7592

90

Следствие 2.

Если главный момент внешних сил относительно какой-либо оси все время равен нулю, то кинетический момент системы относительно этой оси остается неизменным.

Дифференциальное уравнение вращательного движения

Предположим, что материальное тело вращается вокруг оси z . Его кинетический момент будет равен Kz = Izω и тогда в соответствии с теоремой

об изменении кинетического момента

Если тело в процессе вращения не изменяется, то Iz = const и мы получаем

дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела:

Если учесть, что dω = ε = ϕ&& , это уравнение можно записать в виде

dt

При поступательном движении мерой инертности тела является его масса, а при вращательном − его момент инерции.

оси, проходящей через его конец О перпендикулярно ему с угловой скоростью p и с угловым ускорением u.

Найти кинетический момент стержня относительно оси вращения.

ε

K − ?

91

Решение.

Кинетический момент твердого вращающегося тела вычисляется по

Находим кинетический момент:

KÊ IÊω AL ml ∙ ω.

Задача 2.10.

Регулятор Уатта в установившемся движении при угловой скорости вращения ω 12 сnA имеет момент инерции I 40 кгм . Сопротивлением вращению пренебречь.

Найти момент инерции IA при новом значении угловой скорости ωA 3 сnA при условии сохранения кинетического момента.

ω

Решение.

Кинетический момент твердого вращающегося тела вычисляется по формуле: KÊ IÊω,

где IÊ − момент инерции относительно оси вращения, ω − угловая скорость вращения.

При сохранении кинетического момента справедливо равенство

I ∙ ω IA ∙ ωA,

92

откуда следует, что IA I ∙ ω⁄ωA 40 ∙ 12⁄3 160" кг ∙ м $.

Задача 2.11.

Однородный диск радиуса R и массой m вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через точку О и перпендикулярной плоскости диска, с угловой скоростью ω и угловым ускорением ε.

Определить, чему равен кинетический момент диска относительно оси вращения.

R

ε

C

O

ω

Решение.

Кинетический момент твердого вращающегося тела вычисляется по формуле: KÊ IÊω,

где IÊ − момент инерции относительно оси вращения, ω − угловая скорость вращения.

3.2.6. Работа силы

Рассмотрим отрезок траектории точки M, в которой приложена сила F. Элементарная работа силы равна скалярному произведению вектора

силы F и вектора элементарного перемещения точки ее приложения dr :

Представив F и dr в виде:

93

F = Xi + Yj + Zk, dr = dxi + dyj +dzk,

получим аналитическое выражение элементарной работы силы, соответствующее не векторному, а координатному способу задания движения точки приложения силы:

δA = Xdx + Ydy + Zdz.

Eсли известен естественный способ задания движения точки M и дан закон изменения ее дуговой координаты s = f(t) , то формулу (2.2) можно записать в виде:

где Fτ – проекция силы F на направление орта касательной τ.

В случае, когда точка приложения силы F перемещается по прямой M1M2 на расстояние S и при этом сила остается постоянной по модулю и направлению (рис. 9),

Рис. 3.9.

из формулы (2.3) получим

’A - Ñ’=-Ob cos N ¨^ cos N Ô ^

Таким образом, работа постоянной силы на прямолинейном перемещении равна произведению модуля силы на модуль перемещения и на косинус угла между направлением силы и перемещением. При этом:

A (F) > 0, если 0 < α < π/2,

A (F) = 0, если α = π/2,

A (F) < 0, если π/2 < α < π.

94

3.2.7. Кинетическая энергия

Кинетической энергией материальной точки называется величина, равная половине произведения массы точки на квадрат скорости:

T= 1 mv2

2

Кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетических энергий ее точек

T = ∑n 1 mk vk 2

k =1 2

Кинетическая энергия твердого тела вычисляется по аналогичной формуле с той разницей, что сумма заменяется интегралом:

где dm ─ масса бесконечно малого объема тела, а v ─ его скорость.

Вычисление кинетической энергии при различных формах движения

1. Поступательное движение тела

2. Вращательное движение тела

При вращении тела относительно некоторой оси z его кинетическая энергия равна

Öo× ØÙÚ×.

3.Плоскопараллельное движение тела

При плоском движении тела кинетическая энергия вычисляется с помощью теоремы Кенига:

Кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетической энергии поступательной части движения и кинетической энергии системы в ее относительном движении относительно центра масс.

