Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

7472

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.11.2023

Размер:

1.11 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Объемный вектор позволяет построить геометрическую модель тензора напряжения в точке А для ее главной площадки. Который выражается как:

								0					0
				(1 + 2	+ 2) 2			0					0



					0								0
		=			0				2	2			0
		=							2	2
						(1 + 2		+ )
						(1 + 2		+ )

													2
					0			0
			[		0			0			(1 + 2			+ 2) 2]


По аналогии формулируется геометрическая модель тензора напряжения
для наклонной площадки:



								+ 2) 2							+ 2) 2
						(1	+ 2				(1	+ 2
						(1	+ 2				(1	+ 2



	=															.

					+ 2) 2										+ 2) 2
				(1 + 2							(1	+ 2
				(1 + 2							(1	+ 2





					+ 2) 2			+ 2) 2
			[	(1 + 2		(1	+ 2									]
				(1 + 2		(1	+ 2

Для этого в геометрическую модель вводится закон парности касательных напряжений.

В третьей главе рассматриваются принципы применения функционально-воксельной модели в задачах моделирования сложных геометрических объектов. Приводится решение проблемы точности функционально-воксельной модели при помощи RGB-представления. Приведены способы пространственного преобразования локальных характеристик, таких как сдвиг, поворот, масштабирование геометрического объекта, представленного скалярной функцией.

Функционально-воксельный метод позволяет применять стандартный матричный вид для пространственных преобразований своих моделей. В отличие от матриц, работающих с координатной моделью, модель локальных геометрических характеристик применяет транспонированную матрицу преобразований.

Рассматривая полученный объёмный вектор в качестве геометрического объекта можно утверждать, что пространственные преобразования позволят конструировать сложные поля напряжений. На рисунке 6 а, б, в демонстрируются исходное состояние пространства вектора̇, его поворот на 45 градусов и масштабирование по величине в пять раз соответственно.

Рисунок 6 – Демонстрация результатов пространственных преобразований пространства ̇

Далее, для визуального сравнения с существующими системами моделирования напряжения, приведен пример моделирования точечной нагрузки методом ФВМ в специализированной системе функциональновоксельного моделирования РАНОК 2D. На рисунке 7 демонстрируется сходство полученных результатов.

а б в г

Рисунок 7 – Сравнительный анализ результатов моделирования локального напряжения в системе SolidWorks (а, в) с результатами функционально-воксельного моделирования в системе RANOK2D (б, г)

В четвертой главе рассматривается задача моделирования пространственного преобразования , обеспечивающего процесс деформации геометрического объекта, заданного на области определения скалярной функцией. Скалярная функция средствами R- функционального моделирования описывает

прямоугольную пластину.

Рисунок 8 – Рецепторная модель квадрата

Формулировка функции для описания области нагружения сложной формы реализуется посредством построения рецепторной модели, в которой единицами заполняется внутреннее пространство области, а нулями её окружение (рисунок 8). Таким образом формируется пространственный объект, где единичная область выражает поле нагружения, а нулевая область такое поле исключает.

На примере функции описания квадратной области иллюстрируется процесс построения рецепторной модели R-функциональным способом. Функция пересечения двух функций-предикатов (термин, введённый В.Л. Рвачёвым), описывающих ортогональные положительные области полос одинаковой ширины 2 (рисунок 9) 1 = 2 − 2 и 2 = 2 − 2 строит квадратную положительную область. При этом каждая из функцийпредикатов описывает параболический закон, линейно распределённый вдоль выбранной оси и пересекающий плоскость на расстоянии от этой оси (рис.8). R-функциональное пересечение таких функций позволяет получить положительную область значений в виде квадрата со сторонами 2

(рисунок 10): = 1 + 2 − √12 + 22.

