7701
.pdf
|
|
x 7 x 3 x 1 4 x 3 x 7 4 x 1 3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
2x 10 x 1 4 x2 10x 21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x 1 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
2x2 12x 10 4x2 40x 84 |
|
2x2 28x 74 |
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x 1 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Итак, |
y |
2 x2 14x 37 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
x 1 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Используя |
необходимое условие перегиба, находим |
y 0 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x2 14x 37 0 , |
или x |
|
|
|
|
14 |
196 148 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
, |
откуда |
|
x |
3 ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1, 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,2 |
|
|
|
|
||||||
y не существует x 1 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
0 , откуда x3 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Используем достаточные условия перегиба. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||||||||
y |
0 |
|
1 |
|
|
7 2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 2 3 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
74 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
74 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
y 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|||||||||||||||||||||
Так как точки x1,2 7 2 3 D и при переходе через эти точки |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
меняет знак, то x1,2 7 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
3 – точки перегиба графика функции y . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Так как при |
|
x 1, |
|
|
|
7 2 |
|
|
3 x 7 2 |
3 |
|
y |
|
то |
в |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
интервалах ;1 , |
7 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функция y выпукла вниз. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
3;7 2 |
|
|
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 x 7 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 7 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Так как при |
|
3 , |
|
|
3 |
|
|
то |
в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
y |
x 0, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1;7 2 |
|
|
, 7 2 |
3; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
интервалах |
|
3 |
функция y выпукла вверх. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6. Находим координаты точек пересечения кривой с координатными |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
осями: |
|
|
|
x 3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Ox : y 0 |
0, откуда x 3; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 3 2 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Oy : x 0 y 0 1 3 |
|
|
9 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. Строим эскиз графика данной функции. (См. рис. 65).
40
y
|
2 |
|
|
y 0 |
27 |
|
|
|
0 1 3 7 2 3 7 |
7 2 3 |
x |
-9
x 1 |
Рис. 65 |
|
41
Контрольные задания
Задание 1
Исследовать функцию и построить ее график:
1.1.y x 1 3 .
x2
1.2.y x2 1 2 .
x3
1.3.y x 2 3 .
x2 1
1.4. y |
|
x5 |
|
|
|
. |
|
1 x4 |
1.5.y 2x 3 .
x2
|
y |
3x x2 |
|
|
|||||
1.6. |
|
|
|
. |
|
|
|||
x 2 2 |
|
|
|||||||
|
|
|
x |
|
2 |
||||
1.7. |
y x |
|
|
|
. |
||||
|
|
||||||||
|
|
|
x 3 |
|
|
||||
|
y |
|
x2 |
|
|
||||
1.8. |
|
|
. |
|
|
||||
|
x 1 3 |
|
|
1.9.y 2x2 3 .
x2 1
1.10.y x3 x2 1 .
x2 1
42
§ 2. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.
ОСНОВНЫЕ ПРИЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
Основные понятия
Одной из основных задач дифференциального исчисления является
нахождение производной функции или дифференциала заданной функции.
Основной задачей интегрального исчисления является обратная задача – отыскание функции по ее производной или заданному ее
дифференциалу. |
|
|
Функция F x называется первообразной для функции |
f x , если |
|
функции F x и |
f x связаны следующим соотношением: |
|
|
|
|
|
F x f x . |
|
Пример. |
Функция F x sin x вяляется первообразной для |
функции f x cos x , так как sin x cos x .
Если для данной функции f x существует первообразная, то она не является единственной. Так, в предыдущем примере в качестве первообразных можно взять следующие функции:
F x sin x 1, F x sin x 2
или в общем виде
F x sin x C ,
где C – произвольная постоянная, так как при любом значении C
sin x C sin x C cos 0 cos x .
В связи с этим возникает вопрос, исчерпывает ли функция вида sin x C все возможные первообразные для cos x или существуют еще функции другого вида, которые также будут первообразными для cos x .
Ответ на него дает следующая теорема.
