9015
.pdf80
x x1 |
|
y y1 |
|
z z1 |
(3) |
|
x2 x1 |
|
y2 y1 |
|
z |
2 z1 |
|
|
|
|
4. Уравнение прямой как линии пересечения двух непараллельных
плоскостей имеют вид
A1 x B1 y C1z D1 |
0 |
(4) |
|
|
|
A2 x B2 y C2 z D2 |
0 |
|
Каждое из уравнений этой системы определяет плоскость.
П2
П1
l
Рис. 2
Угол между прямыми в пространстве.
Пусть заданы две прямые l1 и l2 своими каноническими уравнениями:
|
|
x x0 |
|
|
y y0 |
|
|
z z0 |
, |
|
|
|
x x0 |
|
y y0 |
|
z z0 |
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
m1 |
|
|
|
|
|
n1 |
|
|
|
|
p1 |
|
|
|
m2 |
|
n2 |
|
p2 |
||||
Если |
|
m1 |
|
n1 |
|
|
p1 |
, что |
|
означает коллинеарность направляющих |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
m2 |
|
|
|
n2 |
|
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
и l |
|
|
|
|
|
|
|
векторов |
p |
и |
p |
2 |
, |
то |
прямые |
2 |
параллельны и угол между ними |
||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
полагают равным нулю. Параллельные прямые, очевидно, принадлежат одной плоскости.
Под углом между пересекающимися прямыми будем понимать угол
|
|
|
|
между их направляющими векторами p1 |
и |
p2 |
, если он острый, и угол |
в противном случае. Следовательно |
|
|
|
81
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m m |
|
n n |
|
p p |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
p |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
cos |
cos |
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
(4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
p1 |
|
|
p2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m1 |
|
n1 |
p1 |
|
|
|
|
m2 |
n2 |
|
p2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
Прямые, не лежащие в одной плоскости, называются скрещивающимися |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
прямыми. Определим понятие угла |
между скрещивающимися |
прямыми. Под |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
углом |
между двумя прямыми l |
и l |
2 |
будем понимать наименьший из углов |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
между пересекающимися прямыми |
L |
и |
|
L |
|
, им параллельными (см. рис. 1). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
p1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
В частности, условие перпендикулярности двух прямых имеет вид |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
l1 || l2 m1 m2 n1 n2 p1 p2 0. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Задания для самостоятельной работы: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
1. |
Написать уравнения |
|
прямой, |
проходящей через точку |
A4;3;0 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
параллельно вектору |
|
u 1;1;1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 y2 z 3 x1 y 2 z 1
2. Построить прямые и .
1 2 1 5 2 1
|
y 3 |
|
y 2 |
|
x 4 |
|
3. Построить прямые: 1) |
|
; 2) |
|
; 3) |
|
. |
|
z 3 |
|
z x 1 |
|
z y |
|
4. Составить канонические уравнения прямых, проходящих через точку M2;0; 3 параллельно:
|
|
x1 y 2 z 1 |
|
|
|
|||
1) вектору |
a 2; 3;5 |
|
|
|
; |
3) оси |
OX |
; |
|
||||||||
; 2) прямой |
|
|
|
|
||||
|
|
5 2 1 |
|
|
|
82
4)оси OY .
5.Составить канонические уравнения прямых, проходящих через две данные точки:
1) |
1; 2;1 и |
3;1; 1 ; |
2) 3; 1;0 и |
1;0; 3 ; |
3) |
2; 1; 3 и |
2; 15 ; |
4) 4;4;4 и |
4;4; 2 |
6.Составить параметрические уравнения прямых, проходящих через две данные точки:
1) |
3; 1;2 и |
2;1;1 ; |
|
2) 1;1; 2 и |
3; 1;0 ; |
||
3) |
2; 1; 3 и |
2; 15 ; |
|
4) 2; 1; 1 и |
2;1;1 . |
||
7. Через точки |
M 6;6;5 |
и |
M 12;6;1 |
проведена прямая. |
|||
|
1 |
2 |
Определить точки пересечения этой прямой с координатными плоскостями.
