Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

6395

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.11.2023

Размер:

781.66 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

сечения могут быть направлены только по касательной к контуру.

τα = 0			τ z	γ
τα = 0
	90°


	τβ =0
	τβ =0
τz		z
		z

Рис. 10

9.ПОНЯТИЕ О КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ

Всечениях, которые ослаблены отверстиями, надрезами, а также в местах резкого изменения геометрии конструкции наблюдается неравномерность распределения напряжений по поперечному сечению. В этих местах конструкции напряжения достигают значений, которые значительно превосходят значения, получаемые по формулам сопротивления материалов.

Вкачестве примера рассмотрим растягиваемую пластину, которая ослаблена отверстием круглой формы (рис.11)..

Введём следующие обозначения:

АБР – «площадь брутто» – площадь поперечного сечения стержня, проведённого в том месте, где отверстия нет;

АНТ – «площадь нетто» – площадь ослабленного сечения, проведенного в месте, где находится отверстие.

Очевидно, что АНТ = АБР – АОСЛ, где АОСЛ – площадь ослабления.

Вприведённом на рис. 11 примере

AБР = a × t,

AОСЛ = d × t,

AНТ = (a - d )× t.

	F
	σ z	=			N	t
	σ z	=			AБР
max σ	max σ				AБР
max σ	max σ
	σ nom		=		N	t
	σ nom		=		AHT
					AHT
	N = F
	F
				Рис. 11

AБР = at

A HT = (a − d )t

α= max σ

σσ nom

В соответствии с принципом Сен-Венана, в сечениях достаточно отдаленных от места расположения ослабления (отверстия), напряжения будут равны

σ z = N .

AБР

В ослабленном сечении, если предположить равномерное распределение напряжений по сечению, будет получен следующий результат

σ NOM = σ СРЕД =	N	.

	AHT

Полученное осреднённое значение напряжений называют номинальным напряжением. Более точные решения, получаемые по формулам теории упругости, показывают, что напряжения в ослабленных сечениях, а также в местах резкого изменения геометрии конструкции, распределяются неравномерно.

Пиковые значения напряжений вблизи концентратора можно найти по формуле

max σ = ασ ×σ NOM .

(16)

Коэффициент ασ называется коэффициентом концентрации напряжений. Его значение зависит от характера и размеров ослабляющих факторов.

Концентрация напряжений отрицательно влияет на прочность конструкции, особенно при переменных и циклических нагрузках. Для уменьшения отрицательного влияния концентрации напряжений при проектировании конструкции следует избегать резких изменений геометрии конструкции: углов, надрезов и т.п.

10.ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 1.

Стержень, показанный на рис. 12, загружен тремя внешними силами. Площадь поперечного сечения стержня меняется ступенчато, принимая значение A1 = А на 1-м участке и A2 = A3 = 2А – на 2-м и 3-м участках. Задано допускаемое напряжение [σ ].

Сформировать условие прочности стержня.

Выразить из условия прочности

1.Площадь поперечного сечения A, при условии, что сила F задана;

2.Допускаемое значение силы F при условии, что площадь A поперечного сечения задана.

Примечание: для экономии места заданный стержень и построенные эпюры показаны на одном рисунке.

Решение.

1. Строим эпюру продольных сил N (z ) :

N1 = −2F
	= −2F + 5F = +3F
N2
	= −2F + 5F − F = +2F
N3

		N	σz
	2 F
		2F	2 F
a I			A
a I
	5 F	3F	3 F
	5 F	3F
			2 A
a II
	F
a	III		F
		2F	A
		2F

Рис. 12

2.Определяем опасное сечение, для чего строим эпюру изменения напряжения по длине стержня σ z (z):

σ		=	N1	= − 2F
	1
			A1		A

σ		=	N2	= + 3F
	2
			A2		2 A

		=	N3	=	+ 2F	=	+ F
σ	3				2 A
			A3				A

3. Для опасного сечения, которое находится на первом участке стержня, формируем условие прочности:

max	σ z	£ [σ ]	или	2F	≤ [σ ]


				A

4.Из условия прочности находим площадь поперечного сечения A при условии, что сила F известна:

A ³ 2F

[σ ]

5.Из условия прочности находим допускаемое значение силы F, считая, что площадь A задана:

≤ A × [σ ]

Задача решена

Примечание:

Если известны и площадь поперечного сечения, и нагрузка, то может быть поставлена задача проверки прочности стержня. Решение этой задачи сводится к проверке выполнения неравенства.

Задача 2.

Стержень, изображённый на рис. 13 загружен силами F = 500 кН и Р = 200 кН, а также распределённой нагрузкой q = 400 кН/м2. Первый и второй участки стержня выполнены из стали, а третий и четвертый ─ из алюминиевого сплава (дуралюмина).

	сплав алюминия		сталь
		z
	q
		F		P
0.8 м	2.0 м	0.8 м	1.0 м
IV	III	II	I
N		300	300
N
		+
[кН]
			200	200
500	500
	сжатие	растяжение	сжатие

Рис. 13

Известны площади поперечных сечений на всех четырёх участках:

A = A	2	= 20 см2	;	А = А	4	= 50 см2 .
1	2			3	4

Даны физико-механические характеристики материалов:

[σ ]1 = [σ ]2 = 160 МПа;				[σ ]3		= [σ ]4 = 100МПа;
Е = Е	2	= 2 ×105	МПа;	Е	3	= Е	4	= 105	МПа.
1

∙Проверить прочность стержня.

∙Если условие прочности стержня выполняется, найти чему равно изменение длины стержня (абсолютная деформация).

Примечание: для экономии места заданный стержень и построенные эпюры показаны на одном рисунке.

Решение.

1. Строим эпюру продольных сил N (z ) : 1-й участок: N1 = -P = -200кН;

2-й участок: N2 = -P + F = -200 + 500 = 300кНкН;

3-й участок: 0 ≤ z ≤ 2м,

N 3 = -P + F - q × z = -200 + 500 - 400 × z = +300 - 400z;

4-й участок: N4 = -P + F - q × 2 = -200 + 500 - 400× 2 = -500кН;

2.Проверяем прочность стержня a. На 1 и 2 участках (сталь):

max	σ	z	= max	N	=	300	=15	кН	=150МПа£ [σ ] =160МПа.


				A	20			см2	ст

Условие прочности выполнено. b. На 3 и 4 участках (дуралюмин):

max	σ	z	= max	N	=	500	=10	кН	=100МПа= [σ ] .


				A	50			см2	сплав

Условие прочности выполнено. 3. Вычисляем жесткости участков стержня:


E A = E					A = 2 ×10 4		кН		× 20см2 = 4 ×105 кН,
E A = E			2		A = 2 ×10 4				× 20см2 = 4 ×105 кН,
	1	1	2		2		см2
							см2
E	A = E			A = 10 4		кН		× 50см2		= 5 ×105 кН.
E	A = E			A = 10 4				× 50см2		= 5 ×105 кН.
	3	3		4	4	см2
						см2

4.Определяем изменения длин участков стержня (абсолютные деформации):

N1l1

= - 200 ×1 = -0.0005м = -0.05см,

E1 A1

4 ×105

Dl2

N 2l2

+ 300 × 0.8

= +0.0006 м = +0.06см,

E2 A2

4 ×105

300 × 2 - 400 × 2 2 2

Dl3

N3 dz

2 (300 - 400z )dz =

= -0.0004 м = -0.04см,

5 ×105

Dl4

N 4l4

- 500

× 0.8

= -0.0008м = -0.08см.

5 ×105

E4 A4

5. Находим изменение длины стержня:

l = l1 + l2 + l3 + l4 = −0.05 + 0.06 − 0.04 − 0.08 = −0.11см.
Задача решена
Задача 3.
Двухстержневая ферма загружена сосредоточенной силой				F (рис.
14).
1-й стержень выполнен из стали	[σ]1 =160МПа,
2-й стержень выполнен из дерева	[σ]2 =12МПа.
Вопрос 1. Найти допускаемое значение силы		F , если известны площади
поперечных сечений стержней :		A = 4 см2	и A = 25 см2 ,
		1	2
Вопрос 2. Найти площади поперечных сечений стержней			A1 и	A2 , если
известно значение силы F =100кН .

Решение

1.Вырезаем узел С (рис. 15).

Отброшенные стержни заменяем неизвестными внутренними силами N1 и N 2 , считая оба стержня растянутыми.

2.Составляем систему уравнений равновесия узла С.

