9111

Рис. 18.

Решение: Составим экономико-математическую модель задачи.

Ограничения представляют собой балансовые уравнения для всех узлов.

Для реализации полученной модели в Excel последовательно заполняем блоки

Наличие путей, Расстояние и Изменяемые ячейки (рис. 19).

Рис. 19.

Далее заполним окно Поиск решения (см. рис. 20). Рис. 20

Ответ: кратчайший путь н – 1 – 3 – 2 – 5, длина его равна 8.

1.5 Целочисленное линейное программирование

Нередко приходится рассматривать задачи, в которых неизвестные величины могут принимать только целочисленные значения. Например, задачи, связанные с определением необходимого числа рабочих мест или количества дорогостоящих станков. При решении таких задач с целочисленными переменными методы линейного (выпуклого) программирования неприменимы.

Другая сфера применения целочисленных моделей — выбор вариантов. В соответствующих задачах все или некоторые переменные могут принимать только два значения: 0 или 1. Такие переменные носят название булевых.

Наиболее известные методы решения целочисленных задач — метод отсечения и метод ветвей и границ. Они разработаны в начале 60-х годов XX века и затем неоднократно усовершенствовались и модифицировались. Решения примеров и задач, приводимых в этой главе, получены с помощью метода ветвей и границ и являются точными.

После того как вы выполните задания, предлагаемые в этой главе, вы будете уметь использовать для экономического анализа следующие понятия:

• неделимость;

•целочисленная задача;

•целочисленная и булева переменные;

•взаимоисключение и взаимообусловленность.

Дискретные (целочисленные) задачи математического программирования могут возникать различными путями. Существуют задачи линейного программирования, которые формально к целочисленным не относятся (требование целочисленности переменных в них в явном виде не накладывается), но которые при целочисленных исходных данных всегда обладают целочисленным планом. Этим свойством обладают транспортная задача и различные ее варианты (задача о назначениях).

Первоначальным стимулом к изучению целочисленных и дискретных задач явилось рассмотрение задач линейного программирования, в которых переменные представляли физически неделимые величины (скажем, количество единиц продукции разных видов). Для характеристики этого класса моделей используется термин «задачи с неделимостями».

Другим важным толчком к построению теории дискретного программирования явился новый подход к некоторым экстремальным комбинаторным задачам, для решения которых приходится вводить булевы переменные, носящие логический характер (х = 1 или

х = 0).

К целочисленным (точнее, частично целочисленным) задачам линейного программирования удается свести также ряд задач, в которых явное требование целочисленности отсутствует, зато имеются некоторые особенности, выводящие их за рамки линейного программирования. Эти особенности могут относиться либо к целевой функции, либо к области допустимых решений.

Оптимизация производственной программы.

Автомобилестроительный завод выпускает три модели автомобилей, которые изготавливаются последовательно в трех цехах. Мощность цехов составляет 300, 250 и 200 человеко-дней в декаду. В первом цехе для сборки одного автомобиля первой модели требуется б человеко-дней, второй модели — 4 и третьей модели — 2 человеко-дня в декаду соответственно. Во втором цехе трудоемкость равна 3,4 и 5 человеко-дней соответственно, в третьем — по 3 человеко-дня на каждую модель. Прибыль, получаемая заводом от продажи одного автомобиля каждой модели, составляет соответственно 15, 13 и 10 тыс. долл.

Постройте модель для определения оптимального плана.

Решение. Пусть хi — количество выпускаемых автомобилей i-й модели в течение декады (i = 1,..., n). В принятых обозначениях модель имеет вид

Решение с помощью модуля «Поиск решения», аналогичное ранее рассмотренным задачам.

Задача о ранце

Некая торговая компания имеет свои универсамы в Москве, Санкт-Петербурге, Нижнем Новгороде, Екатеринбурге, Самаре, Воронеже и Казани. В результате ошибок менеджмента экономическое положение компании стало ухудшаться, ей пришлось взять кредит в размере 13 млн руб. и в конечном счете, чтобы вовремя его погасить, срочно продавать некоторые из своих универсамов. Средства, которые компания могла бы получить от продажи универсамов в Москве, Санкт-Петербурге, Нижнем Новгороде, Екатеринбурге, Самаре, Воронеже или Казани, составляют соответственно 5,2; 4,9; 4,5; 3,6; 3,4; 3,2 и 3,1

млн руб. Однако продажа универсамов сопряжена с необходимостью увольнения персонала. Его численность составляет соответственно 200,190,180,170, 150,130 и 110 человек. По требованию объединенного профсоюза работников торговли компания должна минимизировать численность увольняемого персонала.

Постройте модель для нахождения оптимального решения.

Решение. Пронумеруем города в соответствии с порядком их перечисления. Пусть хi = 1, если универсам, расположенный в городе, продается, и хi = 0 в противном случае. Тогда оптимизационная модель имеет вид

Решение с помощью модуля «Поиск решения», аналогичное ранее рассмотренным задачам.

2. Моделирование экономических процессов

2.1.Эластичность спроса и предложения

Вэкономике многие переменные взаимосвязаны: изменение одной влечет за собой

иизменение другой. Например, изменение цены товара ведет к изменению величины спроса на него. В связи с этим возникает задача количественного измерения таких взаимосвязей. В частности, нам недостаточно просто констатировать, что величина спроса на товар, вероятно, возрастет в связи с падением его цены; необходимо с максимальной точностью определить степень увеличения спроса при заданном снижении цены.

Врешении подобных задач нам помогает теория эластичности. Эластичность отражает степень реакции одной переменной (например, спроса) на изменение другой переменной (например, цены). В связи с этим нам, прежде всего, необходимо определиться с вопросом, в каких единицах исчислять изменения цены и спроса. Первое, что здесь приходит в голову — измерять цену в рублях, а спрос — в физических единицах (штуках, килограммах и т.д.). Это позволит посмотреть, на сколько единиц изменяется спрос при изменении цены на X руб.

