8557

В основу метода «идеальной точки» положен расчёт расстояния в многомер-

ном пространстве критериев между точкой, соответствующей идеальной альтерна-

тиве, и точкой, соответствующей рассматриваемой альтернативе. Идеальной называется такая альтернатива, которая имеет наилучшие значения всех критериев.

Естественно, в реальности такой альтернативы не существует. Но наиболее приемлемой считается альтернатива, у которой расстояние от «идеальной точки» минимально:

где N – количество критериев оценки альтернатив;

xid j – идеальное значение по j-му критерию для идеального варианта; xij – значение по j-му критерию для i-ой альтернативы.

Данный подход имеет ряд недостатков, наиболее серьезными из которых являются:

расстояние между значениями по шкале одного критерия в общем случае не может отражать величину ценности альтернативы по данному критерию, ко-

торая является скорее функцией расстояния от идеальной альтернативы;

альтернативы с одинаковыми функциями ценности могут находиться на раз-

личном расстоянии от «идеальной точки»;

расстояние от «идеальной точки» может быть одинаковым при самых раз-

личных сочетаниях значений по отдельным критериям;

не учитывается относительная важность критериев.

2.Метод уступок. Сущность метода – нахождение компромисса, опреде-

ляющего «плату» за потерю показателей по какому-либо критерию или части крите-

риев за счет выигрыша по другому критерию или другим критериям.

Метод последовательных уступок решения многокритериальных задач приме-

няется в случае, когда частные критерии могут быть упорядочены в порядке убы-

вающей важности. Предположим, что все критерии максимизируются и пронумеро-

11

ваны в порядке убывания их важности. Вначале определяется максимальное значе-

ние , первого по важности критерия в области допустимых решений, решив зада-

чу

Затем назначается, исходя из практических соображений и принятой точности,

величина допустимого отклонения (экономически оправданной уступки) кри-

терияи отыскивается максимальное значение второго критерияпри условии,

что значение первого должно отклоняться от максимального не более чем на вели-

чину допустимой уступки, т.е. решается задача:

Снова назначается величина уступки по второму критерию, которая вме-

сте с первой используется при нахождении условного экстремума третьего частного критерия и т.д. Наконец, выявляется экстремальное значение последнего по важно-

сти критерияпри условии, что значение каждого из первыхчастных критери-

ев отличается от экстремального не более чем на величину допустимой уступки.

Получаемое на последнем этапе решение считается оптимальным.

Существенным недостатком метода последовательных уступок является то,

что решение, полученное этим методом, может оказаться неоптимальным по Паре-

то.

3.Метод согласования решения по главному критерию.

В некоторых случаях задачу с несколькими показателями качества удается свести к задаче с одним-единственным показателем. Этот показатель стремятся об-

ратить в экстремум, а по остальным вводят ограничения. Тогда проблема согласова-

ния сводится к нахождению компромисса по главному критерию и согласованию ограничений для всех остальных.

Этот метод предполагает сведения задачи многокритериальной оптимизации к однокритериальной оптимизации. Для этого выбираем один из рассматриваемых

12

критериев в качестве главного критерия, а остальные преобразовываются в ограни-

чения.

В качестве главного критерия в различных областях часто выбирают:

1.Себестоимость

2.Объем производства

3.Производительность

4.Ресурсоемкость (металлоемкость, энергоемкость,...)

5.Сроки выполнения работы и др.

Задача оптимизации в этом случае, можно сформулировать следующим обра-

зом. Вначале нужно задать главный критерий . После этого, для ос-

тальных критериев вводится система контрольных показателей. Т.е. для каждого критерия нужно задать, что он не должен превышать или быть меньшим, чем неко-

торое заданное величина. После этого решается задача однокритериальной условной оптимизации, гдестремится к максимуму или минимуму, при условиях, что каждый частный критерий, кроме главного критерия будет больше или равен чем заданное контрольное значения,

При этом все значении Х должны принадлежать рассматриваемому допусти-

мому множеству. Наиболее часто этот способ употребляется в инженерной практи-

ке.