X ii Yii

=0,

		2 sin 60	°	= 0
- N1 sin 30° - N		2 sin 60		= 0
		cos 60° - F = 0,
N1 cos 30° - N	2	cos 60° - F = 0,

- N		1	×	1	- N	2	×	3		= 0
				1				3

			2				2					= −N 2		3
			2				2				N1	= −N 2		3

													3 − N 2	= 2F.
			3				1				N1		3 − N 2	= 2F.
	×				- N		×		- F = 0,
N1	×		2		- N	2	×		- F = 0,
			2				2

3.Решая систему уравнений находим усилия в стержнях, выражая их через неизвестную силу F :

N		=	F 3	(стерженьрастянут),	N		= −	F	(стерженьсжат).
	1					2
		2					2

30°

90° C

B	°	F
60

	y
30	°
90°	C	x
90°	C
60°	F

Рис. 14.

Рис. 15.

4.Из условий прочности стержней находим допускаемое значение силы F , если известны площади : A1 = 4 см2 и A2 = 25 см2 :

[σ ]1

F 3

£ A1 ×[σ ]1 = 4см2 ×16

кН

= 64кН

см

N 2

кН

£ [σ ]2 ,

£ A2 ×[σ ]2 = 25см ×1.2

см

2 = 30кН,

64 × 2

F £

= 74кН

F £ 2 × 30 = 60кН.

Решая систему неравенств, получаем Fдоп = 60кН .

При найденном значении силы напряжения в стержнях будут

следующие:σ 1	=	N1	=	60	3 2	= 13	кН	< [σ ]2	= 16	кН	(выполняется с
					4		2			2
		A					см			см
	1

запасом),

σ2 = [σ ]2 = 12МПа.

5.Из условий прочности находим площади поперечных сечений стержней A1 и A2 , если известно значение силы F = 100кН :

[σ ]1

A ³

100 3

= 5.4см2

[σ ]1

2[σ ]1

2 ×16

N 2

[σ ] ,

N 2

A ³

= 42см2 .

[σ ]

2[σ ]

При этих значениях площадей напряжения в стержнях будут равны

допускаемым напряжениям:			σ1 = [σ ]1 = 160МПа,
	σ 2	= [σ ]2 = 12МПа.

Задача решена

Задача 4.

Абсолютно твёрдый брус АС (рис. 16) закреплён в шарнире А и на участке ВС загружен равномерно распределённой нагрузкой q = 30кНм.

В горизонтальном положении брус АС удерживает вертикально расположенный стальной стержень ОВ с характеристиками:

[σ ] = 160 МПа, Е = 2 ×105 МПа.

Площадь поперечного сечения стержня равна A = 4 см2 .

Характерный размер конструкции а = 1м.

1. Проверить прочность стержня ОВ.

2. Если условие прочности стержня не выполняется, определить при A = 4 см2 допускаемое значение нагрузки qдоп .

3.Если условие прочности стержня не выполняется, подобрать площадь поперечного сечения стержня для нагрузки q = 30кНм.

4.При найденном значении площади поперечного сечения и заданной нагрузке q = 30 кНм найти вертикальное смещение точки С.

Рис. 16

Решение.

Отбрасываем стержень ОВ, заменяя его (рис. 17) неизвестной силой

N .

Из уравнения равновесия стержня находим силу в стержне ОВ:

M A = 0; N ×3a - 2qa × 4a = 0;	N =	8	qa .

	3

При этом напряжения в стержне будут равны

σ z = N = 8qa .

A 3 A

N	q

A B C

3a	P =2qa
	4 a

A	B	C
A
	l	vC
	B ′	vC
	B ′	C′
		C′

Рис. 17

Рис. 18

1.Проверяем прочность стержня при A = 4 см2 и q = 30кНм.

Условие прочности стержня, которое подлежит проверке, имеет

следующий вид:

σ z

≤ [σ ]

кН

N =

qa =

× 30

×1м = 80 кН.

σ z =

= 20

кН

= 200 МПа. > [σ ] = 160 МПа.

см

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.11.2023780.17 Кб06390.pdf
#
21.11.2023781.09 Кб06391.pdf
#
21.11.2023781.21 Кб06392.pdf
#
21.11.2023781.31 Кб06393.pdf
#
21.11.2023781.46 Кб06394.pdf
#
21.11.2023781.66 Кб06395.pdf
#
21.11.2023781.76 Кб06396.pdf
#
21.11.2023781.79 Кб06397.pdf
#
21.11.2023781.89 Кб06398.pdf
#
21.11.2023782.22 Кб06399.pdf
#
21.11.202386.11 Кб064.pdf