8519

р2 х2 92 95 52 ; р3 х3 19 95 15 .

Таким образом, решение игры mxn сводится к решению задачи линейного программирования. И наоборот для любой задачи линейного программирова-

ния может быть построена эквивалентная ей задача теории матричных игр. Эта связь задач теории матричных игр с задачами линейного программирования оказывается полезной не только для теории игр, но и для линейного програм-

мирования. Дело в том, что существуют приближенные численные методы ре-

шения матричных игр, которые при большой размерности задачи могут ока-

заться проще, чем симплекс-метод.

3. Элементы теории массового обслуживания

Термин «дискретно-событийное моделирование» исторически возник для описания моделей, описывающих системы обслуживания потоков объектов не-

которой природы: клиентов магазина, автомобилей на заправочных станциях,

туристов у стойки регистрации на рейс, междугородних переговоров и т.д.

Именно такие системы получили название систем массового обслуживания

(СМО) – это системы, на вход которых подается случайный поток однотипных заявок (событий), обрабатываемых одним или несколькими однотипными кана-

лами (устройствами). Теория систем массового обслуживания начала разви-

ваться в начале ХХ века. Иохансен в 1907 году сформулировал основные пред-

положения новой теории. В 1909 году Эрланг (шведский математик) с помо-

щью теории вероятностей построил модель для описания зависимости обслу-

живания телефонных вызовов от числа поступающих на телефонную станцию

61

вызовов. В СССР основные положения теории СМО были описаны в моногра-

фии «Теория очередей» А.Я. Хинчина.

Примерами СМО могут служить телефонные системы, ремонтные мас-

терские, билетные кассы, магазины, …

Классификация систем массового обслуживания

Системы массового обслуживания делятся на типы (или классы) по ряду признаков. По числу каналов СМО подразделяют на одноканальные (когда имеется один канал обслуживания) и многоканальные, точнее n-канальные

(когда количество каналов n>=2 ). Здесь и далее будем полагать, что каждый канал одновременно может обслуживать только одну заявку и, если не оговорено специально, каждая находящаяся под обслуживанием заявка обслуживается только одним каналом. Многоканальные СМО могут состоять из однородных каналов, либо из разнородных, отличающихся длительностью обслуживания одной заявки. Практически время обслуживания каналом одной заявки Tоб является непрерывной случайной величиной. Однако при условии абсолютной однородности поступающих заявок и каналов время обслуживания может быть и величиной постоянной (Tоб =const).

По дисциплине обслуживания СМО подразделяют на три класса:

1. СМО с отказами, в которых заявка, поступившая на вход СМО в мо-

мент, когда все каналы заняты, получает «отказ» и покидает СМО («пропада-

ет»). Чтобы эта заявка все же была обслужена, она должна снова поступить на вход СМО и рассматриваться при этом как заявка, поступившая впервые.

Примером СМО с отказами может служить работа АТС: если набранный те-

лефонный номер (заявка, поступившая на вход) занят, то заявка получает от-

каз, и, чтобы дозвониться по этому номеру, следует его набрать еще раз (за-

явка поступает на вход как новая).

2. СМО с ожиданием (неограниченным ожиданием или очередью). В

таких системах заявка, поступившая в момент занятости всех каналов, стано-

62

вится в очередь и ожидает освобождения канала, который примет ее к обслу-

живанию. Каждая заявка, поступившая на вход, в конце концов будет обслу-

жена. Такие СМО часто встречаются в торговле, в сфере бытового и меди-

цинского обслуживания, на предприятиях (например, обслуживание станков бригадой наладчиков).

3. СМО смешанного типа (с ограниченным ожиданием). Это такие сис-

темы, в которых на пребывание заявки в очереди накладываются некоторые ограничения.

Эти ограничения могут накладываться на длину очереди, т.е.

максимально возможное число заявок, которые одновременно могут находиться в очереди. В качестве примера такой системы можно привести мастерскую по ремонту автомобилей, имеющую ограниченную по размерам стоянку для неисправных машин, ожидающих ремонта.

Ограничения ожидания могут касаться времени пребывания заявки в очереди, по истечению которого она выходит из очереди и покидает систему,

либо касаться общего времени пребывания заявки в СМО (т.е. суммарного времени пребывания заявки в очереди и под обслуживанием).

В СМО с ожиданием и в СМО смешанного типа применяются различные схемы обслуживания заявок из очереди. Обслуживание может быть

упорядоченным, когда заявки из очереди обслуживаются в порядке их поступления в систему, и неупорядоченным, при котором заявки из очереди обслуживаются в случайном порядке. Иногда применяется обслуживание с приоритетом, когда некоторые заявки из очереди считаются приоритетными и поэтому обслуживаются в первую очередь.

