Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

7357

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.11.2023

Размер:

1.07 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1312 13 > Следующая >>>

17.

у =

− 4x

0 ≤ x ≤ 2

2 £ x £ 4

x - 4

18.

у =

- 5х - x × ln x на отрезке [1,5; 2]

19.

у = x4 + 8x3 - 6х2 - 72х + 90 на отрезке [1,5; 2]

20.

у = x6 + 3x2 + 6х -1 на отрезке [− 1; 0]

21.

у =

- x3 -

- x

на отрезке [1; 1,5]

22.

у =

1 + x

на отрезке [1,1; e]

ln x

23.

у = e− x

- Cos x на отрезке [− 2; 1]

24.

у = x3 - 2x2 - 7х + 4

на отрезке [− 0,5; 3]

25.

у =

е− х

на отрезке

[0,1; 2]

у =10е3

на отрезке [− 1; 2]

26.

х2

27.

у =

на отрезке

[1,1; 4]

ln x

28.у = (2 + е− х )x на отрезке [− 1; 2]

29.у = ln(2 - Cosx) на отрезке [− 1; 2]

30.у = 3x2 - 6xSinx на отрезке [0;3]

31.	у = 2 + 3 × Cos2x × Sin2x	на отрезке	[− 5; − 4]
32.	у = x4 + 2x2 - 8х + 16	на отрезке	[3; 9]

Раздел 3. Безусловная оптимизация функции многих переменных.

Задача 1.

Установить, являются ли выпуклыми множества U.

1)	U = {(x1 , x2 ) \| x1 x2 > 1,							x1 > 0}
2)	U = {(x , x	2	) \| x	2	³ x 2		}
	1	2		2		1
3)	U = {(x1 , x2 ) \| x1 x2 < 1,							x1 > 0, x2 > 0}
4)	U = {(x , x	2	) \| x - x			2	£ 2,	x 2 + x	2	£ 4}
	1	2		1		2		1	2
								110

5)U = {(x1 , x2 , x3 ) | x3 ³ x12 + x22 }

6)U = {(x1 , x2 , x3 ) | x12 + x22 £ 1}

7)	U = {(x1 , x2 , x3 ) \| x1 + x2 + x3 £ 1, x1 ³ 0, x2 ³ 0}
8)	U = {(x , x	2	, x	3	) \| x 2	+	x22	+	x32	³ 1}

	1				1	2		3

Задача 2.

Убедиться в

1)f (x1 , x2 ) =

2)f (x1 , x2 ) =

3)f (x1 , x2 ) =

выпуклости функции f(x) во всем пространстве Εn.

4x12 + x22 - 2x1 x2 + 6x1 - x2 - 2

1 + x12 + x22

x12 + x22 - cos x1 − x2

Задача 3.

Указать множества U, на которых функции f(x) являются выпуклыми.

1)f (x) = x12

2)f (x) = x12 + 2x22 - sin(x1 - x2 )

Задача 4.

При каких a, b и c функция f (x) = ax12 + bx1 x2 + cx является выпуклой.

Задача 5.

При каких значениях а функция f (x) = x12 + x22 + x32 + ax1 x выпукла в Е3.

Задача 6.

Выписать матрицу Q квадратичной функции f(x), найти её градиент Ñf(x(0))

в точке x(0) и убедиться в выпуклости f(x) в En.

f (x) = x2	+ 2x	2	+ 3x2	+ 2x x	2	- x x		+ 2x + x , x(0)		= (1;0;-1)
1		2	3	1	2	2	3	1	3

Задача 7.

Найти экстремумы функций 2-х переменных: 1) z = x2 + xy + y2 - 3x - 6 y

111

2) z = xy2 (1 - x - y) (x > 0, y > 0)

3)z = xy + 50 / x + 20 / y (x > 0, y > 0)

4)z = x3 + 3xy2 -15x -12 y

5)z = (2x2 + y2 )e−( x2 + y2 ) .

Задача 8.

Совершить один шаг градиентного спуска из точки х(0) с шагом a0 и срав-

нить значения f(x(0) ) и f(x(1) ).

f (x) = x2	+ 2x	2	+ e x1 + x2 ,	x(0) = (1;1), a)α	0	= 0,1;	б)α	0	= 0,265;	в)α	0	= 0,5.
1		2			0			0			0

Задача 9.

Показать, что градиенты Ñf(x(k) ) и Ñf(x(k+1) ) в последовательных точках итерационного процесса метода наискорейшего спуска ортогональны, т. е.

( f ¢(x(k ) ), f ¢(x(k +1) )) = 0,

k = 0,1,...

