6856
.pdf
40
Работа силы упругости
При растяжении (деформировании) в упругих элементах, таких как тросы, |
||||
стержни или пружины, возникает сила, препятствующая деформации. |
||||
X |
|
|
|
, которая в |
При действии на тело силы в пружине (рис. 7.4) |
возникнет сила |
|||
|
"X |
|
|
|
состоянии равновесия системы сил будет равна |
. |
|
|
|
y 
x = 0 |
x |
y |
|
R |
R |
|
|
F |
|
P |
x = 0 |
x = |
x |
|
|
Рис. 7.4 |
" ∙ , |
Величина этой силы связана с деформацией законом Гука: |
|||
где |
|
─ деформация, отсчитываемая от нейтрального состояния, |
|
|
|
─ проекция силы на ось деформируемого элемента, |
|
|
|
─ коэффициент жесткости элемента, имеющий размерность Н/м. |
|
Тогда работа силы будет равна |
|
||
|
A8 ∆ " ∆ " Y∆,откудаA8 " 8 ∆ . |
(7.14) |
|
7.3. МОЩНОСТЬ И РАБОТА ВНУТРЕННИХ СИЛ
Суммарная мощность внутреннихB B силBможетZ 0 быть не равна нулю. Например, при выстреле из орудия , так как направления скоростей совпадают с направлением сил (см. рис. 7.5).
R |
R |
R |
R |
|||||||
F 1 |
v1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
v 2 |
F 2 |
||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 7.5
Но можно указать ряд случаев, когда внутренние силы не работают, и использовать этот факт при решении задач.
41
Суммы мощностей и работ внутренних сил в абсолютно твердом теле равны нулю. Покажем это.
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
R |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
F |
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
90° |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
||
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v BD |
Рис. 7.6 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
Пусть в твердом теле действуют две силы |
|
и |
|
. По закону равенства дей- |
|||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
" |
. Их суммарная мощность равна |
|||||||||||||
ствия и противодействия |
[ |
|
|
||||||||||||||||
[ |
\ |
] |
|
|
\+ |
] |
|
] |
" |
\ |
I |
. |
|
|
|||||
|
∙ |
∙ |
" ∙ ∙ |
∙ |
H |
|
|
|
|
||||||||||
По теореме о сложении скоростей |
]\, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
] \ ]\ |
или |
] " \ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
где ]\ |
─ скорость точки B во вращении относительно точки D. Скорость ]\ |
||||||||||||||||||
перпендикулярна силе . |
По этой причине |
|
|
]\ |
|
|
|
|
|
Поскольку внутренние |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сумма мощностей будет равна ну- |
||||||||
силы всегда возникают попарно, то и общая ∙ |
|
0. |
|
|
|||||||||||||||
лю.
Можно показать, что не работают внутренние силы в нерастяжимой, абсолютно гибкой нити.
Механические системы, в которых суммарная мощность и работа внутренних сил равна нулю называют неизменяемыми.
Признаки неизменяемых механических систем:
Они должны состоять из абсолютно твердых тел и абсолютно гибких нерастяжимых нитей.
При взаимодействии тел системы должно отсутствовать взаимное проскальзывание.
В примере с орудием нарушены оба признака: газ расширяется, снаряд проскальзывает по стволу.
42
Тема 8. Теорема об изменении кинетической энергии
8.1. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ
Кинетической энергией материальной точки называется величина, равная половине произведения массы точки на квадрат скорости:
T = 1 mv2
2 |
(8.1) |
Кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетических энергий ее точек
n |
1 |
|
|
|
T = ∑ |
mk vk |
2 |
||
2 |
(8.2) |
|||
k =1 |
|
Кинетическая энергия твердого тела вычисляется по формуле аналогичной (8.2) с той разницей, что сумма заменяется интегралом:
^ _ , (8.3)
где m ─ масса бесконечно малого объема тела, а v─ его скорость.
Примечания:
Кинетическая энергия не может быть отрицательной;
Кинетическая энергия (так же как и скорость) зависит от выбора системы отсчета.
Размерность кинетической энергии ─ джоуль:
+^- кг ∙ м ⁄с Дж.
Рассмотрим, как записывается кинетическая энергия при различных формах движения тела.
Поступательное движение тела
При поступательном движении скорости всех точек тела одинаковы и совпадают со скоростью центра масс. По этой причине (8.3) упрощается:
^
8 _ 8 (8.4)
Вращательное движение тела
43
z 
dm 
R
v
ω
Рассмотрим бесконечно малый элемент тела dm, находящийся на расстоянии h от оси вращения.
Его скорость равна
9).
Тогда |
|
|
|
^ 1 d 1 d 9 ) 1 |
9 d ) . |
||
2 _ |
2 _ |
2 |
_ |
Последний интеграл является моментом инерции. Окончательно получа-
ем:
^ e 9 . (8.5)
Плоскопараллельное движение тела
При рассмотрении плоского движения тела применим теорему Кенига.
ТЕОРЕМА Кенига:
Кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетической энергии поступательной части движения и кинетической энергии системы в ее относительном движении относительно центра масс.
Рассмотрим материальное тело.
Кинетическая энергия поступательной части его движения равна 8. |
|
Относительное движение тела относительно центра масс является враща- |
|
тельным, поэтому его кинетическая энергия равна |
eС9 . |
В результате в соответствии с теоремой Кенига получаем, что |
|
^пл 8 e89 , |
(8.6) |
44
где 8 " скорость центра массы тела, а e8 " момент инерции тела относи-
тельно оси, проходящей через центр массы тела перпендикулярно оси вращения.
8.2. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЕ
ТЕОРЕМА
Производная по времени от кинетической энергии механической системы равна сумме мощностей всех действующих в системе сил:
|
B |
|
h |
∑$Ni $ |
(8.7) |
или, после разделения мощностей внешних и внутренних сил:
h ∑N$i B$% ∑N$i B$j
Для неизменяемых систем, у которых внутренние силы не работают, по-
лучим:
h ∑N$i B$%
Доказательство
Уравнения движения одной материальной точки k .
Умножим левую и правую части равенства на скорость точки:
k ∙ ∙ .
Преобразуем левую часть: k ∙ ∙ l m h. |
||
В правой части равенства получили мощность: |
∙ B |
. |
|
||
Таким образом, для материальной точки теорема справедлива:
h B
Запишем такие равенства для всех точек материальной системы и сложим их.
Получим равенство
45
|
|
|
|
∑$Ni |
B |
|
|
∑$Ni hn |
|
$ |
|||
|
|
|
∑$Ni |
B |
|
|
или |
h |
|
|
$ |
|
|
Теорема доказана.
Вывод
Величина мощности изменяет скорость изменения кинетической энергии.
8.3. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ В ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМЕ
ТЕОРЕМА
Изменение кинетической энергии механической системы за некоторый проме- |
||
жуток времени равно сумме работ всех действующих в системе сил: |
||
^ " ^ ∑$Ni A$ |
(8.8) |
|
Или, выделяя отдельно работы внешних и внутренних сил: |
||
^ " ^ ∑$Ni A%$ |
∑$Ni Aj$ |
|
где T ─ начальное, а T0 ─ конечное значение кинетической энергии. |
||
Для неизменяемых систем |
C∑$Ni Aj$ |
0 Dможно записать: |
^ " ^ ∑$Ni A%$ |
|
|
Доказательство
Запишем теорему в дифференциальной форме и проинтегрируем левую и пра-
вую части равенства по времени за промежуток времени (0,t):
h ∑ B$ .
Преобразуем левую часть равенства:
h ^|0 ^ " ^
Преобразуем правую часть равенства:
∑ B$ ∑ A$ .
^ " ^ ∑N A$
Приравнивая, получим $i .
Теорема доказана.
46
Тема 9. Потенциальное силовое поле
9.1. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ
Потенциальными или консервативными силами называются силы, работа которых не зависит ни от траектории, по которой движется точка приложения силы, ни от характера этого движения, а определяется только начальным и конечным положением точки.
Силовым полем называется область пространства, в которой на помещенную туда материальную точку действует сила, однозначно определенная в любой
момент времени по величине и по направлению:
H , , *, I.
Силовое поле называется стационарным, если действующая в нем сила не зави- сит от времени: H , , *I.
Силовое поле называется однородным, если действующая в нем сила постоянна
как вектор:
<=>? .
Силовое поле называется потенциальным или консервативным, если для него
|
|
такая, что проекции действующей си- |
||
существует функция координат ее частныеI, |
производные: |
|
||
лы могут быть вычислены черезПH , , * |
|
pП⁄p*. |
|
|
pП⁄p ; |
pП⁄p ; |
|
(9.1) |
|
Эта функция называется потенциальной энергией.
Потенциальной энергией механической системы называется сумма потенци-
альных энергий ее точек:
П ∑N П$
$i .
Для исследования скалярных функций нескольких переменных используют векторную функцию,которую называют градиентом:
|
|
WEk ПH , , *I q r q s q t. |
||||
|
r s t, |
qП qП |
qП |
|||
|
|
(9.2) |
||||
Так как |
|
|
|
|
то можно записать, что |
|
|
|
"WEk ПH , , *I. |
|
|||
47
Силовое поле является потенциальным при выполнении следующих условий:
quq v quq w , quq w quq x , quq x quq v. |
(9.3) |
Примечания:
Из (9.1) следует, что если П(x,y,z) потенциальная функция, то П(x,y,z)+C является потенциальной функцией того же самого силового поля.
Из (9.3) следует, что однородное силовое поле всегда является потенциальным.
9.2. РАБОТА И МОЩНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ СИЛЫ
В соответствии с (9.1) элементарная работа потенциальной силы равна:
A ∙ E * " ypПp pПp pПp* *z " П.
То есть для потенциальной силы элементарная работа представляет собой полный дифференциал некоторой функции координат:
A " П. |
(9.4) |
Из (9.4) следует, что мощность потенциальной силы равна: |
|
B " П⁄ |
(9.5) |
Вычислим работу потенциальной силы конечном перемещении материальной
точки по произвольной траектории из положения в другое положение:
AHQ → QI KKG A " KKG П "П|KKG
или |
AHQ → QI ПH , , * I " ПH , , *I |
|
|
(9.6) |
Работа потенциальной силы равна разности начального и конечного значений потенциальной энергии и не зависит от вида траектории и характера движения.
По этой причине работа потенциальной силы при перемещении по замкнутому контуру всегда равна нулю.
48
M ( x, y, z )
M |
0 ( x0 , y0 , z0 ) |
M |
0 ( x0 , y0 , z0 ) = M ( x, y, z ) |
|
|
Рис. 9.1
Примеры:
1.Потенциальным является поле силы тяжести. Потенциальная энергия в поле силы тяжести зависит только от положения материальной точки по вертикали (от координаты z) и равна П = mgz.
2.Потенциальная энергия системы материальных точек в поле силы тяжести зависит только от положения центра масс системы по вертикали (от координаты zС) и равна П = mgzС.
3.Потенциальным является поле силы упругости. Потенциальная энергия зависит только от смещения точки в направлении растягиваемого или сжимаемого элемента (координаты x) и равнаП = cx2/2.
9.3. КОНСЕРВАТИВНЫЕ МЕХАНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
Консервативной называется механическая система, в которой полная механическая энергия сохраняется постоянной:
Полная механическая энергия системы равняется сумме кинетической и потен-
циальной энергий:
| ^ П.
Рассмотрим материальную точку М, на которую действуют только потенциальные силы.
При перемещении из точки М0 в точку М суммарная работа сил будет равна
разности начального и конечного значений потенциальной энергии:
∑ A$ П " П.
В то же время суммарная работа сил равна изменению кинетической энергии
(теорема об изменении кинетической энергии в интегральной форме):
∑ A$ ^ " ^ .
49 |
|
Правые части этих равенств равны, то есть |
|
П " П ^ " ^ или |
^ П ^ П , |
откуда следует, что
| | или | <=>? .
Вывод:
1.Если все действующие в системе силы потенциальны, то эта система является консервативной.
2.Если в системе действуют непотенциальные силы, то полная механическая энергия сохраняться не будет, часть ее будет переходить в другие формы энергии (тепловую и т.п.) и рассеиваться. Такие системы называются неконсервативными или диссипативными ( dissipation─ рассеивание).
Тема 10. Введение в аналитическую механику
10.1. КЛАССИФИКАЦИЯ СВЯЗЕЙ
Аналитическая механика позволяет описать поведение системы минимальным количеством уравнений, не вводя в решение неизвестные реакции связей.
Напомним, что связями называются ограничения, наложенные на положения и скорости точек механической системы.
Математически связи выражаются в виде уравнений или неравенств, содержащих координаты и скорости точек, а также время.
Связи могутбыть:
интегрируемыми (голономными), неитегрируемыми (неголономными).
В уравнения голономных связей не входят производные от координат (скорости), а в уравнения неголономных связей − входят.
Связи могутбыть:
стационарными, нестационарными.