Рисунок 9 – Отображение положительной	Рисунок 10 – Положительная
области функций 1 и 2	область пространства
	- «квадрат»

Полученная область положительных значений позволяет перейти к описанию непосредственно рецепторной модели для чего скалярную функцию необходимо привести к предикатному виду, т.е. единичное значение должна принимать положительная область значений и обнулению подлежит отрицательная:

		+ 1
01 =	\| \|	+ 1	.
	\| \|
		2
		2

Врезультате получен М-образ

рецепторной модели С 1 = 1, где ( = 255)

0 0

(рисунок 11). Белым цветом отображена единичная область пространства функции 01, а чёрным – нулевая.

Рисунок 11 – Рецепторный образ функции - «единичный квадрат»

Полученный М-образ обладает интересным свойством, так как может быть реализован не только путем математического описания, но и в большинстве современных графических редакторов. Конвертация точек такого образа к значению функции производится простым вычислением:

	01 =		С 1
			0	.
				.
							пл,
	Далее		рассматривается			функция	пл,
	описывающая				геометрический		объект
	«пластина» – прямоугольная призма, заданная
	параметрами: 2 , 2 и 2					(рисунок	12) по
	аналогии с правилом описания квадратной
	положительной области значений. Здесь
	функция-				= 2 − 2	будет	иметь
			1
	положительную область значений, заключённую
	между параллельными плоскостями = и =
	−.	Функция			2 = 2	− 2	опишет
Рисунок 12 – Параметры	положительную				область	значений	между
задания пластины	полупространствами = и = −. А функция
	3 = 2	− 2 примет положительные значения

между полупространствами, задаваемыми уравнениями z= и z= −. Таким образом, описать положительную область значений функции, заключённую между всеми парами плоскостей, описывающую пространство задаваемой

пластины

размером

2 × 2 × 2 ,

можно

применив

аппарат R-

функционального пересечения:

− √2 + 2

− √2

+ 2.

пл

На рисунке 13 изображен результат построения положительной области

функции пл, полученный в системе RANOK3D.

Согласно

принципам функционально-

воксельного моделирования, для компьютерных

вычислений

будет

применяться

локальная

функция пл

в рассматриваемой точке

−

пл

Рисунок 13 – Модель

приводится

алгоритм

пластины для описания

преобразования точек на области функции пл

пространства функции.

относительно заданного поля объёмных векторов

̇,

определяемого рецепторной функцией 1 .

Суть

алгоритма

заключается

расчёте

значений

компонентов

(

, )

и (

). Полученные

значения,

определят

относительный

пространственный сдвиг по осям координат для

расчёта нового значения

функции пл в рассматриваемой точке пространства. За счёт этого, функцияпл изменяет на заданной области свои значения и, тем самым влияет на форму своей положительной области.

Используя основные формулы расчета в точке значения напряжений на основе объемного вектора можно определить поле напряжения на области, описанной единицами функции 01, которая является суммой единичных напряжений:

( 01) = ∑ ∑ (

) 01( , ),

1 + 2

+ 4 2

=−40 =−40

∙ 2

τ( 01) = ∑ ∑ (

) 01( , ),

+ 4 2)

2(1 + 2

=−40 =40

где

= √

2 + 2

2√

√

2 +

Параметры сферических координат объёмного вектора ( , ) позволяют

разложить на компоненты каждое из напряжений вышеописанных сумм.

= (1) sin ;

= (1) ;

= σ(1)cos γ ;

= τ (1) ;

= (1) ;

= τ(1) sin γ.

Относительный пространственный сдвиг вдоль каждой оси с учётом

полученных

проекций

локальных

напряжений

(

) и (

)

вычисляется как:

∆ =

Суть преобразования заключается в том, что координаты каждой точки пространства функции пл подаются к расчёту с учётом полученного смещения ( + ∆ , + ∆ , + ∆ ), но сохраняют при этом своё пространственное положение ( , , ), что приводит к относительному изменению значений на области функции ′пл, сохраняя при этом её дискретную непрерывность (рисунок 14).

Рисунок 14 – Изображение преобразованной функции ′пл.