Преимущества метода главного критерия относятся простота интерпретации результатов, отсутствия высоких требований к математической подготовке экспер-

тов, программному обеспечению и вычислительным средствам. После того, как мы сведем задачу многокритериальной оптимизации к задаче однокритериальной опти-

мизации, мы получаем возможность использовать стандартные программные сред-

ства, в частности, такие как поиск решения в Microsoft Excel.

К основным недостатком метода относятся: 1) чрезмерное упрощение структуры задач;

13

2)не всегда можно выделить ярко выраженный главный критерий, иногда это сделать трудно или вообще нельзя;

3)возможность потери эффекта совокупного влияния нескольких второсте-

пенных критериев;

4)ограничения для остальных критериев должны быть обоснованными, а не взяты кое-как;

5)возможность получения неэффективных решений;

6)даже если есть критерий, который гораздо важнее любого другого, то не факт, что в сумме остальные критерии не окажутся весьма значимыми. Особо ярко это может проявляться в задачах, где n велико.

В методе главного критерия, если задача имеет единственное допустимое ре-

шение, то оно является эффективным по Парето. Если же задача имеет более чем одно допустимое решение, то множество этих решений содержит эффективные по Парето решения. Но оно также может содержать и слабо эффективные решения.

В связи с этим процедура поиска решения в общем случае включает два этапа:

1)нахождение множества допустимых решений;

2)выбор некоторого эффективного по Парето решения.

На практике, критерии очень часто имеют различные масштабы и шкал изме-

рения, и тогда возникает необходимость нормировки этих критериев.

4. Метод свертывания критериев

Метод свертывания критериев предполагает преобразование набора имею-

щихся частных критериев в один суперкритерий.

,

т.е. мы получаем новый суперкритерий F, который является функцийот частных критериев. В общем случае, функциюназывают сверткой частных кри-

териев.

Косновным этапом свертывания относятся:

1.Обоснование допустимости свертки

14

При обосновании допустимости свертки, мы в первую очередь должны под-

твердить, что критерии, которые мы сворачиваем, должны быть однородными. Вы-

деляют такие группы показателей эффективности;

-показатели результативности;

-показатели ресурсоемкости;

-показатели оперативности.

Критерии, которые мы сворачиваем, должны относиться к одной и той же группе, нельзя сворачивать критерии, которые относятся, например, один из них к показателям оперативности, а другой к показателям результативности. Т.е. для каж-

дой группы свертывание частных критериев следует выполнять отдельно. При на-

рушении этого принципа теряется смысл критерия.

2.Нормировка критериев

3.Учет приоритетов критериев

Учет приоритетов обычно задается некоторым векторам весовых коэффициен-

тов, которые отображают важность того или иного критерия для решаемой задачи. 4. Построение функции свертки

Для свертывания критериев, используют такие основные типы функций:

-Аддитивные функции свертки;

-Мультипликативные;

-Агрегированные, а также могут быть другие варианты сверток.

Аддитивную свертку критериев можно рассматривать как реализацию прин-

ципа справедливой компенсации абсолютных значений нормированных частных критериев. В этом случае, суперкритерий обычно строятся как взвешенная сумма частных критериев

Весовые коэффициенты выбираются такими, чтобы их сумма была равна едини-

цы. В методе равномерной оптимизации, который является частным случаем аддитивной свертке, весовые коэффициенты берутся равными друг дру-

15

гу. Иногда оказывается более удобным другой подход к определению весовых коэффициентов, их определяет соответствие с такой таблицей:

Таблица относительной важности критериев

Мультипликативная свертка базируется на принципе справедливой ком-

пенсации относительных изменений частных критериев. При этом, суперкритерий

имеет вид: , произведение частных критериев, каждый из которых возведен в степень. При этом сумма весовых коэффициентовдолжна быть равна

единицы, а каждый из весовых коэффициентов должен быть не отрицатель-

ной величиной.

При использовании мультипликативных критериев не требуется нормировка част-

ных критериев, и это является их преимуществом.

Выбор между аддитивными и мультипликативными критериями определяется важностью учета абсолютных или относительных изменений значений частных кри-

териев.

