7700

7. Строим эскиз графика данной функции. (См. рис. 65).

40

y

-9

41

Контрольные задания

Задание 1

Исследовать функцию и построить ее график:

1.1.y x 1 3 .

x2

1.2.y x2 1 2 .

x3

1.3.y x 2 3 .

x2 1

1.5.y 2x 3 .

x2

1.9.y 2x2 3 .

x2 1

1.10.y x3 x2 1 .

x2 1

42

§ 2. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.

ОСНОВНЫЕ ПРИЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

Основные понятия

Одной из основных задач дифференциального исчисления является

нахождение производной функции или дифференциала заданной функции.

Основной задачей интегрального исчисления является обратная задача – отыскание функции по ее производной или заданному ее

функции f x cos x , так как sin x cos x .

Если для данной функции f x существует первообразная, то она не является единственной. Так, в предыдущем примере в качестве первообразных можно взять следующие функции:

F x sin x 1, F x sin x 2

или в общем виде

F x sin x C ,

где C – произвольная постоянная, так как при любом значении C

sin x C sin x C cos 0 cos x .

В связи с этим возникает вопрос, исчерпывает ли функция вида sin x C все возможные первообразные для cos x или существуют еще функции другого вида, которые также будут первообразными для cos x .

Ответ на него дает следующая теорема.

42

Теорема. Если F x есть какая-либо из первообразных для данной функции f x , то самое общее выражение для первообразной имеет вид:

,

где C – есть первообразная постоянная.

Доказательство. Пусть F1 x есть любая функция, имеющая своей

функции x 0 , то сама функция x может быть только постоянной.

Полученный результат можно сформулировать и так: если производная (или дифференциалы) двух функций тождественно равны, то

сами функции отличаются лишь постоянным слагаемым.

Если функция F x является первообразной для f x , то семейство всех ее первообразных функций F x C называется неопределенным интегралом от функции f x и обозначается как f x dx .

Таким образом, по определению

f x dx F x C ,

если

F x f x .

43

Показательные функции:

Тригонометрические функции:

sin x dx cos x C ;

cos x dx sin x C ;

tgx dx ln cos x C ;

ctgx dx ln sin x C ;

Дробные рациональные функции:

Иррациональные функции:

Основные свойства неопределенного интеграла

1. Если f x g x , то f x dx g x dx C ,

где C – произвольная постоянная.

Простейшие способы интегрирования.

Непосредственное интегрирование

Под непосредственным интегрированием понимают такой способ интегрирования, при котором данный интеграл удается привести к одному или нескольким табличным интегралам. К табличному виду обычно удается привести не очень сложные интегралы путем элементарных тождественных преобразований подынтегральных функций, а также воспользовавшись основными свойствами неопределенного интеграла.

Поясним сказанное примерами.

46

Выполнив под знаком интеграла очевидные тождественные преобразования (возвести разность в квадрат), свели данный интеграл к

где

xt ,

всправедливости чего легко убедиться, продифференцировав обе части равенства (3) и воспользовавшись затем формулами (1) и (2).

Метод замены переменной интегрирования, является одним из наиболее эффективных и распространенных методов интегрирования. С

другой стороны, не существует общих правил, которые во всех случаях позволяли бы найти замену переменной, ведущую к желаемой цели.

Поэтому, чем больше примеров самостоятельно решить, тем с большим успехом можно овладеть методом замены переменной.

Пример. Найти e2 x 3dx .

Решение. Данный интеграл не табличный, но есть интеграл сходный с данным. Поэтому введем новую переменную t , связанную с x

результат в данный интеграл, имеем:

e2 x 3dx et 12 dt 12 et dt 12 et C.

Возвращаясь к переменной x , находим:

e2 x 3dx 12 e2 x 3 C .

Для надежности проверяем результат дифференцированием:

48