Данное преобразование относится к классу пространственных, и результирующее пространство функции после применения такого преобразования сохраняет своё основное свойство дискретной непрерывности.

Модель геометрического преобразования можно представить расчётным взаимодействием основных функций

′пл( , , ) = {пл ( ′( , ), ′( , ), ′( , )) , 01( , )}.

Такое преобразование также является пространственным и относится к классу преобразования «сдвиг», представляемого матрицей 4х4 умножаемой на вектор координат пространства функции пл:

[ ′

′

1] = [

1] ,

где

[

]

( ( 1)) +

( ( 1))

( ( 1)) +

( ( 1))

( ( 1)) +

( ( 1))

На

примере

демонстрации

сечения пространства функции куба

куб

плоскости

проверим

сохранность

дискретной

непрерывности

полученной

трёхмерной

поверхности

функции

′квадрат

после

применения

преобразования . Рисунок 15

иллюстрирует

результат

построения

такой

поверхности

до

преобразования.

Она

пересекает

плоскость по контуру квадрата.

Рисунок 15 – Поверхность, отображающая

Эта

поверхность,

моделирующая

значения функции куб в плоскости

положительную

область

квадрата

2х2 в границах своих нулевых значений демонстрирует параболическое поведение функции квадрат в плоском сечении области функции куб.

Моделирование единичного объёмного вектора в установленной начальной точке с координатами (1,0,0) (рисунок 15), т.е. на границе объекта показывает, что текущие координаты рассматриваемого пространства приобретают относительную величину к заданной точке = − , −, = − . В рассматриваемом случае функция 01 равна единице в единственной точке на задаваемой области нагрузки.

Рисунок 16 – Деформация поверхности функции ′квадрат

Функции преобразования рассчитываются следующим образом:

(1) =						3		1		,	τ	(1) =			2			1		,


		0					2		0			0					0
							2										2)
					1 + 2		+ 4						2 (1		+ 2	+ 4
					1 + 2		+ 4						2 (1		+ 2	+ 4

						2								22
(1) =								1		,	τ	(1) =						1		,
(1) =								1		,	τ	(1) =						1		,
		0					2		0			0					0
							2										2)
					1 + 2		+ 4						2 (1		+ 2	+ 4
					1 + 2		+ 4						2 (1		+ 2	+ 4

		1				2			1			1		2					1
(		0	) =						0	,	τ	( ) =							0	,
(			) =							,	τ	( ) =								,
							2					0					2)
							2
					1 + 2		+ 4						2 (1		+ 2	+ 4
					1 + 2		+ 4						2 (1		+ 2	+ 4

		1
		1


где =	2√			,	\| \| = 3 − величина прилагаемого нагружнения,
где =	2√			,	\| \| = 3 − величина прилагаемого нагружнения,

= √( − )2 + ( − )2 + ( − )2.

На рисунке 16 демонстрируется результат расчёта деформации поверхности функции ′квадрат, полученной путём преобразования с использованием единственного объёмного вектора от единичной нагрузки. При этом, расчёты не учитывают никаких физических параметров, которые использовались бы при фактической постановке задач в реальных условиях. К примеру, модуль Юнга характеризует физические свойства

материала и безусловно необходим в случае физического расчета как калибрующий к заданному материалу коэффициент, однако на геометрическую суть модели деформации влияния он не имеет, поскольку компенсируется величиной приложенной нагрузки.

На рисунке 17 приводятся примеры полученных М-образов для различного описания рецепторной функции 01, а на рисунке 18 приводится результат преобразования для каждого из таких образов соответственно.

Рисунок 17 – М-образы различных форм пространства функции 10

Рисунок 18 – Результаты пространственного преобразования функции

Преобразование обеспечивает дискретную непрерывность на области функции, сохраняющей основные геометрические свойства аналитического представления исходного геометрического объекта, применимого в R- функциональном моделировании (ноль на границе, и дискретно-непрерывные положительная и отрицательная области). При этом, процесс деформации обеспечивается локально задаваемым множеством объёмных векторов.

Основные результаты и выводы

1.Полученная геометрическая модель объемного вектора, основанная на функциях распределения величины модуля приложенного вектора силы и величины угла его направления для изотропного тела, позволяет реализовывать расчеты локальных характеристик нормального и тангенциального напряжений в изотропном пространстве функциональновоксельной модели. В отличие от МКЭ получен инструмент, позволяющий работать с бесконечно малой окрестностью приложения силы для кусочноаналитически задаваемых воксельных объектов проектирования.

2.Сформулированный принцип геометрического моделирования области нагружения для функционально-воксельной модели изотропного тела, реализующий рецепторное представление модели управления физической нагрузкой, применим в локально-аналитическом подходе к моделированию деформации твёрдого тела при равномерном распределении нагрузки, а также локально рассредоточенной с задаваемым шагом. Задание нагрузки в МКЭ непосредственно зависит от разбиения узловых точек сетки на поверхности объекта, что зачастую приводит к перераспределению таких узлов под задаваемые условия нагружения.

3.Разработанный локально-аналитический подход к моделированию пространственной деформации твердого тела, определенный функциональновоксельной моделью обеспечивает прямое и обратное отображение дискретно непрерывного пространства функции под воздействием осевого сдвига согласно локальным характеристикам напряжения. Устойчивость и точность расчётов на основе МКЭ зависят непосредственно от количества и формы конечных элементов. Закладываемые в решение дифференциальные уравнения известных методов теории упругости для компьютера также являются одним из сложных вычислительных процессов. Работа с ФВмоделями сводит работу алгоритма к последовательному перебору точек

регулярного дифференцированного пространства с проведением простых арифметических операций.

Публикации по теме диссертационной работы

Статьи, опубликованные в изданиях, индексированных Scopus:

1.Визуальная диагностика физических величин на основе метода функционально-воксельного моделирования / С. А. Пушкарев, А. В. Толок, А. М. Плаксин [и др.] // Научная визуализация. – 2020. – Т. 12. – № 3. – С. 51–60.

2.Pushkarev, S. Geometric Modeling of Stress Visualization Based on the Functional-Voxel Method / S. Pushkarev, A. Tolok // Proceedings of the 30th International Conference on Computer Graphics and Machine Vision (GraphiCon 2020, St. Petersburg). Saint-Petersburg: CEUR Workshop Proceedings, 2020. – Vol-2744. – URL: http://ceur-ws.org/Vol-2744/paper54.pdf (дата обращения 12.04.2021).

Статьи, опубликованные в изданиях, рекомендованных ВАК по специальности 05.01.01

3.Плаксин, А. М. Геометрическое моделирование тепловых

характеристик объектов функционально-воксельным методом / А. М. Плаксин, С. А. Пушкарев // Геометрия и графика. – 2020. – Т. 8, № 1. – С. 25–32.

4. Плаксин, А. М. Геометрическое моделирование средств визуализации напряжения на основе функционально-воксельного метода / А. М. Плаксин, С. А. Пушкарев, А. А. Сычева, П.М. Харланова // Геометрия и графика. – 2020. – Т. 8. – № 3. – С. 36–43. – DOI: 10.12737/2308-4898-2020-36- 43.

Статьи в сборниках научных трудов и сборниках конференций:

5. Автоматизация графического способа решения некоторых математических задач / С. А. Пушкарев, С. Н. Григорьев, А. В. Толок [и др.], // Прикладная информатика. – 2012. – №5 (41). – С. 44–50.