8. Даны вершины треугольника A3;6; 7, B 5;2;3, C4; 7; 2.
Составить параметрические уравнения его медианы, проведенной из
вершины C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
9. Проверить, будут ли данные прямые параллельны: |
|||||||||||||||
|
x 2 y 1 z |
|
|
x |
y 1 z |
||||||||||
1) |
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
; |
|
||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
3 2 1 |
|
1 |
|
2 3 |
||||||||||
|
x 2t 5 |
|
|
|
|
|
|
x 2 y z 1 |
|||||||
|
|
y t 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2) |
|
|
|
|
|
и |
|
|
2 3 4 . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z t 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3 y 2 z |
|
|
|||||||
10. Найти |
острый угол между прямыми: |
|
|
|
|
|
|
|
и |
|||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
1 |
1 2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x2 y3 z 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
x 3t 2 |
|
|
x 2t 1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
11. Найти тупой угол между прямыми y 0 |
|
и y 0 . |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
||||
|
|
|
|
|
|
z t 3 |
|
|
z t |
83
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 y 1 z |
x |
y |
|
|
z |
||||||||||||||
12. Определить угол между прямыми: |
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1 |
1 1 1 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x 2 y z 1 |
|
x3 y1 z 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
13. Даны прямые |
|
|
|
2 |
|
|
3 4 |
и |
|
|
l |
4 2. При каком |
|
|
|||||||||||||||||||||||
значении l они перпендикулярны? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
14. Найти расстояние |
между параллельными прямыми |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
x2 y1 z 3 |
|
|
|
x1 y1 z 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
2 |
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
§ 3. Прямая и плоскость в пространстве |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Пусть плоскость задана уравнением П : Ax By Cz D 0 , |
а |
прямая |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
уравнением l : |
x x0 |
|
y y0 |
|
z z0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
m |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Углом между прямой и плоскостью называется наименьший положительный
угол |
между проекцией l прямой l на плоскость П и прямой l (см. |
рис.1). |
|
|
|
|
|
|
n |
|
l |
l |
n |
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
l |
|
Рис. 1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
между |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вычислению угла |
|||||||
|
Вычисление угла |
|
|
можно свести к |
|
|
|
|
|
|
p |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|||||
направляющим вектором p m, n, p прямой |
|
|
|
и нормальным к плоскости |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
В случае острого угла 0 |
|
имеем |
|
||||||||||||||
вектором n A, B,C . |
2 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
sin cos |
|
|
n |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
В случае тупого угла |
2 |
, так как |
2 |
|
(см. рис. 1), |
получим |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin sin( 2 ) cos .
84
Таким образом, для вычисления угла между прямой и плоскостью получаем формулу
sin | cos | |
|
|
| mA nB pC | |
|
. |
(1) |
|||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||
A2 |
B2 C 2 |
m2 n2 p2 |
|||||||
|
|
|
|
|
В частности, условие перпендикулярности и условие параллельности прямой и плоскости имеют вид
l П |
A |
|
B |
|
C |
; |
l || П Am Bn Cp 0. |
m |
n |
|
|||||
|
|
|
p |
|
|||
В последнем случае, если дополнительно выполняется равенство |
|||||||
Ax0 By0 Cz0 D 0, |
которое означает, что точка M0 ( x0 , y0 , z0 ) прямой l |
принадлежит плоскости П, то прямая лежит в этой плоскости.
Таким образом, принадлежность прямой, заданной каноническим уравнением, плоскости, определяется выполнением условий
Am Bn Cp 0
Ax0 By0 Cz0 D 0
Задания для самостоятельной работы:
1. Составить уравнения прямой, проходящей через точку M2; 3; 5 перпендикулярно плоскости 6x 3y 5z 20.
2.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M1; 1; 1
x3 y1z 2
перпендикулярно прямой .
