6269

10

Вторая (основная) задача динамики материальной точки.

Вторая или основная задача динамики является обратной первой. Она формулируется следующим образом: найти закон движения точки массой m,

движущейся под действием заданной силы при известных начальных условиях.

Математически поставленная задача сводится к решению системы дифференциальных уравнений второго порядка (1.2):

md2x/dt2 = Fx ,

md2y/dt2 = Fy , (1.4) md2z/dt2 = Fz ,

при заданных начальных условиях:

В следующем параграфе мы рассмотрим решение второй задачи в зависимости от вида этих функций.

1.4. Прямолинейное движение точки

Если точка движется вдоль оси Ox, уравнения (1.4) и (1.5) принимают следующий вид:

F = const.

Задача 1.3. Найти максимальную высоту подъема тела массой m, брошенного вверх со скоростью v0 , пренебрегая сопротивлением воздуха.

Решение.

Проектируя основное уравнение динамики

11

ma = P,

на ось Oy, направленную вверх – по движению точки, получим:

Решим уравнение (1) при заданных начальных условиях:

Постоянную интегрирования определим из начального условия 0.

В результате получим закон изменения скорости тела:

Рассмотрим (3) и (4) в момент времени t = tпод, соответствующий достижению максимальной высоты подъема H :

0 = v0 – gtпод ;

12

H = v0tпод + (1/2)g под.

Из полученной системы уравнений находим высоту подъема тела,

H= v02/(2g).

Вслучае, когда на тело, движущееся прямолинейно, действует сила, зависящая только от времени, F = F(t), интегрирование основного уравнения динамики (1.1) по аналогии с задачей (1.3) дает законы изменения скорости и координаты тела с течением времени:

t

v = v0 + (1/m) ∫ F (t)dt ,

0

t t

x = x0 +v0t + (1/m) ∫ (∫ F (t)dt)dt .

0 0

Рассмотрим случай, когда на тело действует сила, зависящая только от координаты, F = F(x).

Задача 1.4. Найти закон движения точки массой m, упруго закрепленной на пружине с жесткостью c , при начальных условиях:

x(0) = a , v(0) = 0.

Решение.

Движение точки происходит под действием силы упругости пружины, направленной к положению равновесия и равной F = – cr (рис. 3).

y

O

x

F = – cr

Рис. 3

Проектируя основное уравнение динамики ma = – cr на ось Ox , вдоль которой происходит движение, и, выбирая начало отсчета на конце недеформированной пружины, получим уравнение движения точки:

ma = – cx .

Воспользовавшись подстановкой

13

' ( )( ) )( ,

и, умножив обе части уравнения на dx , получим:

* + +

или

( , ) .

Постоянную интегрирования определим из начальных условий:

Подставляя в (1) v = dx/dt и разделяя переменные, получим:

Тогда

'2* sin 60)7 : - * ,

откуда

где ; .*⁄ .

14

Из курса физики мы знаем, что уравнение (3) описывает гармонические колебания точки с амплитудой ' и собственной частотой ;.

Рассмотрим интегрирование основного уравнения динамики для случая

F = F(v).

Вэтом случае рекомендуется пользоваться следующим правилом:

1)Если в задаче дано или нужно найти время t , применять подстановку a

=dv/dt.

2)Если в задаче можно обойтись без определения времени, следует применять подстановку a = vdv/dx.

Задача 1.5. Материальная точка массой m , получив начальную скорость υ0 , движется по горизонтальной поверхности, испытывая силу сопротивления

R = кυ , где к = const , υ - скорость. Найти время движения точки до остановки t , пройденный путь S и среднюю скорость υср за время движения.

Х

Рис. 4

Решение.

Изобразим точку с действующими на нее силами (рис. 4). Запишем основное

уравнение динамики точки в векторной форме

= > ?.

Направим ось x в сторону движения точки и запишем уравнение движения в скалярной форме (в проекции на ось x )

m&x& = −R .

Разделив переменные, получаем m dυυ = −кdt .

15

Т.к. известно, что начальная скорость точки υ0 , а конечная равна 0, то

целесообразно решить это дифференциальное уравнение, взяв определенный интеграл в левой и в правой части

уравнение движения точки m dυ = −кυ , преобразуем уравнение так, чтобы в dt

него входила координата x :

mυ × dυ = −кυ , разделив переменные получим dx

mυdυ = −кdx .