Методы свертывания критериев широко используются в решение задач мно-

гокритериальной оптимизации. Однако они имеют также проблемы и недостатки. В

16

частности, трудно обосновать выбор метода свертывания критериев, а от выбора ме-

тода часто зависит получаемый результат.

Другим недостатком является трудность обоснование выбора весовых коэф-

фициентов, часто для этого привлекается эксперты, проводятся опросы, потом обра-

батываются полученные результаты, однако это требует много времени и затраты других ресурсов. Еще одна проблема связана с тем, что эти методы, как правила да-

ет возможность компенсировать малые значения одних критериев большими значе-

ниями других, что часто бывает неприемлемо для конкретных решений.

5. Метод согласования решения при лексикографическом упорядочении. В

тех случаях, когда может быть определена важность критериев, упорядочение мож-

но проводить сначала по самому важному критерию, а если по нему равными ока-

жутся несколько вариантов, то проводится упорядочение по следующему по важно-

сти критерию и т.д.

6. Метод согласования по функции или отношению предпочтения (полез-

ности). Формируется функция, отражающая предпочтение эксперта или лица, при-

нимающего решение. Вычисляются значения функции предпочтения для альтерна-

тив решения. В дальнейшем альтернативы ранжируются по значениям функции предпочтения.

Методы решения задач многокритериальной оптимизации

1. Метод «обобщенного критерия».

Основные виды сверток.

Определение.

Сверткой критериев f1 ( x ), ..., fk ( x ) называется преобразование векторного кри-

терия F( x ) в скалярный ( x ) : ( x ) ( f1 ( x ), ..., fk ( x ))

( x ) обычно называют свёрткой или обобщенным критерием. Понятно, что свертка критериев приводит к однокритериальной задаче оптимизации: f ( x ) min

Этот подход, пожалуй, на сегодня является наиболее распространенным среди дру-

гих для решения многокритериальных задач. Его популярность основана, по край-

ней мере, на двух факторах:

17

«решаемости» преобразованной задачи;

во многих случаях реальной возможности свертывания критериев в скалярный

без особых потерь в содержании задачи.

Предварительно необходимо все критерии привести к сопоставимому безраз-

мерному виду, то есть произвести их нормализацию.

Заметим, что метод обобщенного критерия, как и все методы этого раздела, в

лучшем случае, позволяет получить одно или несколько эффективных решений.

Наиболее распространенными свертками являются:

при s 1 имеем наиболее употребительную из всех линейную свертку:

Этот список можно было бы продолжить, он постоянно пополняется, но наиболее употребительной является линейная свертка:

Применим свертку: ( x ) * f1 ( x ) ( 1 )* f2 ( x );

Решим задачу однокритериальной оптимизации:

( , x ) * [ 2*( x 3 )2 1] ( 1 )* [( x 5 )2 2 ] min 0 1; 1 < x < 7

Здесь удается применить классический метод, приводящий к простой системе урав-

нений:

18

Применим линейную свертку, фиксировав 0 ( 0, 1) . Получаем однокритериальную задачу:

* [ 2* ( x 3 )2 1] ( 1 )* [( x 5 )2 2 ] min 1 x 7

Решением будет x* 5 , откуда видим, что взяв любое ( 0, 1) , получаем

1

x* [ 3, 5] .

Выше было сказано , что значения i характеризуют важность критериев. В нашем примере, пусть 0,1 , то есть в этом случае признаем, что f1 ( x ) существенно менее важно f2 ( x ) , так как 1 0,9 .

Эффективным решением будет :

x* 0,1 5 4,636 1 0,1 1

Теперь пусть, наоборот, критерий f1 ( x ) признаем существенно более важным, чем f2 ( x ) , это мы выразим, взяв 0,9 .

Эффективным решение

x* 0,9 5 3,105 2 0,9 1

Получили, как и следовало бы ожидать, x1 существенно ближе к точке минимума f2 ( x ) , чем f1 ( x ) , во втором случае наоборот: x2 существенно ближе к точке мини-

мума f1 ( x ) , чем f2 ( x ) .

Существует несколько приемов, позволяющих по остановке задачи определять зна-

чения i или как часто их называют весовых коэффициентов.

Методы определения весовых коэффициентов.

Прием 1.

19