7617

Производственная функция – это математически выраженная зависимость результатов производства от производственных факторов. Уравнение производственной функции имеет вид:

у=у(х1,х2,…,хk),

где у – результативный показатель;

х1,х2,…,хk– величины, выражающие различные факторы производства.

Существует несколько способов представления производственных функций:

Табличный – чаще всего применяется при изучении зависимостей,

полученных в результате прямых наблюдений;

Графический способ - более нагляден, однако точность определения значения функции ограничена;

Аналитический – является основным, это уравнение, показывающее порядок вычисления результативного показателя при заданных факторах производства;

Номографический способ – применяется для быстрого определения значения функций и реализации аналитических форм между переменными,

когда не требуется высокой точности результата.

Знание производственных функций позволяет проводить анализ различных производственных факторов, прогнозировать уровень результатов производства,

оптимизировать производство тех или иных продуктов, оценивать допустимые пределы взаимозаменяемости различных ресурсов.

О практической ценности построенных производственных функций можно судить только после оценки её статистической достоверности. Такая оценка производится путем вычисления коэффициентов корреляции, корреляционных отношений и различных статистических величин, характеризующих тесноту связи результати вного и факторного показателей.

Регрессионную зависимость, используемую в качестве функционального представления производственной функции, можно построить практически по любой выборке. В то же время, функциональное (однозначное) представление – это идеализация.

В действительности зависимости не однозначны и имеют статистический характер, то есть связь результатов с производственными факторами не абсолютная.

Поэтому наряду с функциональным представлением производственных функции проводят корреляционно-регрессионный анализ этих функций.

Теория и методы корреляционного анализа используются для выявления связи между случайными переменными и оценки ее тесноты. В качестве характеристики может использоваться коэффициент корреляции, показывающий, насколько зависимость,

выраженная выборкой, близка к линейной.

В геометрической интерпретации коэффициент корреляции r показывает,

насколько геометрическое место точек, определяемое выборкой, близко к прямой линии.

В соответствии с определением коэффициента парной корреляции его значения находятся в интервале [-1,1]. Принято считать, если модуль коэффициента r находится в интервале

0..0,15, то линейная связь отсутствует. При ׀r׀=0,16..0,2 связь плохая; при ׀r׀=0,21..0,3 –

слабая; при ׀r׀ = 0,31..0,4 – умеренная, при ׀r׀ = 0,41..0,6 – средняя, при ׀r׀ = 0,61..0,8 -

высокая, при ׀r׀ = 0,81..0,9 – очень высокая, при ׀r׀ = 0,91..1 – полная. При положительных значения коэффициент корреляции говорит о прямой связи, при отрицательных – об обратной.

С помощью корреляционного анализа решается задача установления существующей связи между случайными величинами. Корреляционная связь отражает лишь усредненную тенденцию изменения зависимого показателя от изменения одного или нескольких параметров-аргументов.

Метод корреляции необходим для того, чтобы при сложном взаимодействии посторонних влияний выяснить: какова бы была зависимость между результатом и факторами, если бы эти посторонние факторы не искажали основную зависимость, что достижимо при большом числе наблюдений.

В соответствии с сущностью корреляционной связи ее изучение имеет две задачи:

1)измерение параметров уравнения, выражающего связь средних значений зависимой переменной со значениями независимой переменной (зависимость средних величин результативного признака от значений одного или нескольких факторных признаков);

2)измерение тесноты связи двух (или большего числа) признаков между собой.

С этой целью вначале находят уравнение связи, а затем определяют степень тесноты связи изучаемых переменных.

На этапах корреляционного анализа формируется выборка однородных элементов,

собирается исходная информация об этих объектах и отбираются основные параметры.

Далее подключаются приемы регрессионного анализа, с помощью которых определяется вид регрессионной модели, рассчитываются ее параметры и оцениваются параметры ее адекватности. Так как корреляционный и регрессионный виды анализа дополняют друг друга, то принято говорить о комплексном корреляционно-регрессионном анализе.

Основные этапы корреляционно-регрессионного анализа:

Формирование выборки однородных объектов. Статистическая выборка объектов должна быть однородной в функциональном и конструктивно-технологическом отношении и достаточно многочисленной. Исследуемый стоимостной показатель должен быть приведен к одним условиям его исчисления у всех объектов в выборке.

Отбор основных влияющих параметров-аргументов с целью учета как можно большего числа влияющих параметров, построив тем самым более точную множественную регрессионную модель.

Логический анализ отбора параметров – исходит из понимания того, какую по экономическому смыслу регрессионную модель необходимо получить.

Формальный статистический анализ отбора параметров использует приемы корреляционного анализа;

Определение параметров регрессионных моделей с помощью линейных и степенных функций;

Выбор итоговой регрессионной модели из нескольких рассчитанных, после проверки каждой из них на тесноту и достоверность связи.

