9070

Если сумма двух переменных величин остаётся постоянной, то одна из

них уменьшается, а другая увеличивается. Следовательно, при каком-то положении осей один из осевых моментов инерции достигает максимального

значения Jmax, а другой момент инерции - минимального значения Jmin.

Оси, относительно которых моменты инерции имеют максимальное и минимальное значения, называются главными осями инерции, а моменты инерции – главными моментами инерции.

В теории моментов инерции доказывается, что центробежный момент

инерции равен нулю: Jxy 0 относительно главных осей инерции.

Ранее мы установили, что центробежный момент инерции равен нулю,

если одна из осей х или у – ось симметрии. Кроме того, ось симметрии – центральная ось.

Следовательно, оси симметрии фигуры являются главными центральными осями инерции.

Величины главных моментов инерции можно определять по

формуле

Ось, относительно которой момент инерции достигает максимального значения, называется осью максимум или первой главной осью инерции.

Ось, относительно которой момент инерции достигает минимального значения, называется осью минимум или второй главной осью инерции.

Поскольку сумма осевых моментов инерции должна оставаться постоянной, то для проверки вычислений можно использовать равенство

Jx + Jy = Jmax + Jmin .

- 11 -

Углы наклона главных осей инерции относительного исходной оси х можно определять по следующим формулам

Из формул следует, что, если один из углов получится положительным,

то другой будет обязательно отрицательным. Для проверки вычислений можно использовать условие, что сумма абсолютных значений углов должна быть равна девяносто градусов:

max min 90o .

7.Моменты сопротивления сечений

При решении задач изгиба и кручения используется геометрическая характеристика сечения, которая называется моментом сопротивления.

Осевым моментом сопротивления

называют отношение главного центрального момента инерции к расстоянию от главной центральной оси до самой удалённой точки на внешнем контуре сечения (рис. 7):

Моменты сопротивления вычисляются в мм3, см3 и т. д.

Моменты сопротивления величины положительные и не равны нулю.

Моменты сопротивления сложных фигур не равны сумме моментов сопротивлений составных частей фигуры, за исключением некоторых сечений.

Подсчитаем моменты сопротивления прямоугольного сечения ( рис. 2).

- 12 -

Момент сопротивления коробчатого сечения относительно оси х (рис. 3):

Осевой и полярный моменты сопротивления круглого сечения:

Осевой и полярный момент сопротивления кольцевого сечения (рис. 8):

8. Понятие о радиусах инерции

Предположим, что для плоской фигуры площадью А определены положение главных центральных осей инерции и главные центральные моменты инерции Jmax = J1, Jmin =J2. Вводим следующие величины:

Величины imax и imin называются радиусами инерции сечения. Радиусы инерции вычисляются в мм, см и т. д. Радиусы инерции величины положительные и не равны нулю.

- 13 -

9. Примеры

Пример 1. Для заданного поперечного сечения стального стержня, состоящего из

следующих элементов:

1.вертикального листа 400 х 12 мм;

2.прокатного двутавра № 20;

3.прокатного швеллера № 20;

4.неравнополочного уголка 100 х 65 х 10 мм,

необходимо определить:

-положение центра тяжести поперечного сечения (т. С);

-главные центральные оси поперечного сечения;

-главные центральные моменты инерции поперечного сечения;

-главные центральные радиусы инерции сечения.

Ре ш е н и е.

Геометрические характеристики элементов, составляющих заданное сечение:

1). Общая площадь составного сечения

А = ∑ А i = 48,0 + 26,8 + 23,4 + 15,67 = 113,87 см2.

2). Статические моменты заданного сечения относительно осей х1 и у1

Sx1 Ai yi 48 ∙ 0 + 26,8 ∙ 15 + 23,4 ∙ (-10) + 15,67 ∙ (-18,36) = - 119,7 см3,

Sy 1 Ai xi 48 ∙ 0 + 26,8 ∙ 10,6 + 23,4 ∙ 2,67 + 15,67 ∙ (-3,97) = 284,35 см3.

3). Координаты центра тяжести составного сечения

- 14 -

4). Координаты центров тяжести элементов сечения относительно осей х и у

5). Моменты инерции сечения относительно осей х и у

Проверка: Jx + Jy = 21613,04 + 4829,27 = 26442,31 см4,

J1 + J2 = 23056,15 + 3386,17 = 26442,32 см4.

7). Углы наклона главных центральных осей инерции сечения

- 15 -

Пример 2. Для заданного поперечного сечения стержня, состоящего из следующих

фигур:

1.полукруга с диаметром 8 см;

2.равнобедренного треугольника 6х9 см;

3.прямоугольного отверстия 2х3 см;

необходимо определить:

-положение центра тяжести поперечного сечения (т. С);

-главные центральные оси поперечного сечения;

-главные центральные моменты инерции поперечного сечения;

-моменты сопротивления сечения.

Ре ш е н и е.

Вычисление геометрических характеристик фигур, составляющих заданное сечение,

выполнено и представлено в таблице.

1). Определяем общую площадь заданного сечения

А = А1 + А2 – А3 = 25,13 + 27 - 6 = 46,13 см2. 2). Определяем статический момент сечения относительно оси х1.

Sx1 y1 A1 y2 A2 y3 A3 0 4,7 27 3,2 6 107,7см3 .

3). Определяем координаты центра тяжести заданного сечения.

Поскольку заданное сечение имеет ось симметрии (ось у), то центр тяжести располагается на этой оси, поэтому необходимо определить только координату ус

4). Через полученный центр тяжести проводим горизонтальную ось х.

Оси х, у является искомыми главными центральными осями инерции заданного сечения,

т.к. ось у – ось симметрии и Jxy = 0.

5). Вычисляем главные центральные моменты инерции сечения

Из полученного решения следует:

Jmax = J1 = Jx = 428,69 см4, Jmin = J2 = Jy = 139,03 см4 .

6). Вычисляем осевые моменты сопротивления сечения

- 17 -

ПРИЛОЖЕНИЕ

Задание на выполнение расчётно-проектировочной работы №1

« ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЕЧЕНИЙ»

Заданы поперечные сечения стержней.

Сечение первого стержня составлено из прокатных профилей, номера которых определяются по таблице.

Сечение второго стержня составлено из простейших геометрических фигур, у которых размер а =…… см.

Для заданного сечения №……, строка №…… таблицы:

1.Определить положение центра тяжести сечения.

2.Вычислить значения осевых и центробежного моментов инерции относительно центральных осей сечения, параллельных выбранным осям вспомогательной системы координат.

3.Определить значения главных центральных моментов инерции.

4.Определить положение главных центральных осей инерции сечений.

5.Для сечения, составленного из геометрических фигур, вычислить значения осевых моментов сопротивления.

- 19 -