8781

31

на поверхности Земли, то потенциальная энергия тела, находящегося на дне шахты (глубина h'),

П = – mgh.

Найдем потенциальную энергию упругодеформированного тела (пружины). Сила упругости пропорциональна деформации:

Fупр = – kx,

где k — коэффициент упругости (в случае пружины — жесткость), а знак минус указывает, что сила упругости направлена в сторону, противоположную деформации. По третьему закону Ньютона, для преодоления силы упругости надо приложить силу

F = – F упр = kx.

Элементарная работа dA; совершаемая силой F при малой деформации dx, равна

dA = Fdx = kxdx,

а полная работа

x

A = ∫ kxdx = kx 2 / 2 + C = П + C

0

идет на увеличение потенциальной энергии пружины.

Если принять, что потенциальная энергия недеформированного тела (при х = 0) равна нулю, то С = О. Таким образом, потенциальная энергия упругодеформированного тела

П =kx2 /2.

Потенциальная энергия системы, подобно кинетической энергии, является функцией состояния системы. Она зависит только от конфигурации системы и ее положения по отношению к внешним телам.

Полная механическая энергия системы — энергия механического движения и взаимодействия:

Е = Т + П.

32

§ 13. Закон сохранения энергии

Выведем закон сохранения энергии. Для этого рассмотрим замкнутую систему материальных точек.массами m1, m2, … mn, движущихся со скоростями n. Пусть F1', F2’, … , F n’ — равнодействующие внутренних

консервативных сил, действующих на каждую из этих точек, а F1, F2, … , F n — равнодействующие внешних сил. При v « с массы материальных точек постоянны и уравнения второго закона Ньютона для этих точек следующие:

Пусть все точки за какой-то интервал времени dt совершают перемещения dx1, dx2, … , dx n. Умножим каждое из уравнений скалярно на соответствующее перемещение, и, учитывая, что dxi = vidt, получим

Сложив эти уравнения и учитывая, что система замкнута, т. е.

F1 + F2 + … + F n = 0,

получим

dT - бесконечно малое изменение кинетической энергии всей системы, а

n

− ∑ Fi′dxi = dП - бесконечно малая работа всех действующих в системе

i=1

внутренних консервативных сил, взятая с обратным знаком, т. е., согласно

33

(12.2), бесконечно малое изменение потенциальной энергии системы dII. Следовательно, для всей системы в целом

d T+ dII = О,

откуда полная механическая энергия замкнутой системы

Выражение (13.2) представляет собой закон сохранения механической энергии: в замкнутой системе тел, между которыми действуют только консервативные силы, механическая энергия сохраняется, т. е. не изменяется со временем.

Взамкнутой системе тел, силы взаимодействия между которыми консервативны, взаимные превращения механической энергии в другие виды отсутствуют. Такие системы называются замкнутыми консервативными системами . Существует еще один вид систем — диссипативные системы —

такие системы, в которых механическая энергия постепенно уменьшается за счет преобразования в другие (немеханические) формы энергии. Этот процесс получил название диссипации или рассеяния, энергии. Строго говоря, все системы в природе являются. диссипативными. При движении тела в замкнутой консервативной системе происходит непрерывное превращение кинетической его энергии в потенциальную и обратно в эквивалентных количествах, так что полная энергия остается неизменной. Закон сохранения и превращения энергии

-фундаментальный закон природы, он справедлив как для систем микроскопических тел, так и для систем микротел.

Взамкнутой системе, в которой действуют силы трения, полная механическая энергия системы при движении убывает. Следовательно, в этих случаях закон сохранения механической энергии несправедлив. Однако при «исчезновении» механической энергии всегда возникает эквивалентное количество энергии другого вида. Таким образом, энергия никогда не исчезает и не появляется вновь, она лишь превращается из одного вида в другой.

§ 14. Удар абсолютно упругих и неупругих тел

Примером применения законов сохранения количества движения и энергии при решении реальной физической задачи является удар абсолютно упругих и неупругих тел.

Удар (или соударение) — это встреча двух или более тел, при которой взаимодействие длится очень короткое время. Исходя из данного определения, кроме явлений, которые можно отнести к ударам в прямом смысле этого слова (столкновения атомов или биллиардных шаров), сюда можно отнести и такие, как удар человека о землю при прыжке с трамвая и т. д. При ударе в телах возникают столь значительные внутренние силы, что внешними силами, действующими на них, можно пренебречь. Это позволяет рассматривать

34

соударяющиеся тела как замкнутую систему и применять к ней законы сохранения.