42
Теорема. Если F x есть какая-либо из первообразных для данной функции f x , то самое общее выражение для первообразной имеет вид:
,
где C – есть первообразная постоянная.
Доказательство. Пусть F1 x есть любая функция, имеющая своей
производной F |
x f x . |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
С другой |
стороны, рассматриваемая |
функция |
F x также имеет |
|
|
|
|
x . |
|
f x своей производной, то есть F x f |
|
|||
Вычитая это равенство из предыдущего, имеем: |
|
|||
|
|
|
|
|
F1 x F x F1 x F x f x f x 0 |
||||
и, следовательно, |
|
|
|
|
|
|
F1 x F x C , |
|
|
где C есть постоянная, что и требовалось доказать. |
|
|||
Действительно, если |
производная некоторой |
дифференцируемой |
функции x 0 , то сама функция x может быть только постоянной.
Полученный результат можно сформулировать и так: если производная (или дифференциалы) двух функций тождественно равны, то
сами функции отличаются лишь постоянным слагаемым.
Если функция F x является первообразной для f x , то семейство всех ее первообразных функций F x C называется неопределенным интегралом от функции f x и обозначается как f x dx .
Таким образом, по определению
f x dx F x C ,
если
F x f x .
43
При этом функцию f x называют подынтегральной функцией, f x dx – подынтегральным выражением, переменную x – переменной
интегрирования, а знак – |
знаком интеграла. |
Действие, с помощью |
|||||||||||||
которого |
по |
данной |
функции f x |
находим |
ее |
первообразную F x , |
|||||||||
называется интегрированием функции |
|
f x . |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Пример. Найти неопределенный интеграл от функции |
f x x . |
||||||||||||
|
|
Решение. Первообразной от x |
|
будет функция |
F x |
x2 |
, так как |
||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
x2 |
|
|
|
|
x dx |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x . |
В |
таком |
случае |
|
C , |
где |
C |
– |
произвольная |
||||
|
2 |
||||||||||||||
|
|||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
постоянная.
Таблица основных интегралов
Интегралы в приводимой ниже таблице называются табличными. В
интегральном исчислении нет универсальных правил отыскания первообразных от элементарных функций. Методы нахождения первообразных сводятся к указанию приемов, приводящих данный
(искомый) интеграл к табличному. Следовательно, необходимо знать табличные интегралы и уметь их узнавать.
Степенные функции:
xn dx |
xn 1 |
|
C |
n 1 ; |
|
n 1 |
|||||
|
|
|
1x dx ln x C , т.к.
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
x |
|
|
|
ln x C , x 0 |
|
|
|||||
|
|
C |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln x C , x 0 |
|
|
|
1 |
, x 0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
|||
|
|
x |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
1 |
|
x |
|||||
|
|
|
||||||
|
|
1 |
|
, x 0 |
|
|
||
x |
x |
|
|
44
Показательные функции:
ex dx ex C ; |
|
|||
ax dx |
ax |
C |
a 0, a 1 . |
|
ln a |
||||
|
|
|
Тригонометрические функции:
sin x dx cos x C ;
cos x dx sin x C ;
tgx dx ln cos x C ;
ctgx dx ln sin x C ;
1 |
|
|
dx tgx C ; |
||
|
|
|
|
|
|
|
cos2 |
x |
|||
1 |
|
dx ctgx C . |
|||
|
|
|
|||
sin 2 |
x |
Дробные рациональные функции:
|
1 |
dx arctgx |
C ; |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
1 x2 |
|
|
|
|||||||||||||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
x |
|
|
a 0 ; |
||||
|
|
|
|
|
arctg |
|
C |
|||||||||
a2 x2dx |
a |
a |
||||||||||||||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
x a |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
dx |
|
ln |
|
|
|
C . |
|||||||
|
x2 a2 |
2a |
|
x a |
Иррациональные функции:
|
1 |
|
dx arcsin x C ; |
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
1 x2 |
|||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
dx arcsin |
|
x |
C ; |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
a2 x2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx ln |
x x2 |
C . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
45 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Основные свойства неопределенного интеграла
1. Если f x g x , то f x dx g x dx C ,
где C – произвольная постоянная.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
f x dx f x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|||||||||
3. |
|
F x C , где |
|
C – произвольная постоянная. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
F x dx |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. a f x dx a f x dx , a R , |
a 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
5. f x g x dx f x dx g x dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Пример. Найти |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
3x |
|
|
x dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
3x |
|
|
|
|
|
|
3xdx |
|
dx |
|
|
|
|
xdx |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x dx |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
||||||||||
|
3 x1dx 2 |
dx x |
2 |
dx 3 |
|
|
|
2 ln |
|
x |
|
|
|
|
C |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
x2 2 ln |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
x |
C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Простейшие способы интегрирования.