Основной задачей регрессионного анализа является установление формы и изучение зависимости между переменными.

В общем случае две величины могут быть связаны функциональной зависимостью,

либо зависимостью другого рода, называемой статистической, либо быть независимыми.

Статистической называется зависимость, при которой изменение одной из величин влечет изменение распределения другой.

Статистическая зависимость, при которой изменение одной из величин влечет изменение среднего значения другой, называется корреляционной.

Корреляционные зависимости занимают промежуточное положение между функциональной зависимостью и полной независимостью переменных.

Между величинами, характеризующими экономические явления, в большинстве случаев существуют зависимости, отличные от функциональных.

Если с увеличением x значение зависимой переменной Y в среднем увеличивается,

то такая зависимость называется прямой или положительной.

Если среднее значение Y при увеличении x уменьшается, имеет место отрицательная или обратная корреляция.

Если с изменением x значения Y в среднем не изменяются, то говорят, что корреляция – нулевая.

Корреляционно-регрессионный анализ учитывает межфакторные связи,

следовательно, дает более полное измерение роли каждого фактора: прямое,

непосредственное его влияние на результативный признак; косвенное влияние фактора через его влияние на другие факторы; влияние всех факторов на результативный признак.

Если связь между факторами несущественна, индексным анализом можно ограничиться. В

противном случае его полезно дополнить корреляционно-регрессионным измерением влияния факторов, даже если они функционально связаны с результативным признаком.

Практические занятия

Тема 1 Экономико-математические методы и их применение при решении земельнокадастровых задач

1.1 Сводка, группировка, статистические графики и таблицы

Сводка – научно организованная обработка материалов наблюдения (по заранее разработанной программе), включающая в себя кроме обязательного контроля собранных данных, систематизацию, группировку материалов, составление таблиц, получение итогов по группам и в целом. Программа сводки включает определение групп и подгрупп,

системы показателей и видов таблиц. По технике и способу выполнения сводка может быть ручной либо механизированной.

Группировка – разбиение совокупности на группы, однородные по какому-либо признаку или объединение отдельных единиц совокупности в группы, однородные по каким-либо признакам. Устойчивое разграничение объектов называется классификацией или стандартом, в котором каждая атрибутивная запись может быть отнесена лишь к одной группе или подгруппе. Метод группировки основывается на двух категориях – группировочном признаке и интервале.

Группировочный признак – признак, по которому происходит объединение отдельных единиц совокупности в однородные группы. Он может носить как количественный, так и качественный характер. В ряде случаев группировка, которая представляется чисто качественной, в конечном итоге оказывается основанной на количественном признаке. Такова, например, классификация промышленных предприятий по отраслям. Поскольку одно и то же предприятие выпускает продукцию разных видов, статистика решает этот вопрос по количественному преобладанию того или иного вида.

Интервал очерчивает количественные границы групп и представляет собой промежуток между максимальным и минимальным значениями признака в группе.

Интервалы бывают равные, неравные, закрытые (когда имеется верхняя и нижняя граница) и открытые (когда одна из границ отсутствует).

Статистические группировки и классификации преследуют цели выделения качественно однородных совокупностей, изучения структуры совокупности, исследования взаимосвязи факторных и результативных признаков. Каждой из этих целей соответствует особый вид группировки: типологическая, структурная и аналитическая.

Задание . Построить аналитическую группировку с целью выявления зависимости урожайности от уровня внесения удобрений

1.2Методика планирования урожайности сельскохозяйственных культур

По многолетним данным статистических исследований, применяя производственные функции, производится планирование урожайности сельскохозяйственных культур с использованием программы MicrosoftExcel.

Алгоритм методики основан на применении корреляционно-регрессионного анализа, который необходим для того, чтобы при сложном взаимодействии посторонних влияний выяснить: какова бы была зависимость между результатом и факторами, если бы эти посторонние факторы не искажали основную зависимость. Это достижимо при большом числе наблюдений.

Рассмотрим пример.

На рисунке 1 представлена таблица с исходными данными, отражающими урожайность пшеницы в Российской Федерации в сельскохозяйственных организациях всех категорий в программе MicrosoftExcel, ц/га.

Рисунок 1 – Динамика урожайности пшеницы в Российской Федерации в сельскохозяйственных организациях всех категорий

Методические рекомендации по выполнению задания.

Этапы расчета производственной функции в MicrosoftExcel имеют следующий ряд команд: Вставка – Гистограмма - Точечная - выделяются точки на графике - правая кнопка мыши - добавить линию тренда (выбираем класс построения линии тренда,

показать уравнение на диаграмме, поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации).