Интегрируя уравнение, получаем

-2 mυ03 / 2 = −кS , т.е. 3

S = 2m υ 3 / 2 . 3к 0

Среднюю скорость точки за время движения найдем, разделив путь на время.

1.5.Решение II задачи динамики в случае криволинейного движения

Криволинейное движение точки в плоскости описывается двумя уравнениями x = f1 (t ), y = f2 (t ).

Задача 1.6. Исследовать движение точки массы m , брошенной под углом α к горизонту с начальной скоростью υ0 , без учета сопротивления воздуха

(рис. 5), полагая, что в начальный момент времени точка находится в начале координат, т.е. x0 = 0 , у0 = 0 .

Решение.

Запишем дифференциальные уравнения движения точки

y

v0

G = mg

O

x

z

Рис. 5

Разделив переменные, получаем dx = υ0 cosα × dt .

После интегрирования получаем x = υ0 cosα × t + c1 , постоянную интегрирования c1 находим по начальным условиям: в последнем уравнении полагаем t = 0 ,

получаем x0 = c1 = 0 .

Таким образом, закон движения точки по оси x имеет вид: x = υ0 cos α × t . Дифференциальное уравнение движения точки по оси y имеет вид:

Разделив переменные, проинтегрируем это дифференциальное уравнение dυ y = −gdt , υ y = −gt + c2 .

17

Учитывая, что υ y = dy , получаем дифференциальное уравнение первого dt

порядка dy = -gt +υ0 sinα . Разделив переменные и проинтегрировав уравнение, dt

получаем

y = - gt 2 +υ0 sinαt + c3 . 2

Чтобы найти постоянную интегрирования c3 , полагаем t = 0 ,

y0 = c3 = 0 .

Таким образом, закон движения точки вдоль оси y принимает вид

Подставляя время подъема в y = f2 ( t ), находим высоту подъема

= υ 2 sin2 α H 0 .

2g

18

Задача 1.7. Точка массы m движется прямолинейно по закону S = πt 2 ( S - в метрах, t - в секундах). Найти силу, под действием которой движется точка.

Решение.

Находим проекции искомой силы на естественные оси.

2

Pτ = m d S2 = m2π dt

2

Pn = m Vρ = 0 (радиус кривизны прямой ρ = ∞ )

Рb = 0

P = Pτ2 + Pn2 + Pb2 = 2πm .

2.Механическая система

Втеоретической механике под механической системой понимается совокупность материальных точек, взаимодействующих между собой.

2.1Масса механической системы. Центр масс

Массой механической системы называется величина, равная сумме масс всех точек системы

М = ∑ mi .

Для изучения движения механической системы особое значение имеет геометрическая точка, называемая центром масс механической системы,

положение которого определяется радиусом – вектором rc , вычисляемым по

формуле:

, 1 @ A A.

AB

Центр масс иногда называют центром инерции.

Формулы для координат центра масс, аналогичны формулам для определения координат центра тяжести:

Центр масс – более общее понятие, чем центр тяжести, поскольку сохраняет смысл даже при отсутствии сил тяжести.

Если массы материальных точек постоянны, то дифференцированием rc получим выражение для скорости центра масс:

19

C, 1 @ ACA

AB

и затем выражение для ускорения центра масс системы:

, 1 @ A A.

AB

2.2.Теорема о движении центра масс механической системы

Произведение массы системы на ускорение центра масс равно главному вектору внешних сил, действующих на точки системы:

, @ вA,

AB

или в проекциях на оси декартовой системы координат

Т.е., центр масс механической системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена вся масса системы и к которой приложены все внешние силы, действующие на систему.

Внутренние силы не могут изменить движение центра масс.

Следствие 1.

Если главный вектор внешних сил механической системы все время равен нулю, то центр масс системы находится в покое или движется равномерно

и прямолинейно.

Если ∑AB вA, то из теоремы получаем, что , 0, откуда C, *EFG .

Следствие 2.

Если сумма проекций всех внешних сил на какую-либо ось все время равна нулю, то проекция скорости центра масс на эту ось постоянна.