8078

11

площади поверхности образующей сферы (сферы, образующей тепловую волну от точки приложения нагрузки), т. е:

= ,

где = 42 – площадь поверхности образующей сферы.

Данное утверждение может быть верно для распространения фронта тепловой волны внутри тела. Если источник тепла приложен к поверхности изотропного теплопроводящего тела, то образующая фронт волны сфера отсекается, уменьшая площадь своей поверхности примерно в два раза. Таким образом, для приложения источника тепла к поверхности тела запишем:

В идеале возникает случай, когда = . Более того, непрерывность представления такого закона приводит к неадекватности поведения функции на

промежутке (√21 > ≥ 0). Значение начинает превышать значение

приложенной тепловой нагрузки ( > ). Решением проблемы может стать приведение непрерывной функции к дискретному виду.

Исходим из того, что источник тепла приложен к абстрактной сферической окрестности единичной площади 1, тогда в точке приложения температуры имеем

= 1 = , где 1 = 1.

Если 1 = 42, тогда = 1 . Подведем дискретную основу для закона

2√

сферического распределения. Вводим дискретный параметр ∆ как расстояние от k-ой точки приложения тепла до рассматриваемой точки тела ( , , ). Формула вычисления площади принимает вид:

Тогда для описания дискретного геометрического закона температурного

12

при условии, что начало системы координат располагается в точке приложения

тепла ( , , ).

Приведенный дискретный закон отчасти соответствуют закону квадратичной гиперболы с той разницей, что при ∆ = 0 значение = . А при= 1, принимают вид, приведенный на рисунке 4. Дополнительно, на рисунке 4 закрашена область сечения подфункционального пространства , объем которого можно соотнести с количеством температуры, приложенной к телу. Таким образом, все дальнейшие расчеты при моделировании можно проводить, используя указанный эквивалентный температурный объем, а не оперировать физическим понятием температуры.

Рисунок 4 – Дискретный закон температурного напряжения Отмеченное соотношение описывается соответствием:

температурного напряжения необходимо вычислить четверной интеграл вида:

При примере области 100 × 100 × 100 и единичном воздействии значение:≈ 301 . Таким образом, модель единичного температурного напряжения можно

доопределить уравнением равновесия объемного распределения температурного напряжения. Практически, это позволяет при мгновенном приложении тепловой нагрузки распределять ее сразу, а не сосредотачивать в единице объема, т. е. при мгновенном приложении нагрузки в точке, величина нагрева точки меньше в раз.

Результаты сравнения геометрии температурного напряжения, полученного МКЭ и функционально-воксельным методом (ФВМ) (см. рисунок 5 и 6) позволяют сделать предположение об адекватности полученной геометрии сформулированного дискретного закона, описывающего локальные характеристики геометрической модели распределения тепловой нагрузки.

13

МКЭ ФВМ Рисунок 5 – Сравнение распределения температурного напряжения МКЭ и

ФВМ при приложении нагрузке в точке

МКЭ ФВМ Рисунок 6 – Сравнение распределения температурного напряжения МКЭ и

ФВМ при приложении распределенной нагрузки

В третьей главе разработана локальная модель теплового расширения при приложении источника тепла к локальной окрестности тела (см. рисунок 7). Интерпретируя закон классической теории теплового расширения для дискретной модели, получим, что ∆V = , где – коэффициент теплового расширения, – температурное напряжение в -ой точке, а – объем сферы,

Полученный температурный объем на большом расстоянии от точки приложения тепла минимально влияет на геометрию объекта, так как радиус образующей сферы увеличивается, а температурное значение, наоборот уменьшается по гиперболическому закону. Иными словами, можно сказать, что на максимально удаленном расстоянии ∆ на текущей итерации изменение объема расширяет тело по всей площади круга радиусом ∆ .

Рисунок 7 – Визуализация теплового расширения на ∆ для текущего ∆

Визуальный анализ с результатами, полученными методом конечных элементов, визуально подтверждает сходство с результатами функциональновоксельного моделирования (см. рисунок 8). Стоит отметить, что для моделирования единичного воздействия для метода конечных элементов задавалась область, достаточная для построения сетки тела. В предложенном подходе данная проблема отсутствует.

МКЭ ФВМ Рисунок 8 – Сравнение результатов моделирования при единичном воздействии

источника тепла к поверхности тела

Разработана функционально-воксельная модель теплового расширения при приложении распределенного источника тепла к поверхности тела (см.

18

Основные результаты и выводы

1.Применение функционально-воксельного моделирования в решении задач учета тепловых характеристик показало свою эффективность, поскольку позволяет построить простую геометрическую модель вычисления локальной геометрии сферического затухания температурного напряжения в изотропном теле по заданной температурной нагрузке. Это позволяет расширить класс задач моделирования тепловых процессов наряду с задачами, решаемыми МКЭ.

2.Получена дискретная геометрическая модель температурного сферического затухания напряжения в изотропном теплопроводящем теле, позволяющая моделировать единичное воздействие источника тепла с получением локальных геометрических характеристик термического напряжения в теле. Такой подход гарантирует устойчивое решение, в отличии от традиционных подходов, основанных на МКЭ, что позволяет прикладывать заранее определенную температурную нагрузку в отдельно взятой точке объекта.

3.Полученная дискретная геометрическая модель расширения в точке тепловой нагрузки в изотропном теле, позволяет моделировать изменение локальных геометрических характеристик в процессе расширения материала от воздействия источника тепла с получением параметров изменения объема тела, заданного функционально-воксельной моделью. Такой подход, в отличии от традиционных подходов, основанных на МКЭ, позволяет моделировать изменение геометрии поверхности тела от теплового расширения без погрешностей, возникающих с применением расчетов МКЭ.

4.Разработан алгоритм функционально-воксельного моделирования теплового напряжения при распределенном тепловом нагружении для изотропного теплопроводящего тела. Данный алгоритм позволяет формировать геометрию тепловой волны и получать информацию о значении в точке температурного поля внутри материла.

5.Разработан алгоритм функционально-воксельного моделирования теплового расширения при распределенном тепловом нагружении для изотропного теплопроводящего тела. Данный алгоритм позволяет формировать контур (поверхность) с учетом расширения материала и получать информацию об изменении длины (объема) изделий.

6.Практическое использование разработанного подхода к созданию контура обхода инструмента при учете влияния тепловых процессов обработки показало рост эффективности обработки, т. е. приближение конечной формы детали к проектной геометрии.

7.Использование локальной геометрической модели изотропии позволяет рассматривать не только задачи тепловых процессов, но и моделировать иные физические характеристики при наличии аналитического описания физического закона.

19

Публикации по теме диссертационной работы

Статьи, опубликованные в изданиях, индексированных Scopus:

1.Plaksin, A. M. Functional-Voxel Method in Problems of Geometric Modeling of Thermal Characteristics of Objects / A. M. Plaksin, A. V. Tolok. – Текст: непосредственный // Proceedings of the 30th International Conference on Computer Graphics and Machine Vision (GraphiCon 2020): CEUR Workshop Proceedings. – 2020. – № 2744. – С. 53-64.

2.Плаксин, А. М. Визуальная диагностика физических величин на основе метода функционально-воксельного моделирования / А. В. Толок, Н. Б. Толок, А. М. Плаксин, С. А. Пушкарев, М. А. Локтев. – Текст: непосредственный // Научная визуализация. – 2020. – Т. 12. – № 3. – С. 51-60.

Статьи, опубликованные в изданиях, рекомендованных ВАК при Минобрнауки

России:

3.Плаксин, А. М. Геометрическое моделирование средств

визуализации напряжения на основе функционально-воксельного метода / С. А. Пушкарев, А. М. Плаксин, А. А. Сычева, П. М. Харланова. – Текст: непосредственный // Геометрия и графика. – 2020. – Т. 8. – № 3. – С. 36–43. – DOI: 10.12737/2308-4898-2020-36-43.

4.Плаксин, А. М. Геометрическое моделирование тепловых характеристик объектов функционально-воксельным методом / А. М. Плаксин, С. А. Пушкарев. – Текст: непосредственный // Геометрия и графика. – 2020. – Т. 8. – № 1. – С. 25-32.

Статьи в сборниках научных трудов и сборниках конференций:

5.Плаксин, А. М. Исследование тепловых процессов в зоне резания

методом функционально-воксельного моделирования / А. М. Плаксин, А. А. Сычева. – Текст: непосредственный // 17-ая Международная конференция «Системы проектирования, технологической подготовки производства и управления этапами жизненного цикла промышленного продукта» (CAD / CAM / PDM – 2017): сборник научных трудов / ИПУ РАН. – Москва,

2017. – С. 84-88.

6.Плаксин, А. М. Метод функционально-воксельного моделирования в

задачах исследования тепловых явлений при механической обработке / А. М. Плаксин, А. А. Сычева. – Текст: непосредственный // 17-ая Международная конференция «Системы проектирования, технологической подготовки производства и управления этапами жизненного цикла промышленного продукта» (CAD / CAM / PDM – 2017): тезисы конференции / ИПУ РАН. – Москва, 2017. – С. 33-33.

7. Плаксин, А. М. Моделирование тепловых характеристик на основе функционально-воксельной модели с предварительным определением контура обхода / А. М. Плаксин, А. А. Сычева. – Текст: непосредственный // 13-ое

20

Всероссийское совещание по проблемам управления (ВСПУ XIII): сборник научных трудов / ИПУ РАН. – Москва, 2019. – С. 3179-3185.

8.Плаксин, А. М. Применение воксельных структур в задачах

интеллектуализации систем автоматизированного проектирования / А. М. Плаксин, С. В. Васенков, А. В. Толок. – Текст: непосредственный // Международная школа молодых ученых и специалистов в области робототехники, производственных технологий и автоматизации. Металлообработка: сборник научных трудов / ФГБОУ ВО МГТУ Станкин. – Москва, 2016. – С. 67-69.

9.Плаксин, А. М. Применение гомотопии на основе многочлена Бернштейна в построении набора промежуточных поверхностей для обработки деталей сложной формы / А. М. Плаксин, А. В. Михайленко, А. В. Толок. – Текст: непосредственный // Информационные технологии в проектировании и производстве. – 2019. – № 2 (174). – С. 48-51.

10.Плаксин, А. М. Применение функционально-воксельной модели к моделированию тепловых характеристик / А. М. Плаксин, А. А. Сычева. – Текст: непосредственный // 18-ая Международная конференция «Системы проектирования, технологической подготовки производства и управления этапами жизненного цикла промышленного продукта» (CAD / CAM / PDM – 2018): сборник научных трудов / ИПУ РАН. – Москва, 2018. – С. 92-96.

11.Плаксин, А. М. Разработка трехмерных моделей для учебно-

тренировочных средств космического комплекса / А. М. Плаксин, С. В. Бронников, С. А. Кузин, М. А. Локтев, Д. В. Павлов [и др.]. – Текст: непосредственный // Космическая техника и технологии. – 2019. – № 3 (26). – С. 69-76.

12.Плаксин, А. М. Функционально-воксельная модель в задачах

интеллектуализации систем автоматизированного проектирования / А. М. Плаксин, А. В. Толок // Вестник МГТУ Станкин. – 2017. – № 2 (41). – С. 75-78.

13. Плаксин, А. М. Функционально-воксельное моделирование тепловых характеристик / А. М. Плаксин, А. А. Сычева. – Текст: непосредственный // 18-ая Международная молодежная конференция «Системы проектирования, технологической подготовки производства и управления этапами жизненного цикла промышленного продукта» (CAD / CAM / PDM – 2018): тезисы конференции / ИПУ РАН. – Москва, 2018. – С. 36-36.