6606

Пример 2.1. 1) Доказать, что ├А→А (рефлексивность импликации). Воспользуемся аксиомой ΙΙ2 : ├(х→(у→z))→((х→у)→(х→z)) и

x

выполним подстановку (ΙΙ2 ) .

Наконец, осуществив подстановку в формуле (4) вместо х формулы А, получим ├А→А.

2)Доказать, что ├ х у → х у .

31

Применяя к формуле (5) и аксиоме ΙΙΙ1 правило заключения, получаем доказуемость формулы (3). Аналогично устанавливается доказуемость формулы (4).

z, y

Из аксиомы ΙΙΙ2 и формулы (7) по ПЗ получаем доказуемость формулы (4).

Применим правило заключения к формулам (3) и (2), получим

сложного заключения.

Определение 2.3. (Понятие выводимости формулы из совокупности формул). Пусть имеется конечная совокупность формул Н= {А1, А2 ,..., An }.

32

Говорят, что формула В выводима из совокупности Н (обозначение

Н├В), если:

а) либо В Н, б) либо В – доказуемая формула исчисления высказываний,

в) либо В получается по ПЗ из формул С и С→В, которые выводимы из совокупности Н.

Также говорят, что конечная совокупность формул В1, В2 ,...Вк есть вывод из Н, если для каждой формулы Bi (i=1,2,…,k) этой совокупности :

а) либо Bi Н ,

б) либо Bi – доказуема,

в) либо получается по ПЗ из формул С, С→Bi , которые находятся в выводе, предшествуя Bi .

Пример 2.2. Доказать, что из совокупности Н={А,В} можно вывести

А В. Записать полученный вывод. Решение.

1.Н├А, так как АН ;

2.Н├В, так как ВН ;

3. Н├ (А→А)→((А→В)→(А→А В)), как доказуемая формула

A, B, A

(получается подстановкой (ΙΙ3 ) ) ;

x, y , z

4.Н├А→А, как доказуемая формула ;

5.Н├(А→В)→(А→А В) – из 3. и 4. по ПЗ ;

В, А

6.Н├В→(А→В) , так как (Ι1) ;

х, у

7.Н├А→В – из 2. и 6. по ПЗ ;

8.Н├ А→А В – по ПЗ из 5. и 7. ;

9.Н├А В – по ПЗ из 1. и 8.

33

Запишем вывод: А, В, (А→А)→((А→В)→(А→А В)), А→А,

(А→В)→(А→А В), В→(А→В), А→В, А→А В, А В.

Правила выводимости.

Пусть Н и W – две совокупности формул исчисления высказываний. Будем обозначать через Н,W их объединение, то есть Н,W=НW.

Связь между алгеброй высказываний и исчислением высказываний устанавливают следующие теоремы.

34

Теорема 1. Каждая формула, доказуемая в исчислении высказываний, является тождественно истинной в алгебре высказываний.

Теорема 2 (о выводимости). Пусть А – некоторая формула; х1, х2 ,..., xn -

набор переменных, содержащихся в формуле А; α1 ,α2 ,...,αn - произвольный

Теорема 3. Каждая тождественно истинная формула алгебры высказываний доказуема в исчислении высказываний.

Пример 2.3. Пусть А = х1 х2 → х3 и наборы значений переменных (1,0,1)

и (1,0,0). Тогда{х1 , х2 , х3 }├А, а {х1 , х2 , х3 }├ А. Записать выводы в обоих случаях.

х3 → х1 х2 → х3 , по ПЗ х1 х2 → х3 ( А).

35

ЗАДАЧИ

1. Какие из следующих выражений являются формулами исчисления высказываний:

1)((( А) → В) (( В С) ;

2)(А→С)→(( С) → ( А))) ;

3)(А (→В))→(В→С);

4)((А (( В) → С)) → ( А)) .

3. Применяя правило подстановки, доказать, что доказуема формула:

1)(А→В) В→В ;

2)А В→А В С ;

3)( А→В)→((С→В)→( А С→В)) ;

4)С D → C D ;

5)(А В→(С→В С))→((А В→С)→(А В→В С)) .

4. Применяя правило подстановки и правило заключения, установить

последовательности:

1)А→(В→С), А, В→С, В, С

2)В→(А→В), В, А→В

3)А→(А→В В), А, А→В В, В В

4)А→(А→В В), А→В В, А, В В

7. Доказать, что

1)Н={А}├В→А ;

2)Н={А→С}├С → А ;

3)Н={А→В, В}├ А ;

4)Н= {А, А→ В}├В ;

5)Н={А→В, В→С}├А→С ;

6)Н={А→В}├А С→В С ;

7)Н={А→В}├(С→А)→(С→В) ;

8)Н= {А→В}├(В→С)→(А→С) ;

9)Н={А→(В→С)}├В→(А→С) ;

10)Н= {А→В}├А С→В С .

8. Показать доказуемость формулы, используя теорему дедукции или

13)├(А→(В→С))→(А В→С); 14)├(А В→С)→(А→(В→С) .

37

9. Показать, что справедливы законы логики (доказуемы формулы):

1) х→( х →у) ; 2) х х ; 3) х у → х у .

10. Используя правила перестановки посылок, соединения посылок и разъединения посылок, доказать, что

1)├х→(у→х у);

2)├(А→В) В → А;

3)├ А → ( А → В) .

11. Доказать производные правила вывода: