7954

10

Вычислить период колебаний Т = t/N с точностью до сотых долей

секунды.

2.Измерения по п.1 повторить для расстояний d = 25 – 55 см, расстояния брать через каждые 5 см. Вычислить периоды колебаний. Результаты измерений занести в Таблицу.

Таблица.

3.По результатам проделанных измерений и вычислений построить график зависимости периода колебаний Т (по вертикальной оси в секундах) от расстояния между осью подвеса и центром стержня d (по горизонтальной оси в сантиметрах). Выбрать значение Т1 и с помощью графика определить расстояния d1 и d2. Определить приведённую длину маятника

l1= d1+ d2.

4.По формуле (6) вычислить ускорение силы тяжести g. Получить

выражение для относительной δg и абсолютной g ошибок измерения

ускорения силы тяжести. Взять абсолютную ошибку при измерениях

расстояния d d=1см, при определении периода колебаний T=0.01c.

11

Контрольные вопросы

1.Гармонические колебания. Их основные характеристики. Уравнение гармонического осциллятора и его решение.

2.Преобразование энергии в процессе колебания.

3.Математический маятник, уравнение колебаний и его период колебаний.

4.Физический маятник, уравнение колебаний и период колебаний.

Приведенная длина физического маятника

5. Теорема Штейнера.

5. Методика проведения эксперимента (вывод расчетных формул).

максимальную скорость и максимальное ускорение колебания.

2.Однородный стержень длиной L = 2 м колеблется около оси, проходящей через его конец. Найти период колебаний и приведенную длину этого маятника.

Вариант 2.

1. Материальная точка массой 0.2 кг совершает колебания по закону.

x= 0.08cos 20πt + π4

Написать уравнения для скорости точки, ее ускорения и действующей силы, а также определить амплитудные значения этих величин.

2.Однородный диск диаметром 60 см колеблется около оси, проходящей через середину его радиуса. Найти период колебаний и приведенную длину этого маятника.

12

Вариант 3.

1. Материальная точка массой 0.1 кг совершает колебания по закону

x= 0.03cos 5πt + π2 .

Найти кинетическую, потенциальную и полную энергию осциллятора.

2.Однородный диск радиусом R = 20 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей на расстоянии 15 см от центра диска. Определить период колебаний диска относительно этой оси и приведенную длину этого маятника.

Вариант 4.

1. Колебательное движение материальной точки задается уравнением

x = 7 sin π t .

4

Определить, за какое время материальная точка проходит путь от положения равновесия до максимального смещения.

2.Тонкий обруч радиусом R = 50 см подвешен на вбитый в стену гвоздь и колеблется в плоскости, параллельной стене. Определить период колебаний обруча.

Вариант 5.

1.Материальная точка массой 0.1 кг совершает колебания по закону 6 = 12 cos π$ + π . Найти кинетическую, потенциальную и полную энергию

осциллятора спустя 2 секунды от начала движения.

2.Тонкий однородный стержень длиной 80 см может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через верхний конец стержня.

Стержень отклонили на угол α = 0,01 рад и отпустили. Считая колебания малыми, определить период колебаний стержня и записать функцию α(t).

13

Вариант 6.

1.Скорость материальной точки, совершающей гармонические колебания,

задается уравнением υ = −6sin (2πt ). Записать зависимость смещения этой точки от времени. Построить графики зависимости скорости и смещения от времени.

2.Физический маятник представляет собой тонкий однородный стержень длиной 35 см. Определить, на каком расстоянии от центра масс должна быть точка подвеса, чтобы частота колебаний была максимальной.

Вариант 7.

1. Скорость материальной точки, совершающей гармонические колебания,

задается уравнением 6 = 2 sin 78 $ + 8; Записать зависимость ускорения

9 : .

этой точки от времени. Построить графики зависимости скорости и ускорения от времени.

2.Однородный стержень колеблется около оси, отстоящей на 15 см от его центра масс. Период колебаний этого маятника равен 1.8 с. Найти длину стержня и приведенную длину этого маятника.

Вариант 8.

1. Материальная точка совершает колебания согласно уравнению

x = Asin ωt . В какой-то момент времени смещение точки x1 =15 см . При возрастании фазы колебаний в два раза смещение оказалось равным x2 = 24 см . Определить амплитуду колебаний.

2.Физический маятник представляет собой диск радиусом 60 см.

Определить, на каком расстоянии от центра масс должна быть точка подвеса, чтобы частота колебаний была максимальной.

14

Вариант 9.

1.Материальная точка совершает гармоническое колебание с периодом 2 с,

амплитудой 50 мм и начальной фазой равной нулю. Найти скорость точки в момент времени, когда ее смещение от положения равновесия будет составлять 25 мм.

2.Однородный шар радиусом R = 40 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей на расстоянии 30 от его центра. Определить период колебаний шара относительно этой оси.

Вариант 10.

1.Полная энергия гармонически колеблющейся точки равна 10 мДж, а

максимальная сила, действующая на точку, равна 0,5 Н. Написать уравнение движения этой точки, если период колебаний точки равен 4 с,

а начальная фаза 30°.

2.Маятник состоит из стержня длиной 30 см и массой m = 50 г, на верхнем конце которого укреплен маленький шарик - материальная точка массой m1 = 40 г, на нижнем — шарик радиусом 5 см и массой М = 100 г.

Определить период колебания этого маятника около горизонтальной оси,

проходящей через точку О в центре стержня.

Дополнительные задачи:

1.Математический маятник длиной 1 м колеблется с амплитудой 1 см. За какое время он пройдет путь в 1 см, если начнет движение из положения равновесия? За какое время он пройдет: а) первую половину этого пути;

б) вторую половину этого пути?

2.Математический маятник длиной 30 см отклонили на угол 4˚ и

отпустили. Найти кинетическую энергию маятника и ее амплитудное значение.

3.Материальная точка совершает гармоническое колебание с начальной фазой равной нулю. Известно, что при смещении точки от положения

15

равновесия на 2,4 см ее скорость составляет 3 см/с, а при смещении от положения равновесия на 2,8 см скорость становится равной 2 см/с.

Определить амплитуду и период колебания.

4.Физический маятник состоит из стержня длиной 60 см и массой 0.5 кг и диска радиусом 3 см и массой 0.6 кг. Он совершает колебания около оси,

проходящей через верхний конец стержня. Определить период колебаний маятника.

5.Однородный стержень колеблется около оси, отстоящей на 10 см от его верхнего конца. Период колебаний этого маятника равен 1.8 с. Найти длину стержня и приведенную длину этого маятника.

6.Однородный диск диаметром D колеблется около оси, проходящей через середину его радиуса. Найти период колебаний и приведенную длину этого маятника.

7.Однородный стержень длиной L колеблется около оси, проходящей через его конец. Найти период колебаний и приведенную длину этого маятника.

8.Период маятника, покоящегося относительно земной поверхности, равен

1.5 с. Каков будет его период, если поместить маятник в вагон,

движущийся горизонтально с ускорением 4.9 м/с2? На какой угол

сместится положение равновесия маятника?

9.Маятниковые часы идут на поверхности Земли точно. На сколько они отстанут за сутки, если их поднять на сотый этаж высотного дома?

Высота этажа 3 м.

16

Лабораторная работа № 24 СЛОЖЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

Цель работы: Экспериментальное исследование сложения гармонических колебаний. Определение неизвестной частоты генератора синусоидальных колебаний с помощью другого генератора и осциллографа.

Теоретическое введение

Колебания – это процессы, повторяющиеся с определенной периодичностью. Если <($) – отклонение некоторой величины от положения устойчивого равновесия, тогда для колебательного процесса справедливо

равенство:

<($+=Т) <($),

где n – целое число, T – период колебаний.

В зависимости от физической природы процесса колебания могут быть механическими (например, колебания маятника, колебания диффузора громкоговорителя, колебания сооружений и зданий под действием сейсмических толчков и т. д.), электрическими (например, колебания напряжения или тока в электрической сети или в колебательном контуре) и

другими.

Среди колебательных процессов особое место занимают гармонические колебания, описываемые законом синуса или косинуса:

17

где ? – амплитуда, ω=2π/' – циклическая частота, φ – начальная фаза, T –

период колебаний.

Колебания, возникающие в системе, выведенной из состояния равновесия и предоставленной самой себе, называются собственными. Колебания,

происходящие под действием периодической внешней силы, называются

вынужденными.

Иногда система одновременно может участвовать не в одном, а в нескольких колебательных процессах. В этом случае результирующее движение системы определяется сложением колебаний. Задача о сложении гармонических колебаний одинаковой частоты совершенно аналогична сложению векторов. Представим себе некоторый вектор ?, вращающийся с постоянной угловой скоростью A вокруг точки "0" (см. рис. 1).

Рис. 1. Векторная диаграмма

Если в начальный момент времени $=0 вектор ? составляет угол φ с осью <, то

вмомент времени $ этот угол равен φt+φ. При этом проекция вектора ? на ось <

вмомент времени t изменяется по гармоническому закону и имеет вид:

<($)=?cos(ωt +φ).

Сложение колебаний одинаковой частоты с помощью векторной

диаграммы.

При сложении гармонических колебаний одинаковой частоты <1($)=?1cos(ωt +

φ1), <2($)=?2cos(ωt +φ2) результирующее колебание имеет ту же частоту, а

19

Рассмотрим теперь случай, когда частоты складываемых колебаний не

Положим для простоты, что амплитуды колебаний одинаковы, а начальные фазы равны нулю

предположения (3) эта разность фаз мало изменяется за один период колебаний.

Подставив (4) в формулу (2) (учитывая, что φ1−φ2=Δωt), получим для результирующей амплитуды следующее выражение:

Отсюда видно, что амплитуда результирующего колебания медленно (по сравнению с функцией Dosωt) меняется со временем. Само колебание имеет вид:

<($)=?($)cos(ωt + φ($)),

где ?($) дается формулой (5), а фаза φ(t) = 2ω t медленно меняется со временем.