По выполнению указанных команд на экране отображается итоговый график,

который представлен на рисунке 2

Рисунок 2 – Результат расчета производственной функции

На графике отображено уравнение производственной функции (зависимость урожайности пшеницы от различных факторов) и величина R2=0,587.

Используя уравнение производственной функции, можно определить потенциальную урожайность пшеницы в зависимости от различных факторов производства.

Задание 1

Произвести выравнивание динамического ряда, представить готовый график.

Аналогичный алгоритм планирования площади пашни. На графике отобразить уравнение.

В таблице 1 показаны статистические данные, отражающие динамику площади пашни в Российской Федерации (хозяйства всех категорий), ц/га.

Таблица 1 – Динамика площади пашни в Российской Федерации (хозяйства всех категорий), га.

га

1.3 Корреляционно-регрессионный анализ

Причиной неоднозначности зависимости у=у(х), «неправильного» изменения урожайности в ряде случаев является влияние на результативный показатель помимо качества земли множества других факторов. Это могут быть эродированность участков,

экспозиция, длина и форма склонов, качество обработки почвы, микроклиматические условия и т.д. Однозначные функциональные зависимости у=у(х) являются идеализацией,

математической абстракцией, а реальная связь прослеживается лишь в среднем, то есть является корреляционной и стохастической. Это значит, что изменения факторов и результативного показателя коррелированы, но при этом можно указать только тенденцию изменения у при изменении х1, х2…., а не однозначную зависимость.

Латинское слово correlatio означает соотношение, соответствие. Метод корреляции нужен как раз для того, чтобы при сложном взаимодействии посторонних влияний выяснить, какова была бы зависимость между результатом и фактором, если бы эти посторонние факторы не искажали основную зависимость, что вполне до стижимо при большом числе наблюдений.

Первая задача корреляционного анализа заключается в выявлении того, как изменяется в среднем результативный признак при изменении данного фактора, вторая – в

определении степени влияния искажающих факторов.

С этой целью сначала находится уравнение связи, а затем определяется степень тесноты связи изучаемых переменных.

Функциональную зависимость естественно назвать сглаженным представлением зависимости результирующего показателя от производственных факторов:

y=f(x)

Примем следующие обозначения. Набор значений (уj,x1j,…,xkj) ,будем называть j

– наблюдением значений рассматриваемых случайных величин из генеральной совокупности. При этом, как правило, верхний индекс (номер наблюдения) будем обозначать через j, общее число наблюдений – N; нижний индекс величин х (номер производственного фактора) – через i; общее число факторов – К. В случае парной зависимости (один производственный фактор К=1) нижний индекс не указывается. При таком понимании каждая строка таблицы 1 представляет результаты наблюдения за случайными величинами у (урожайность) и х (балльная оценка качества почвы.), т.е. в

общем случае мы имеем дело с К факторами и N-выборкой, т.е. выборкой, включающей N

наблюдений.

N – выборка

Задание 2

Для 12 участков хозяйства имеются оценка качества земли и средняя урожайность озимой пшеницы (таблица 1). По этим данным нужно установить функциональную зависимость урожайности (у) озимой пшеницы от балла оценки качества земли (х).

Реальную статистическую зависимость результативного показателя (у) от производственного фактора (х) мы заменим функциональной связью:

у = f (а1, а2, х) = а1 + а2 *х

При проведении вычислений обычно уравнения из этой системы делят на число наблюдений, приводя ее к виду:

Этапы расчета параметров производственных функций в Exсel:

1.Выделяем х и у

2.Вставка

3.Диаграмма точечная

4.Выделяем точки

5.Добавить линию тренда

6.Линейная

7.Показать уравнение на диаграмме

Задание 3

В результате научных исследований плотности метрового слоя различных черноземов получены следующие усредненные показатели:

1.Глубина слоя (см) – 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100.

2.Плотность почвы (г/см3) – 1,08;1,12;1,15;1,18;1,23;1,26;1,28;1,29;1,34;1,4.

Выявить уравнение линейной зависимости.

Задание 4

Найти зависимость потери времени смены на холостые повороты и заезды комбайна на уборке зерновых (у в %) от длины гона (х, км).

1.5Метод Гаусса

Задание 5

В одном из почвенно-эрозионных районов выделено 20 хозяйств, находящихся в одинаковых природно-климатических условиях. По данным хозяйствам определены следующие показатели: плотность поголовья коров на 100 га с.х. угодий – у, площадь кормовых угодий – х1 (в % к общей площади с.х угодий); стоимость животноводческих построек – х2 (тыс. руб на 100 га с.х угодий); площадь смытых земель – х3 (в % к общей площади с.х угодий).

Определить линейную регрессионную зависимость у от факторов х1, х2, х3.

Расчет коэффициентов системы нормальных уравнений для задачи