Задача 10.

Для функции f(x) найти величину шага α0 метода наискорейшего спуска из

точки х(0), если					f (x) = 2x 2			+ x 2 + x x				2	+ x	+ x	2	,	x (0)	= (0;0).
							1	2	1			2	1		2
	Задача 11.
	Минимизировать методом наискорейшего спуска квадратичную функцию
	f (x) = 7x 2 + 2x x					2	+ 5x 2 + x -10x			2.	,		заканчивая						вычисления				при
		1			1	2	2	1		2.
	¶f (x(k ) )		£ 0,01,				i = 1,2,..., n .
	¶f (x(k ) )
	¶xi
	¶xi
	Задача 12.
	Минимизировать функцию								f (x) = x 4					+ 2x 4			+ x 2 x 2		+ 2x	+ x	2	. методом со-
													1			2	1	2	1		2
пряженных							направлений,						заканчивая						вычисления				при
	¶f (x (k ) )			£ 10−3 ,			i = 1,2,..., n .
	¶f (x (k ) )			£ 10−3 ,			i = 1,2,..., n .
	¶xi
													112

Задача 13.

Показать, что точка минимума выпуклой квадратичной функции находится

с помощью одной итерации метода Ньютона из произвольного начального при-

ближения х(0) Rn.

Задача 14.

Построить линии уровня и траектории подъема.

1)	f (x) = 6x		+ 32x			2	− x		2	− 4x 2		→ min,		x 0 = (7;4)
	1					2		1			2
2)	f (x) = 2x	2		− x 2	,		x		0 = (0;−1)
		2		1
3)	f (x) = 2(x			− 1)2		+ 3(x				2	− 2)2	,	x 0	= (3;3)
		1								2
4)	f (x) = (x		− 2)2			− (x		2	− 3)2 ,			x 0	= (6;4)
	1							2

Задача 15. (по вариантам)

1.Построить график поверхности заданной функции в трехмерной системе координат. Графически отобразить линии уровня функции.

2.Найти точку минимума аналитически.

3.Методом покоординатного спуска с точностью ε = 10−3 и ε = 10−5 .

4.Методом наискорейшего спуска.

5.Методом сопряженных градиентов.

6.Методом Ньютона.

7.Проверить вычисления при различных начальных векторах Х0 и просле-

дить зависимость числа итераций от выбора Х0 .

8.Графически представить траектории движения к экстремуму, полученные соответствующими методами.

9.Сравнить эффективность численных методов по числу итераций.

10.Выполнить задания для функций по вариантам и оформить отчет: (по-

становка проблемы, описание всех методов, результаты, выводы).

Варианты:

1. f ( X ) = 64х12 + 126х1х2 + 64х22 −10х1 + 30х2 + 13

113

2.f ( X ) = 2х12 − х1х2 + х22 − х1 − х2 + 1

3.f ( X ) = 129х12 − 256х1х2 + 129х22 − 51х1 −149х2 − 27

4.f ( X ) = х14 − 2х1х2 + х24 − х12 − х22

5.f ( X ) = 254х12 + 506х1х2 + 254х22 + 50х1 + 130х2 −111

6.f ( X ) = (х1 − 4)2 + 10(х2 − 5)2 − 5

7.f ( X ) = 151х12 − 300х1х2 + 151х22 + 33х1 + 99х2 + 48

8.f ( X ) = х12 + 2х22 − 4х1 − 4х2

9.f ( X ) = 85х12 + 168х1х2 + 85х22 + 29х1 − 51х2 + 83

10.f ( X ) = 16(х1 + 5)4 + 3(х2 −1)2

11.f ( X ) = 211х12 − 420х1х2 + 211х22 −192х1 + 50х2 − 25

12.f ( X ) = х12 + 10х22 − 4х1 −11х2

13.f ( X ) = 194х12 + 376х1х2 + 194х22 + 31х1 − 229х2 + 4

14.f ( X ) = (х1 − 2)4 + 300(х2 + 2)2

15.f ( X ) = 45х12 − 88х1х2 + 45х22 + 102х1 + 268х2 − 21

16.f ( X ) = 99х12 + 196х1х2 + 99х22 − 95х1 − 9х2 + 91

17.f ( X ) = х13 + х23 − 3х1 x2

18.f ( X ) = 20(х1 − 4)4 + 300(х2 − 5)2

19. f ( X ) = х12 + х1 х2 + х22 + х1 − х2 + 1

20.f ( X ) = 2х12 + 4х1 х2 + 8х22 + 100

21.f ( X ) = х14 − 2х1 х2 + х24 + x12 − x22

114

Раздел 4. Условная оптимизация функции многих переменных.