2 3 4
x 3t 2 |
|
|
|
|
|
4x 3y 6z 50 |
|
3. Доказать, что прямая y 4t 1 |
параллельна плоскости |
||
. |
|||
|
|
|
|
z 4t 5 |
|
|
|
|
|
|
|
x1 y 4 z 3 |
|
|||||||
4. Показать, |
что прямая |
|
|
|
|
|
|
параллельна плоскости |
|||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
2 |
1 |
|
5 |
|
||||||
2x y z 0 |
|
x1 y1z 3 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1 3 - лежит в этой плоскости. |
|||||||||||
, |
а прямая |
85
x1 y2 z 3
5. При каком значении m прямая параллельна плоскости
3 m 2
x 3y 6z 70?
6. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую
|
x 2 y 3z 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
и точку 3; 4; 0 . |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
1 2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
7. |
Написать уравнение плоскости, |
проходящей через параллельные прямые |
|||||||||||||||||||||||
|
x 3 y z 1 x 1 y 1 z |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2 1 2 |
|
|
|
2 |
|
1 2 |
|
|
|
||||||||||||||||
8. Найти точку пересечения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x 2t 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x 2y z 3 |
||||||||
1) прямой |
y t 2 с плоскостью |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
; |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
z 1 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x y 1 z 1 |
|
|
|
|
x 2y 3z 290 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2) прямой |
|
|
|
|
|
|
|
с плоскостью |
|
; |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
9. |
Прямая проходит через точки |
|
|
A 0;0;4 и |
B 2;2;0 . Найти точку |
||||||||||||||||||||
пересечения этой прямой с плоскостью x y z 0 и угол между ними. |
|||||||||||||||||||||||||
10. |
Найти проекцию точки |
M5;2; 1 |
на плоскость |
2x y 3z 230 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M2; 1;3 на прямую |
|
|||||||
11. |
Найти проекцию точки |
y 5t 7 . |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 2t 2 |
|
12. Найти точку |
P , симметричную точке Q1;3; 4 относительно плоскости |
3x y 2z 0.
86
Литература
1.Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: Ч. 1.- М.:
Айрис-пресс, 2008. – 288с.
2.Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: Ч. 1. - М.: ООО
«Издательский дом «Оникс 21 век», ООО «Издательство «Мир и образование», 2003. – 304с.
3.Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. – М. Изд. ф-мат.
лит-ры: 2004. – 336 с.
4.Лунгу К.Н., Письменный Д.Т., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике. 1 курс.- 3-е изд., испр. и доп.-М.:Айрис – пресс, 2003.- 576с.
5.Шипачёв В.С. Задачник по высшей математике. М.: Высш. Шк., 2003.-
304с.
87
Содержание
Элементы линейной алгебры
§1. Матрицы и определители…………………………………………….. 3
§2. Системы линейных уравнений. Метод Крамера
решения систем линейных уравнений……………………………………. |
6 |
|
Элементы векторной алгебры |
|
|
§ 1. Векторы и линейные операции над ними..………………………….. |
9 |
|
§ 2. Проекция вектора на ось ……………………………………………… |
14 |
|
§ 3. Координаты вектора и их свойства …………………………………… |
18 |
|
§ 4. Деление отрезка в заданном отношении ……………………………. |
24 |
|
§ 5. Скалярное произведение векторов…………………………….……. |
25 |
|
Элементы аналитической геометрии на плоскости |
|
|
§ 1. Прямая на плоскости………………………………………….......... |
29 |
|
§ 2. |
Линии второго порядка на плоскости……………………………. |
47 |
Элементы аналитической геометрии в пространстве………………… |
72 |
|
§ 1. |
Плоскость в пространстве…………………………………………. |
72 |
§ 2. |
Прямая в пространстве……………………………………………. |
80 |
§ 3. |
Прямая и плоскость в пространстве……………………………….. |
85 |
Литература……………………………………………………………...... |
89 |
88
Елена Александровна Бондарь
Татьяна Александровна Пушкова
Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
Учебно-методическое пособие
по подготовке к лекционным и практическим занятиям по дисциплине «Прикладная математика и математические методы и модели в туристической деятельности» для обучающихся по направлению подготовки
43.03.02 Туризм, направленность (профиль) Менеджмент в туризме
________________________________________________________________
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
603950, Н. Новгород, ул. Ильинская, 65. http://www.nngasu.ru, srec@nngasu.ru