По ограничению потока заявок СМО делятся на замкнутые и открытые.

Если поток заявок ограничен и заявки, покинувшие систему, могут в нее возвращаться, то СМО является замкнутой, в противном случае – открытой.

Классическим примером замкнутой СМО служит работа бригады наладчиков

63

в цеху. Станки являются источниками заявок на обслуживание, и их количество ограничено, наладчики – каналы обслуживания. После проведения ремонтных работ вышедший из строя станок снова становится источником заявок на обслуживание. В открытой СМО характеристики потока заявок не зависят от того, в каком состоянии сама СМО (сколько каналов занято). В

замкнутой СМО – зависят. Так, в рассмотренном выше примере интенсивность потока «заявок» со стороны станков (т.е. количество заявок в единицу времени) зависит от того, сколько их неисправно и ждет наладки.

По количеству этапов обслуживания СМО делятся на однофазные и многофазные системы. Если каналы СМО однородны, т.е. выполняют одну и ту же операцию обслуживания, то такие СМО называются однофазными. Если каналы обслуживания расположены последовательно, и они неоднородны, так как выполняют различные операции обслуживания (т.е. обслуживание состоит из нескольких последовательных этапов или фаз), то СМО называется

многофазной. Примером работы многофазной СМО является обслуживание автомобилей на станции технического обслуживания (мойка,

диагностирование и т.д.). Далее будем рассматривать только однофазные СМО.

СМО состоит из определенного числа обслуживающих единиц (приборов,

устройств, пунктов, …), которые называются каналами обслуживания (рабочие точки, продавцы, вычислительные машины, …).

Заявки поступают в СМО обычно не регулярно, а случайно, образуя так называемый случайный поток заявок (требований).

Предметом теории массового обслуживания является построение матема-

тических моделей, связывающих заданные условия работы СМО (число кана-

лов, их производительность, …).

64

Процесс работы СМО представляет собой случайный процесс – процесс изменения во времени состояния какой-либо системы в соответствии с вероят-

ностными закономерностями.

Процесс называется процессом с дискретным состоянием, если его воз-

можные состояния S1, S2, …, Sn можно заранее перечислить, а переход из одного состояния в другое происходит мгновенно.

Случайный процесс называется марковским (случайным процессом без по-

следствия), если для любого момента времени t0 вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент времени t0 и не зависят от того, когда и как система перешла в это состояние.

При анализе случайных процессов с дискретным состоянием удобно поль-

зоваться геометрической схемой – графом состояний.

Пример. Построить граф состояний следующего случайного процесса:

устройство S состоит из двух узлов, каждый из которых в случайный момент времени может выйти из строя, после чего мгновенно начинается ремонт узла,

Поток характеризуется интенсивностью – частотой появления событий или средним числом событий, поступающих в СМО в единицу времени.

65

Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через определенные равные промежутки времени (например, поток из-

делий на конвейере).

Поток событий называется стационарным, если его вероятностные харак-

теристики не зависят от времени.

Рассмотрим математическое описание марковского процесса с дискретным состоянием и непрерывным временем на нашем примере. Будем полагать, что все переходы системы из состояния Si в Sj происходит под воздействием про-

стейших потоков событий с интенсивностями ij.

Граф состояний с проставленными у стрелок интенсивностями будет на-

зывать размеченным. Вероятностью i-того состояния называется вероятность pi(t) того, что в момент t система будет находиться в состоянии Si. Очевидно,

что для любого момента времени t сумма вероятностей всех состояний будет

n

равна 1: pi t 1 .

i 1

Существуют правила составления уравнений Колмогорова, которые дают возможность найти все вероятности состояний как функции времени. Особый интерес представляют вероятности системы pi(t) в предельном стационарном режиме, т.е. при t , которые называются предельными (или финальными)

вероятностями состояний.

В теории случайных процессов доказывается, что если число состояний системы конечно и из каждого из них можно (за конечное число шагов) перей-

ти в любое другое состояние, что предельные вероятности существуют.

Предельная вероятность состояния Si. имеет четкий смысл: она показывает среднее относительное время пребывания системы в этом состоянии.

Предельные вероятности системы можно найти из системы уравнений, со-

ставленной по размеченному графу состояний, руководствуясь следующим правилом:

66

Слева в уравнении стоит предельная вероятность данного состояния pi,

умноженная на суммарную интенсивность всех потоков, ведущих из данного состояния, а справа – сумма произведений интенсивностей всех потоков, вхо-

дящих в i–е состояние, на вероятность тех состояний, из которых эти потоки исходят.