Задание 1. Определить глобальные экстремумы функций на множестве:

Решить задачи по вариантам.

1. z = x12 + x22

при условиях:

3x1 + 4x2 £ 24
	x1	³ 0

	x2	³ 0

2. z = (х1 - 2)2 + (х2 - 3)2

при условиях:

x		+ 2x		£12
	1		2
	x1 + х2 £ 9
		x1 ³ 0
		x1 ³ 0

х2 ³ 0

3. z = (х1 - 4)2 + (х2 - 6)2

при условиях:

2x1 + 3x2 £ 12
	x1 + х2 ³1

	x1 ³ 0

х2 ³ 0

4. z = х1 × х2

при условиях:

2x1 + x2 £10
x		+ x	2	£ 6
	1		2			³ 2
x		+ 2х			2	³ 2
	1				2
		x1 ³ 0
		³ 0
х2		³ 0

5. z = 2х1 + 3х2 - 2х12

при условиях:

x		+ 2x		£ 4
	1		2
x1 + х2 £ 2
		x1 ³ 0
		x1 ³ 0
	х2	³ 0
	х2	³ 0

6. z = (х1 - 6)2 + (х2 - 2)2

при условиях:

x1 + 2x2 £ 83x1 + х2 £15

x1 + x2 ³ 1x1 ³ 0х2 ³ 0

7. z = x1 + 3x2

при условиях:

(х - 5)2		+ (x		2	- 3)2	³ 9
	1			2
(х1 - 5)2		+ (x2 - 3)2 £ 36
	x1 + x2 ³ 8
	x1 + x2 ³ 8
		x1	³ 0
		x1	³ 0
		х2	³ 0
		х2	³ 0

8. z = 2(х1 - 5)2 + (х2 - 7)2

при условиях:

	x1 + x2 £ 9

x1 + 2х2 £19
	x1 ³ 0
	x1 ³ 0
	х2 ³ 0
	х2 ³ 0

115

9. z = 2х1 + х2 - х12

при условиях:

3x1 + 2x2 £12
	x1 ³ 0

	0 £ x2 £ 3

10. z = 2(х1 - 7)2 + 4(х2 - 3)2

при условиях:

x1	+ 2x2			³ 2
x	+ х		£ 6
1		2
2x1 + x2 £10
	x1 ³ 0
	³ 0
х2	³ 0
11. z = x1 + x2
при условиях:
(х - 5)2				+ (x	2	- 3)2	³ 9
	1				2
(х1 - 5)2 + (x2 - 3)2 £ 36
			x1 + x2 ³ 8
			x1 + x2 ³ 8
				x1 ³ 0
				x1 ³ 0
				х2 ³ 0
				х2 ³ 0

12. z = x1 × x2

при условиях:

x1 + 2x2 ³ 2x1 + х2 £ 62x1 + x2 £10x1 ³ 0

х2 ³ 0

13. z = 2х				+ 3х		2	- 0,2х2	- 0,2х2
			1			2	1	2
при условиях:
x	+ 3x		£13
1		2
2x1 + х2 £10
	x1 ³ 0
	x1 ³ 0
	³ 0
х2	³ 0
14. z = x1 + x2
при условиях:
(х - 5)2				+ (x	2		- 3)2 ³ 9
	1				2
(х1 - 5)2 + (x2 - 3)2 £ 36
		x1 + x2 ³ 8
		x1 + x2 ³ 8
				x1 ³ 0
				x1 ³ 0
				х2 ³ 0
				х2 ³ 0

15. z = 3х		+ 6х	2	- 0,3х2	- 0,3х2
	1		2	1	2
при условиях:
9x1 + 8x2 £ 72

x1 + 2х2 £10
	x1 ³ 0
	x1 ³ 0
	х2 ³ 0
	х2 ³ 0
16. z = 3х + у
при условиях:
	х2 + у2 £ 40
	х2 + у2 ³ 4
	x1 ³ 0
	x1 ³ 0

х2 ³ 0

116

17. z = x1 × x2	19. z = 2 - х2	- х2
	1	2

при условиях:

- 3)2 ³ 9

при условиях:

(х - 5)2 + (x

£ 4 - х

- 3)2 £ 36

(х - 5)2 + (x

х1 + х2 ³1

x1 + x2 ³ 8

x ³ 0

x1 ³ 0

х2 ³ 0

20. z = х2 - х12

18. z = (х1 - 3)

+ 2(х2 - 2)

при условиях:

х1 + 4х2 £16

3х1 + х2 £15

£ 3

³ 0

2x1 + 3х2

x2 ³ 0

х2 ³ 0

£ x1 £

Задача 2.