6. Растровое представление геометрической модели / С. А. Пушкарев, С. Н. Григорьев, А. В. Толок [и др.] // Труды 12-й Международной конференции «Системы проектирования, технологической подготовки производства и управления этапами жизненного цикла промышленного продукта» (CAD/CAM/PDM-2012, Москва); ИПУ РАН. –

Москва: ООО «Аналитик», 2012. – С. 47–50.
7.	Растровое	представление	геометрической	модели	/

С. А. Пушкарев, А. В. Толок, С. Н. Григорьев [и др.] // Труды 12-й Международной конференции «Системы проектирования, технологической подготовки производства и управления этапами жизненного цикла промышленного продукта» (CAD/CAM/PDM-2012, Москва); ИПУ РАН. – Москва: ООО «Аналитик», 2012. – С. 16.

8.Толок, А. В. Воксельно-математическое моделирование при

решении задач	определения площади	для поверхностей деталей	/
А. В. Толок, Е.	А. Лоторевич, Д. А.	Силантьев, С.А. Пушкарев	//

Информационные технологии в проектировании и производстве. – 2013. – №3.

–С. 29–33.

9.Визуализация математического моделирования при определении рабочих поверхностей деталей /С. А. Пушкарев, А. В. Толок, С. Н. Григорьев [и др.] // Технология машиностроения. – 2013. – № 2 (128). – С. 57-60.

10.Пушкарёв, С. А. Исследование статической деформации твердых тел с применением методов функционально-воксельного моделирования / С. А. Пушкарев, А. В. Толок //Тезисы докладов 14-й Международной конференции «Системы проектирования, технологической подготовки производства и управления этапами жизненного цикла промышленного

продукта» (CAD/CAM/PDM-2014, Москва); ИПУ РАН. – Москва:

ООО«Аналитик», 2014. – С. 31.

11.Пушкарёв, С. А. Синтез графического образа деформируемого твердого тела с применением метода функционально-воксельного моделирования / С. А Пушкарев, А. В. Толок // Труды 15-й Международной конференции «Системы проектирования, технологической подготовки производства и управления этапами жизненного цикла промышленного

продукта» (CAD/CAM/PDM-2015, Москва); ИПУ РАН. – Москва:

ООО«Аналитик», 2015. – С. 87–90.

12.Пушкарёв, С.А. Исследование принципов деформации твердого тела с применением метода функционально-воксельного моделирования / С. А. Пушкарев, А. В. Толок // Тезисы 15-ой международной конференции «Системы проектирования, технологической подготовки производства и управления этапами жизненного цикла промышленного продукта» (CAD/CAM/PDM-2015, Москва); ИПУ РАН, Москва: ООО «Аналитик», 2015.

– С. 33.

13.Пушкарёв, С. А. Моделирование напряженного состояния твердого тела функционально-воксельным методом (ФВМ) / С. А. Пушкарев, А. В. Толок // Труды 16-й Международной конференции «Системы проектирования, технологической подготовки производства и управления этапами жизненного цикла промышленного продукта» (CAD/CAM/PDM-

2016, Москва); ИПУ	РАН.	–	Москва:	ООО «Аналитик», 2016. –
С. 408–411.
14. Пушкарев,	С.	А.	Метод	функционально-воксельного

моделирования в решении задач исследования напряженного состояния твердого тела / С. А. Пушкарев, А. В. Толок // Тезисы докладов 16-й Международной конференции «Системы проектирования, технологической подготовки производства и управления этапами жизненного цикла промышленного продукта» (CAD/CAM/PDM-2016, Москва); ИПУ РАН. – Москва: ООО «Аналитик», 2016. – С. 131.

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.11.20231.11 Mб17468.pdf
#
23.11.20231.11 Mб07469.pdf
#
21.11.2023147.91 Кб0747.pdf
#
23.11.20231.11 Mб07470.pdf
#
23.11.20231.11 Mб07471.pdf
#
23.11.20231.11 Mб07472.pdf
#
23.11.20231.11 Mб07473.pdf
#
23.11.20231.11 Mб07474.pdf
#
23.11.20231.11 Mб17475.pdf
#
23.11.20231.11 Mб17476.pdf
#
23.11.20231.11 Mб07477.pdf