Систему можно составить непосредственно по размеченному графу со-

стояний, если руководствоваться правилом, согласно которому слева в уравне-

ниях стоит предельная вероятность данного состояния pi , умноженная на суммарную интенсивность всех потоков, ведущих из данного состояния, а

справа – сумма произведений интенсивностей всех потоков, входящих в i -е

состояние, на вероятности тех состояний, из которых эти потоки исходят.

СМО с отказами. Система Эрланга.

В качестве показателей эффективности СМО с отказами будем рассмат-

ривать:

А – абсолютную пропускную способность СМО, т.е. среднее число зая-

вок, обслуживаемых в единицу времени;

Q – относительную пропускную способность, т.е. среднюю долю при-

шедших заявок, обслуживаемых системой;

Pотк. – вероятность отказа, т.е. того, что заявка покинет СМО необслу-

67

женной;

– среднее число занятых каналов (для многоканальной системы).

Одноканальная система с отказами. Рассмотрим задачу.

Имеется один канал, на который поступает поток заявок с интенсивностью λ.

Поток обслуживаний имеет интенсивность μ1. Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.

Система S (СМО) имеет два состояния: S0 – канал свободен, S1 – канал занят.

Размеченный граф состояний представлен на рис. 16.

Рис. 16

В предельном, стационарном режиме система алгебраических уравнений для вероятностей состояний имеет вид.

(1)

т.е. система вырождается в одно уравнение. Учитывая нормировочное усло-

вие p0+p1=1, найдем из (1) предельные вероятности состояний

(2)

которые выражают среднее относительное время пребывания системы в со-

стоянии S0 (когда канал свободен) и S1 (когда канал занят), т.е. определяют соответственно относительную пропускную способность Q системы и веро-

ятность отказа Pотк:

(3)

(4)

Абсолютную пропускную способность найдем, умножив относительную

68

пропускную способность Q на интенсивность потока отказов

(5)

Задача 15. Известно, что заявки на телефонные переговоры в телевизион-

ном ателье поступают с интенсивностью λ, равной 90 заявок в час, а средняя продолжительность разговора по телефонуоб.=2 мин. Определить показатели эффективности работы СМО (телефонной связи) при наличии одного телефон-

ного номера.

Решение. Имеем λ=90 (1/ч),об.=2 мин. Интенсивность потока обслужива-

нии μ=1/об=1/2=0,5 (1/мин)=30 (1/ч). По (20) относительная пропускная спо-

собность СМО (Q=30/(90+30)=0,25, т.е. в среднем только 25% поступающих заявок осуществят переговоры по телефону. Соответственно вероятность отказа в обслуживании составит Ротк.=0,75 (см. (21)). Абсолютная пропускная способ-

ность СМО по (29) ,A=90∙0,25=22,5, т.е. в среднем в час будут обслужены 22,5

заявки на переговоры. Очевидно, что при наличии только одного телефонного номера СМО будет плохо справляться с потоком заявок.

Многоканальная система с отказами. Рассмотрим классическую задачу Эрланга.

Имеется n каналов, на которые поступает поток заявок с интенсивностью

λ. Поток обслуживаний имеет интенсивность μ. Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.

Система S (СМО) имеет следующие состояния (нумеруем их по числу заявок, находящихся в системе): S0, S1, S2, …, Sk, …, Sn, где Sk — состояние сис-

темы, когда в ней находится k заявок, т.е. занято k каналов.

Граф состояний СМО соответствует процессу гибели и размножения и показан на рис. 17.

69

Рис. 17

Поток заявок последовательно переводит систему из любого левого состоя-

ния в соседнее правое с одной и той же интенсивностью λ. Интенсивность же потока обслуживаний, переводящих систему из любого правого состоя-

ния в соседнее левое состояние, постоянно меняется в зависимости от со-

стояния. Действительно, если СМО находится в состоянии S2 (два канала за-

няты), то она может перейти в состояние. S1 (один канал занят), когда закон-

чит обслуживание либо первый, либо второй канал, т.е. суммарная интен-

сивность их потоков обслуживании будет 2μ. Аналогично суммарный поток обслуживаний, переводящий СМО из состояния S3 (три канала заняты) в S2.

будет иметь интенсивность Зμ, т.е. может освободиться любой из трех кана-

лов и т.д.

В формуле (2) для схемы гибели и размножения получим для предельной вероятности состояния

(6)

где члены разложения будут представлять собой коэффициен-

ты при p0 в выражениях для предельных вероятностей p1, p2, …, pk, …, pn.

Величина (7) называется приведенной интенсивностью потока зая-

вок или интенсивностью нагрузки канала. Она выражает среднее число зая-

вок, приходящее за среднее время обслуживания одной заявки. Теперь

(8)

Формулы (7) и (8) для предельных вероятностей получили названия фор-

70