Прямая, проходящая через точку соприкосновения тел и нормальная к поверхности их соприкосновения, называется линией удара. Удар называется центральным, если тела до удара движутся вдоль прямой, проходящей через их центры масс. Мы будем рассматривать только центральные абсолютно упругие и абсолютно неупругие удары.

Абсолютно упругий удар — столкновение двух тел, в результате которого в обоиx взаимодействующих телах не остается никаких деформаций и вся кинетическая энергия, которой обладали тела до удара, после удара снова превращается в кинетическую энергию.

Для абсолютно упругого удара выполняются закон сохранения количества движения и закон сохранения кинетической энергии. Обозначим скорости шаров массами m1 и m2 до удара через v1 и v2, после удара — через v'1 и v'2 (рис. 18). Так как удар центральный, то будем рассматривать модули величин. Законы сохранения имеют вид

Для анализа полученных результатов разберем несколько примеров: 1) при v 2 =0

36

Если массы. тел m1 и m2, их скорости до удара v1 и v2, то используя закон сохранения импульса, можно записать

m1 v1 + m2 v 2 = ( m1 + m2 )v

откуда

Если шары движутся навстречу друг другу, то они вместе будут продолжать двигаться в ту сторону, в которую двигался шар, обладающий большим количеством движения. В частном случае, если массы шаров равны (m1 = m2), то

v = (v1 + v2)/2

Выясним, как изменяется кинетическая энергия шаров при центральном абсолютно неупругом ударе. Так как в процессе соударения шаров между ними действуют силы, зависящие не от величины самих деформаций, а от скоростей деформаций, то мы имеем дело с силами, подобными силам трения, поэтому закон сохранения механической энергии не должен соблюдаться. Вследствие деформации происходит потеря кинетической энергии, перешедшей в тепловую или другие формы энергии, Эту потерю можно определить по разности кинетической энергии тел до и после удара:

Используя (14.10), получим

Если ударяемое тело было первоначально неподвижно (v2 = 0), то

Когда m2 » m1, (масса неподвижного тела очень большая), то v << v1, и почти вся кинетическая энергия дела при ударе переходит в другие формы энергии. Абсолютно неупругий удар — пример того, как происходит потеря механической энергии под действием диссипативных сил.

37

Краткие выводы

∙Энергия – универсальная мера различных форм движения материальных объектов и их взаимодействия. Количественной характеристикой процесса обмена энергией между взаимодействующими телами является физическая скалярная величина – работа сил.

Элементарная работа силы

dA = Fd r = F cosα × ds = Fτ ds.

Работа силы на произвольном участке траектории 1-2

A = ∫ F cosα × ds = ∫ Fτ ds.

·Мощность – физическая скалярная величина, характеризующая скорость совершения работы:

P = dA . dt

Мощность, развиваемая силой F в данный момент времени, равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения этой силы:

P = Fdr = Fv.

dt

∙Консервативная сила – сила, работа которой при перемещении из одного положения в другое не зависит от траектории перемещения, а зависит только от начального и конечного положений тела. Силовое поле, в котором консервативные силы совершают работу, называется

потенциальным полем.

∙Кинетическая энергия - механическая энергия всякого свободно движущегося тела, численно равная работе, которую совершают действующие на тело силы при его торможении до полной остановки:

Ek = A = mv 2 . 2

∙Потенциальная энергия – это механическая энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними.

∙Связь между консервативной силой F и потенциальной энергией устанавливается выражением

F = - gradЕп,

где

Отсюда, как частные случаи, определяются: а) потенциальная энергия тела массой m на высоте h

Еп = mgh;

40

cosα = 1 − sin 2 α ; A = mgs(sin α + μ cosα ); P = A . t

Подставляя числовые данные, получим:

А = 11,5·106 Дж, Р = 38,3·103 Вт.

Ответ: А = 11,5 МДж, Р = 38,3·кВт.

Глава 4. Механика твердого тела

§ 15. Момент инерции

При изучении вращения твердого тела пользуются понятием момента инерции. Моментом инерции системы (тела) относительно оси вращения называется физическая величина, равная сумме произведений масс и материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси:

i=1

Вслучае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу

каждого полого цилиндра dJ = r2dm (так как dr <<r, то считаем, что расстояние всех точек цилиндра от оси равно r), где dm — масса всего элементарного цилиндра. 2πrhdr — объем рассматриваемого элементарного цилиндра. Если ρ

— плотность материала, то его масса

dm = ρ · 2πrhdr и dJ = 2πhρr3dr.

Тогда момент инерции сплошного цилиндра