Исследуйте на условный экстремум методом исключения части перемен-

ных функцию:

а) u = x2 + y 2 при условии связи x + y =1;

	a b
б) u = x + y при условии связи	1	+	1		=	1	;
	x2					a2
			y	2
в) u = x × y при условии связи x2 + y 2				=1;

г) u = x2 + y 2 + 2z при условии связи x − y + z = 1;

д) u = x − 2 y + z при условии связи x + y 2 - z 2 =1;

е) u = x × y 2 × z3 при условии связи x + 2 y + 3z = 6 , (x > 0, y > 0, z > 0) ;

ж) u = x − 2 y + 2z при условии связи x2 + y 2									+ z 2 =1.
Ответ: а) umin	= u(		ab2	,	a2b		) =	a2b2	;
		a	2 + b2		a2 + b2			a2 + b2

						117

б) umin = u(

a) = 2

a ; umax = u(−

a, −

a) = −2

в) umax = 0,5 в точках (1

) и (−1

2, 1

2, − 1

2) ;

umin = −0,5 в точках (−1

2, 1

2) и (1

2, − 1

2) ;

г) umin = u(0,4;−0,4, 0,2) = 0,4

; д) нет точек экстремума;

е) umax = u(1, 1, 1) = 1 ;ж) umin

= u(− 1 3, 2 3, − 2 3)

= −3 ;

umax = u(13, − 23, 23) = 3

2. Исследуйте на условный экстремум методом Лагранжа:

а) функцию u = x × y × z при условии связи x2 + y 2 + z 2 = 3

б) функцию u = x × y × z при условиях связи x2 + y 2 + z 2 = 1, x + y + z = 0 .

Ответ: а) umin = −1 в точках (-1,1,1),(1,-1,1),(1,1,-1),(-1,-1,-1), umin = −1 в точках (1,1,1),(-1,-1,1),(-1,1,-1),(1,-1,-1);

б) umin = − 1(36) в точках (16, 16, − 26) , (16, − 26, 16) ,

(− 26, 16, 16)

umax = 1(36) в точках (− 16, −6, 26) , (−16, 26, − 16) ,

(26, − 16, − 16)

118

Библиография

1.Кремер Н.Ш. Исследование операций для экономистов. – М.: ЮНИТИ, 2006.

2.Таха Х. Введение в исследование операций. – М.: Вильямс, 2007.

3.Гончаров В.А. Методы оптимизации: учеб. пособие для студентов вузов по спец. 010501(010200) «Приклад. математика и информатика», 230105(220400) «Програм. обеспечение вычислит. техники и автоматизир. систем» / В. А.

Гончаров. – М. : Юрайт : Высш. образование, 2010.

4. Базара, Шетти. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы. – М.:

Мир, 1982.

5. Бейко И.В., Бублик Б.Н., Зинько П.Н. Методы и алгоритмы оптимизации. –

М.: Высш. шк., 1983.

6. Пантелеев А. В., Летова Т.А. Методы оптимизации в примерах и задачах:

учебное пособие, 2-е издание – М.: Высш. шк. , 2005, – 544 с.

7. Аттетков А. В. , Зарубин В. С., Канатников А. Н. Введение в методы опти-

мизации : учебное пособие. – М. : Финансы и статистика, 2014.

8.Васильева О. А. , Ларионов Е. А., Лемин А. Ю., Макаров В. И. Методы оп-

тимизации : учебное пособие. – М. : Московский государственный строи-

тельный университет, ЭБС АСВ, 2014.

9.Ф. Гилл, У. Мюррей, М. Райт: Практическая оптимизация .– М.: Мир, 1985.

10.Пантелеев А.В., Летова Т.А. Методы оптимизации в примерах и задачах:

Учебное пособие. – М.: Высш. шк., 2002, -544 с.

119

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1312 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.11.20231.07 Mб07352.pdf
#
23.11.20231.07 Mб17353.pdf
#
23.11.20231.07 Mб07354.pdf
#
23.11.20231.07 Mб07355.pdf
#
23.11.20231.07 Mб07356.pdf
#
23.11.20231.07 Mб07357.pdf
#
23.11.20231.07 Mб07358.pdf
#
23.11.20231.07 Mб07359.pdf
#
21.11.2023146.99 Кб0736.pdf
#
23.11.20231.07 Mб07360.pdf
#
23.11.20231.07 Mб07361.pdf