95

Кинетическая энергия поступательной части движения равна

o× ±·×Û.

Относительное движение тела относительно центра масс является вращательным, поэтому его кинетическая энергия равна o× ØÙСÚ×.

В результате получаем, что

Õпл A '„ A Üq„p ,

где '„ скорость центра массы тела, а Üq„ момент инерции тела

относительно оси, проходящей через центр масс тела перпендикулярно оси вращения.

3.2.8. Теорема об изменении кинетической энергии механической системы

Теорема об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме

Производная по времени от кинетической энергии механической

системы равна сумме мощностей всех действующих в системе

сил:

ÝÖÝÞ ∑ÇßHe ³ß

или, после разделения мощностей внешних и внутренних сил:

)à)+ ∑<¶HO á¶Q ∑<¶HO ᶼ

Для неизменяемых систем, у которых внутренние силы не

работают, получим:

ÝÖÝÞ ∑ÇßHe ³âß

Теорема об изменении кинетической энергии в интегральной форме

96

Изменение кинетической энергии механической системы за некоторый промежуток времени равно сумме работ всех действующих в системе

или, выделяя отдельно работы внешних и внутренних сил:

Õ ÕO ∑<¶HA ’Q¶ ∑<¶HA ’¼¶

T TO ∑ÃÂHA AèÂ

Задача 2.12. Найти ускорение тела A, принимая барабан B за однородный цилиндр и полагая mA = mB (рис. 10, а).

PB

A (1)

A′ (2)

Рис. 3.10

Решение:

Груз A движется под действием постоянной силы PA с постоянным ускорением, которое не зависит от начальной скорости, и которую можно считать равной нулю.

97

Рассмотрим два состояния системы: первое – в состоянии покоя, для которого T1 = 0, и второе – текущее, соответствующее смещению груза A на величину sA от первоначального положения (рис. 10, б), для которого

T2 = T = TA + TB = (1/2)mAvA2 + (1/2)(mBR2/2)(vA/R)2 = (3/4)mvA2 .

Подставляя T2 в (2.4) вместе с работой силы PA , придем к соотношению:

(3/4)mvA2 = mgsA ,

продифференцировав которое, получим:

(3/2)vAaA = vAg ,

откуда aA = (2/3)g.

Задача 2.13.

Система, состоящая из трех тел A, B и C одинаковой массы приходит в движение из состояния покоя. Принимая B и C за однородные цилиндры, определить:

–какую скорость приобретет груз A , пройдя расстояние SA,

–ускорение тела A (рис. 11).

98

Решение. Прикладываем к системе внешние активные силы (PA, PB, PC) и реакции отброшенных связей (NBX, NBY , NC , FC) , где FC – сила трения, приложенная к катку C.

Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии системы

(2.4):

выбрав в качестве первого состояния – состояние покоя, а в качестве второго

– текущее состояние, соответствующее смещению груза A на расстояние sA . По условию задачи T1 = 0, а

В самом деле, точка P, в которой приложены силы NC и FC является мгновенным центром скоростей диска C, то есть

δA12(e)(NC , FC) = NC δrP + FCδrP = (NC + FC) vPdt = 0,

откуда и следует (4). Итак, справедливо следующее утверждение:

Работа сил, приложенных в точке, являющейся мгновенным центром скоростей, равна нулю.

Работа сил PB, NBY и NBX равна нулю, поскольку перемещения точек их приложения равны нулю, и таким образом, работу будут совершать только силы PA и PC:

sC = sC′ /2 = sA /2,

откуда (5) примет вид:

Подставляя (в) и (е) в (а), получим:

откуда придем к искомой зависимости:

___________________

vA = Ö(16/15) gsA(1 – 0,5sin α),

и чтобы найти ответ, остается положить в последнем выражении sA = SA . Дифференцируя (7), получим:

(15/8) vA aA = gvA (1 – 0,5sin α),

aA = (8/15)(1 – 0,5sin α)g.

3.3.Принцип Даламбера

Принцип Даламбера, к рассмотрению которого мы приступаем, существенно отличается от общих теорем динамики. Он позволяет свести по форме решение первой задачи динамики к задаче статики.

Кроме того, этот принцип находит эффективное применение совместно с принципом возможных перемещений, рассмотренным в следующей главе.

3.3.1. Принцип Даламбера для точки

Рассмотрим точку M массой m, движущуюся под действием силы F. Основное уравнение динамики для этой точки:

можно записать в виде: