8062

5. УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ. ПРОДОЛЬНЫЙ ИЗГИБ.

5.1 Понятие об устойчивости первоначальной формы равновесия.

Несущая способность сжатого стержня может оказаться исчерпанной вследствие потери устойчивости, т.е. в результате выпучивания. Выпучивание происходит раньше, чем стер-

жень выйдет из строя непосредственно от сжатия.

Известно, что равновесие абсолютно твёрдого тела бывает устойчивым, безразличным и неустойчивым. Также обстоит дело и в механике деформируемых тел, однако, для тел де-

формируемых вид равновесия зависит от величины прикладываемой нагрузки.

Рассмотрим длинную стойку, на которую действует осевая сжимающая сила. В зависи-

мости от величины сжимающей силы можно выделить три случая поведения стойки.

Рис. 1

1 случай (рис.5.1а). Сжимающая сила F имеет значение меньше некоторой величины, кото-

рую называют критическая сила Fкр. Стойка находится в состоянии устойчивого равновесия,

поскольку, получив малое отклонение от вертикали после «возмущающего толчка», она воз-

вращается в исходное, прямолинейное положение.

2 случай (рис.5.1б). Сжимающая сила равна критическому значению для данной стойки.

Стойка находится в состоянии безразличного (нейтрального) равновесия: при отклонении от вертикального положения стойка приобретает равновесие и в отклонённом положении. Про-

исходит разветвление, раздвоение (бифуркация) форм равновесия.

3 случай (рис.5.1в). Сжимающая сила превышает критическое значение. Прямолинейное со-

стояние стойки становится неустойчивым и, при «возмущающем» толчке, она перейдёт в но-

вое изогнутое состояние равновесия. Однако, такое состояние неприемлемо практически, по-

скольку стойка будет работать не на сжатие, а на сжатие с изгибом. В стойке возникнут большие нормальные напряжения, которые могут превысить предел прочности материала стойки и, следовательно, к её разрушению.

На основе рассмотренного примера можно сделать следующие выводы:

критическое состояние является предельным состоянием сжатого стержня; Оно опре-

деляется из условия устойчивости первоначального равновесного положения сжатого стержня.

изгиб, связанный с потерей устойчивости сжатого стержня, называется продольным изгибом, так как его вызывает продольная нагрузка;

наибольшая сжимающая сила, при которой сохраняется устойчивость прямолинейной формы равновесия стержня, т.е. невозможен продольный изгиб, называется критиче-

ской силой Fкр.

5.2 Упругий продольный изгиб. Формула Эйлера для критической силы.

Рассмотрим сжатие стержня с шарнирно закреплёнными концами критической силой Fкр (рис.5.2). Полагаем, что деформации стержня уп-

ругие, выполняется закон Гука, а нормальные напряжения не превышают предел пропорциональности σпц.

Стержень находится в состоянии нейтрального равновесия. Пусть стержень находится в несколько изогнутом состоянии. Изогнутую ось стержня можно описать дифференциальным уравнением изогнутой оси балки:

v′′(z) = − M(z) / EJ.

Изгибающий момент в произвольном поперечном сечении M = Fкр·v. Тогда дифференциальное уравнение примет следующий вид

Полученное уравнение однородное с постоянными коэффициентами. Как известно из ма-

тематики, его решение имеет вид

v = C1 sin kz + C2 coskz.

Постоянные интегрирования определяем из условий закрепления стержня:

Если C1 = 0, то получаем v = 0, что соответствует первоначальному, не искривлённому по-

ложению стержня. Остаётся положить, что sin kl = 0. Это равенство имеет бесчисленное множество корней, т.е. kl = nπ (n = 1, 2, 3, …..).

Возведя полученное равенство в квадрат: k2l2 = n2π2 и учитывая принятое обозначение для

k2, получим формулу критической силы сжатого стержня

Формула подобного вида впервые выведена в 1744 г. Л. Эйлером и носит его имя.

Для инженерных расчётов необходимо знать наименьшее значение критической силы, по-

этому принимаем n = 1, а J = Jmin. Тогда окончательно получим

Изогнутая ось стержня при продольном изгибе описывается формулой

v(z) = C1 sin πz . l

Очевидно, что изогнутая ось стержня представляет собой половину волны синусоиды. По-

стоянная интегрирования С1 осталась неизвестной, поскольку стержень находится в со-

стоянии нейтрального равновесия.

При других способах закрепления концов стержня значение критической силы может быть получено аналогично – путём решения соответствующего дифференциального уравнения изогнутой оси стержня. В простейших случаях можно ограничиться сравнением формы изо-

гнутой оси с той, которая представляет собой одну полуволну синусоиды (рис.5.2). Такое сравнение позволяет записать формулы критического напряжения для случаев закрепления показанных на рис. 5.3.

Полученные формулы (рис.5.3) можно записать в виде одной формулы, используя по-

нятие приведённой длины: lприв = µ l, где µ – коэффициент приведения, зависящий от способа закрепления концов стержня:

µ= 1 - для шарнирно закреплённого по концам стержня;

µ= 0,7 - для стержня защемлённого на одном конце и шарнирно на другом;

µ = 0,5 - для стержня защемлённого по концам;

µ = 2 - для стержня защемлённого только на одном конце.

Итак, окончательно при любом способе закрепления концов стержня формулу для крити-

ческой силы можно представить в следующем виде:

5.3 Критическое напряжение. Неупругий продольный изгиб.

