решение. В уравнениях выводятся коэффициенты неизвестных и на них делится уравнение и неизвестное исключается. После исключения неизвестных в каждом из уравнений система достаточно легко решается и выполняется обратный процесс поиска неизвестных. При этом будет получен вывод, что либо система несовместна, либо же найдено решение. Метод Жордана Гаусса называется и так же методом исключения неизвестных.
15
2.1 Пример выполнения задания
Найти оптимальное решение задачи линейного программирования, при которых
выполняются условия: |
x ≥ 0 |
|
|
|
+ xE |
→ max |
|
1(x , x , xD, xE) = 2 ∙ x + 2 ∙ x 9 xD |
|||
если должны выполняться условия поставленной задачи: |
|
||
F |
x + 2 ∙ x 9 xD 9 xE = 2 |
|
|
2 ∙ x + x + 2 ∙ xE = 1 |
|
|
|
|
x , x , xD, xE ≥ 0 |
|
|
Производится решение задачи методом Жордана-Гаусса
JM(M,a,b)
M − исходная расширенная матрица
a − номер строки разрешающего элемента b− номер столбца разрешающего элемента
Программный модуль решения матрицы JM(M,a,b) методом Жордана-Гаусса
16
Далее задается расширенная матрица, выполненная с элементами правых частей уравнений:
Определяются базисные переменные x , x и свободные переменные xD, xE.
Производятся преобразования и из полученной матрицы B2 выполняются уравнения,
задающие ограничения: |
F |
x 9 0,75 ∙ xD 9 xE |
= 0,75 |
|
|
||||
|
x + 0,5 ∙ xD + xE |
= 0,5 |
||
1(x , x , xD, xE) = 2 ∙ x + 2 ∙ x 9 xD + xE → max |
||||
Базисные переменные выражаются через свободные переменные: |
||||
|
|
x = 0,75 ∙ xD + xE |
+ 0,75 |
|
|
F x = 90,5 ∙ xD 9 xE + 0,5 |
|||
|
|
x ≥ 0 |
x ≥ 0 |
|
Можно производить и дальнейшие преобразования системы уравнений: |
||||
0,75 ∙ xD + xE ≥ 90,75 |
0,75 ∙ xD + xE ≥ 90,75 |
|||
F 90,5 ∙ xD 9 xE ≥ 90,5 |
↔ F 0,5 ∙ xD + xE ≤ 0,5 |
|||
Целевая функция принимает вид: |
|
|
||
1(xD, xE) = 2 ∙ (90,5 |
∙ xD 9 xE + 0,5) + 2 ∙ (0,75 ∙ xD + xE + 0,75) 9 xD + xE → max |
|||
|
1(xD, xE) = 90,5 ∙ xD + xE |
+ 2,5 → max |
||
Целевая функция с ограничениями принимает вид:
17
1(xD, xE) = 90,5 ∙ xD + xE + 2,5 → max F0,75 ∙ xD + xE ≥ 90,75
0,5 ∙ xD + xE ≤ 0,5
Полученная задача может быть достаточно быстро решена способом, описанным в предыдущем параграфе.
18
2.2 Задания для самостоятельной работы
1 вариант |
|
|
|
2 вариант |
|
||
|
|
||||||
Найти методом Жордана-Гаусса |
Найти методом Жордана-Гаусса |
||||||
оптимальное решение |
задачи |
линейного |
оптимальное |
решение задачи |
линейного |
||
программирования, |
при |
которых |
программирования, |
при |
которых |
||
выполняются условия: |
|
|
выполняются условия: |
|
|
||
x ≥ 0 |
|
|
|
x ≥ 0 |
|
||
9x + 2 ∙ x + xD = 1 |
3 |
9x + 2 ∙ x + xD = 2 |
|
||||
33 ∙ x + 5 ∙ x + xD + xE + 2 ∙ xH = 14 |
|
x + x |
+ xE = 2 |
|
|||
x + x + xD = 1 |
+ xD 9 |
|
2 ∙ x + x + xD |
+ xE + 2 ∙ xH = 6 |
|||
1(x , x , xD, xE, xH) |
= 2 ∙ x |
1(x , x , xD, xE, xH) = 3 ∙ x + xD 9 |
|||||
9xE+xH → max |
|
|
|
9xE+xH → max |
|
||
3 вариант |
|
|
4 вариант |
|
|||
|
|
||||||
Найти методом Жордана-Гаусса |
Найти методом Жордана-Гаусса |
||||||
оптимальное решение |
задачи |
линейного |
оптимальное |
решение |
задачи |
линейного |
|
программирования, |
при |
которых |
программирования, |
|
при |
которых |
|
выполняются условия: |
|
|
выполняются условия: |
|
|
||
x ≥ 0 |
|
|
x |
≥ 0 |
|
|
|
9x + x + xD = 2 |
|
2 ∙ x + x + xD |
+ xE + 3 ∙ xH = 5 |
||||
35 ∙ x + 2 ∙ x + xD + xE + xH = 11 |
3 3 ∙ x |
+ 2 ∙ xD 9 xE |
+ 6 ∙ xH |
= 7 |
|||
3 ∙ x + 2 ∙ x +xH = 6 |
x 9xD + 2 ∙ xE+xH = 2 |
|
|||||
1(x , x , xD, xE, xH) |
= 6 ∙ x |
9 x + |
1(x , x , xD, xE, xH) = |
|
|||
+2 ∙ xD9xE+xH → max |
+3 ∙ xD92 ∙ xE9xH → max |
||||||
5 вариант |
|
6 вариант |
|
||
|
|
||||
Найти методом Жордана-Гаусса |
Найти методом Жордана-Гаусса |
||||
оптимальное решение |
задачи |
линейного |
оптимальное решение |
задачи |
линейного |
программирования, |
при |
которых |
программирования, |
при |
которых |
выполняются условия: |
|
|
выполняются условия: |
|
|
x ≥ 0 |
|
x ≥ 0 |
|
|
|
x 9 x + xD = 1 |
|
9x + 2 ∙ x + xD = 2 |
|
||
32 ∙ x + 2 ∙ x + xD + xE + 2 ∙ xH = 12 |
32 ∙ x + 6 ∙ x + 2 ∙ xD |
9 xE + xH = 18 |
|||
2 ∙ x + x +xH = 4 |
|
x 92 ∙ x +xH = 12 |
|
||
1(x ,x , xD, xE, xH) = 7 ∙ x + |
1(x , x , xD, xE, xH) = 6 ∙ x + x + |
||||
+xD9xE+xH |
→ max |
|
+xE+2 ∙ xH → max |
|
|
19