Непосредственное интегрирование
Под непосредственным интегрированием понимают такой способ интегрирования, при котором данный интеграл удается привести к одному или нескольким табличным интегралам. К табличному виду обычно удается привести не очень сложные интегралы путем элементарных тождественных преобразований подынтегральных функций, а также воспользовавшись основными свойствами неопределенного интеграла.
Поясним сказанное примерами.
46
Пример. Найти x 3 2 dx . |
|
|
|
||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x 3 2 dx x2 |
6x 9 dx x2dx 6xdx 9dx |
|||||||
|
x3 |
6 xdx 9 dx |
x3 |
6 |
x2 |
9x C |
x3 |
3x2 9x C. |
|
|
|
|
|
||||||
3 |
|
3 |
2 |
3 |
|
Выполнив под знаком интеграла очевидные тождественные преобразования (возвести разность в квадрат), свели данный интеграл к
трем табличным интегралам |
|
|
xn dx , n 2;1; 0. постоянная C (которая в |
|||||||||||||||||||||
данном примере |
равна |
|
сумме |
|
трех |
постоянных |
C C1 C2 C3 ) |
|||||||||||||||||
появляется тогда, когда исчезают знаки интеграла. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Пример. Найти |
|
x2 |
1 |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x2 1 |
|
x |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
x |
|
dx |
|
xdx |
|
|
dx |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 ln x C .
2
Интегрирование заменой переменной.
Во многих случаях f x dx можно упростить, если вместо x ввести
новую переменную t , положив |
|
x t , |
(2) |
тогда |
|
|
|
dx t dt . |
|
Для приведения данного интеграла к новой переменной достаточно |
|
привести к новой переменной его подынтегральное выражение |
|
f x dx f t t dt , |
(3) |
|
|
47 |
|
где
xt ,
всправедливости чего легко убедиться, продифференцировав обе части равенства (3) и воспользовавшись затем формулами (1) и (2).
Метод замены переменной интегрирования, является одним из наиболее эффективных и распространенных методов интегрирования. С
другой стороны, не существует общих правил, которые во всех случаях позволяли бы найти замену переменной, ведущую к желаемой цели.
Поэтому, чем больше примеров самостоятельно решить, тем с большим успехом можно овладеть методом замены переменной.
Пример. Найти e2 x 3dx .
Решение. Данный интеграл не табличный, но есть интеграл сходный с данным. Поэтому введем новую переменную t , связанную с x
зависимостью: 2x 3 t , x 12 t 3 . Дифференцируя это равенство,
|
|
|
|
1 |
|
получим: 2x 3 |
dx t dt , |
2dx dt , откуда |
dx |
|
dt . Подставив |
2 |
результат в данный интеграл, имеем:
e2 x 3dx et 12 dt 12 et dt 12 et C.
Возвращаясь к переменной x , находим:
e2 x 3dx 12 e2 x 3 C .
Для надежности проверяем результат дифференцированием:
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
e2 x 3 C |
|
|
e2 x 3 2x 3 |
|
|
e2 x 3 |
2 e2 x 3 |
– верно. |
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
48