Значение нормального напряжения, вызванного в поперечном сечении стержня кри-

тической силой, также называется критическим напряжением σкр.

Определяем критическое напряжение:

Вводим безразмерную геометрическую характеристику стержня, которая называется гибко-

стью стержня:

λ= μl .

imin

Из полученной формулы следует, что гибкость стержня характеризуется способом закрепле-

ния концов стержня, его длиной, а также формой и размерами поперечного сечения.

Тогда выражение критического напряжения принимает следующий окончательный вид:

Полученная формула также называется формулой Эйлера для критического напряжения.

Формулы Эйлера для Fкр и σкр выведены для случая упругих деформаций стержня и когда материал следует закону Гука, т.е. когда критическое напряжение σкр не превышает предела пропорциональности σпц.

Приравняв критическое напряжение пределу пропорциональности (σкр = σпц), получим значение предельной гибкости λо, при котором формулы Эйлера справедливы:

λо = π Е/ σкр .

Предельное значение гибкости λо зависит исключительно от механических свойств материала и имеет постоянное значение:

для стали марки Ст3 при σпц = 200 МПа и Е = 2·105 МПа получим - λо ≈ 100.

для древесины сосны и ели при σпц = 20 МПа и Е = 104 МПа получим - λо ≈ 70.

Таким образом, формулы Эйлера применимы при λ ≥ λо, т.е. только для случая упругого про-

дольного изгиба.

При потере устойчивости за пределом упругости (неупругий продольный изгиб) критические напряжения определяют по более сложным формулам, учитывающим развитие пластических деформаций. Для практических расчётов удобно пользоваться эмпирической зависимостью,

одна из которых выражается формулой Тетмайера-Ясинского:

σкр = a − b λ .

Коэффициенты a и b, имеющие размерность напряжения, являются экспериментально уста-

новленными параметрами, зависящими от материалов:

Соответствующая критическая сила будет равна Fкр = σкр А.

Зависимость Тетмайера-Ясинского носит линейный характер. Полученные с её помо-

щью результаты представляют практический интерес до некоторого предела, характеризуе-

мого гибкостью λт, при которой критическое напряжение становится равным значению опас-

ных напряжений сжатия: пределу текучести σт – для пластичных материалов или временно-

му сопротивлению (пределу прочности) σв – для хрупких материалов. Для стали указанной марки, например, λт ≈ 40.

5.4 График зависимости критических напряжений от гибкости стержня.

Выполненный анализ позволяет представить полученные результаты в виде графика. Для

стали Ст3 характер зависимости критического напряжения от гибкости представлен на рис.4.

σпц =

Из графика следует, что сжатые стержни можно разбить на три группы: 1). Стержни большой гибкости - l ³ lо .

Для определения критической силы и напряжения можно пользоваться формулами Эйлера. Потеря устойчивости будет сопровождаться развитием только упругих де-

формаций (упругий продольный изгиб). 2). Стержни средней гибкости - lт £ l < lо .

Критические напряжения определяются по формуле Тетмайера-Ясинского. В стержне развиваются упруго-пластические деформации (неупругий продольный изгиб).

3). Стержни малой гибкости - l < lт .

Короткие стержни рассчитываются не на устойчивость, а на прочность. Для них кри-

тическое напряжение считается постоянным: sкр = sт или sкр = sв.

5.5 Практический метод расчёта сжатых стержней на устойчивость (продольный изгиб).

Итак, несущая способность сжатого стержня может быть исчерпана по двум: причинам

1). вследствие потери прочности, если в стержне из пластичного материала не выполняется условие s £ sт , а в стержне из хрупкого материала – условие s £ sв .

2). вследствие потери устойчивости, если в стержне из любого материала не выполняется ус-

ловие s < sкр .

Если сечение не имеет местных ослаблений, то для сжатых стержней средней и большой гибкости основным становится расчёт не на прочность, а на устойчивость, поскольку для них всегда sкр < sт или sв .

Очевидно, что условие устойчивости должно иметь вид:

s = N < sкр .

Aбр

Здесь Абр – полная площадь поперечного сечения стержня, т.е. без учёта местных ос-

лаблений.

Учитывая приближённый характер расчёта и невозможность учесть все факторы,

влияющие на потерю устойчивости, необходимо ввести в расчёт коэффициент запаса устой-

чивости nуст > 1.

Значение коэффициента запаса устойчивости зависит в основном от назначения рас-

считываемого стержня и его материала. Коэффициент запаса устойчивости принимают более

высоким, чем коэффициент запаса прочности. Так, например, в строительных конструкциях для стальных стержней принимают nуст = 1,7 - 2,1.

Вводим допускаемое напряжение при расчёте на устойчивость:

[ σ ]уст = σкр / nуст.

Теперь условие устойчивости принимает вид:

Значение коэффициента продольного изгиба φ зависит от материала стержня и его

гибкости. Для строительных конструкций значения этих коэффициентов включены в строи-

тельные нормы и правила проектирования (СНиП). Значение коэффициента φ определяют либо по формулам, либо по таблице, часть которой приводится ниже.

Окончательно, условие устойчивости примет следующий вид:

Расчёт на устойчивость с применением коэффициента продольного изгиба φ является универсальным, поскольку он не связан с пределами применимости формулы Эйлера и мо-

жет быть использован при всех значениях гибкости. Коэффициент запаса устойчивости в этом расчёте в явном виде не фигурирует, он включён в величину коэффициента φ.

Таблица. Значения коэффициента продольного изгиба.