Предположим, известно, что снижение цены на 5 руб. ведет к росту спроса на 10 штук. Однако подобная информация сама по себе абсолютно бессодержательна, ибо мы не знаем, какими были значения цены и спроса до происшедших изменений. Если перед нами автобусный билет, то снижение цены будет очень значительным, а рост спроса в масштабах города — ничтожным. Если речь идет о «Жигулях», продаваемых в течение дня в одном из магазинов, то все наоборот. В связи с этим целесообразно изменения как цены, так и спроса исчислять не в абсолютных значениях, а в процентах. Процентные изменения делают сопоставимыми величины спроса на все товары — от булавок до атомных подводных лодок.

Прямая эластичность спроса по цене (Е?) показывает, на сколько процентов изменяется спрос на товар (d) при изменении его цены (Р) на 1%.

Формула расчета коэффициента эластичности

Например, цена товара упала на 10%, в результате чего спрос на него вырос на 20%.

Тогда

Предположим, цена товара выросла на 10%, в результате чего спрос на него упал на 20%. Тогда

Вывод: коэффициент прямой эластичности всегда отрицателен, поскольку цена и величина спроса на товар меняются в разных направлениях: когда цена снижается, спрос растет, и наоборот.

Возможны три случая:

1. Если при некотором процентном изменении цены величина спроса на товар изменяется в большей степени, чем цена, то спрос эластичен по цене.

В этом случае Только что приведенные примеры относятся к этому случаю. Так,

2. Если при некотором процентном изменении цены величина спроса на товар изменяется в меньшей степени, чем цена, то спрос неэластичен по цене.

В этом случае

Например, цена товара упала на 10%, в результате чего спрос на него вырос на 5%.

Тогда

3. Если при некотором процентном изменении цены величина спроса на товар изменяется в той же степени, что и цена, то спрос имеет единичную эластичность по цене.

В этом случае |Е%| = 1.

Например, цена товара выросла на 10%, в результате чего спрос на него упал на 10%.

Тогда

Точечная и дуговая эластичность

Как уже говорилось, коэффициент прямой эластичности спроса по цене исчисляется по формуле

Поскольку процентное изменение спроса исчисляется по формуле

где q — начальное значение спроса, Aq — изменение спроса в штуках, а процентное изменение цены — по формуле

где Р — начальное значение цены, АР — изменение цены в рублях, то

Первый сомножитель в последней формуле — есть наклон функции спроса относительно оси Р. Таким образом, чем он круче, соответственно, чем меньше наклон функции спроса относительно оси q, тем выше эластичность.

Из приведенной формулы видно, что эластичность зависит не только от наклона функции спроса, но и от начальных значений цены (Р) и спроса (q). Взяв за основу те или иные значения цены и спроса, получаем эластичность в данной точке (точечную эластичность).

Пусть известны две пары значений цены и спроса в двух точках на кривой спроса:

= 10, q = 50, то эластичность в точке Л равна:

Данный результат означает, что каждый процент снижения цены приведет к росту спроса на 2%.

Если же мы полагаем, что начальные значения цены и спроса составляют Р — 5, q

— 100, то эластичность в точке В:

Данный результат означает, что каждый процент роста цены приведет к снижению спроса на 0,5%.

Таким образом, коэффициент эластичности зависит от того, какая точка будет взята за базу при расчете. Чтобы избежать этого затруднения, за основу иногда берут средние значения цены (Р) и спроса (<q), т.е. рассчитывают коэффициент эластичности при переходе от одной точки к другой — дуговую эластичность.

Формула дуговой эластичности

Соответственно в нашем примере дуговая эластичность спроса по цене при переходе от точки А к точке В составляет

Иными словами, при переходе от одной точки к другой каждый процент изменения цены ведет к обратному изменению спроса тоже на 1%.

Геометрическая интерпретация прямой эластичности спроса по цене

Приведем без доказательства следующее положение. Если функция спроса линейна, то коэффициент эластичности спроса по цене в точке С по модулю равен отношению отрезков ВС и АС:

Рис. 1. Геометрическая интерпретация эластичности спроса по цене Отсюда следует (рис. 2):

1. Эластичность в центральной точке по модулю равна единице (единичная эластичность).

2. Эластичность во всех точках, расположенных выше центральной точки (интервал от точки А до точки С), по модулю больше единицы (спрос эластичен по цене).

3. Эластичность во всех точках, расположенных ниже центральной точки (интервал от точки С до точки В), по модулю меньше единицы (спрос не эластичен по цене).

4. Эластичность в точке А по модулю равна бесконечно большой величине (спрос бесконечно эластичен по цене).

Рис. 2. Эластичность спроса по цене в разных точках.

5. Эластичность в точке В равна нулю (нулевая эластичность спроса по цене).

6. Чем меньше наклон кривой спроса в данной точке относительно оси <7, тем

эластичнее спрос по цене.

Так, в точке С, относящейся к кривой спроса Z), (рис. 3), эластичность спроса по цене выше, чем в той же точке, относящейся к кривой спроса D2, поскольку ВС/АС > В'С/А'С.

Рис. 3. Эластичность спроса по цене и наклон кривой спроса

Соответственно существуют и крайние случаи (рис. 4). Эластичность во всех точках на кривой спроса Z), бесконечно велика по модулю. Эластичность во всех точках на кривой спроса D2 равна нулю.

Рис. 4. Крайние случаи эластичности спроса по цене Факторы прямой эластичности спроса по цене

1.Чем больше у товара заменителей, тем эластичнее спрос на него по цене. Так, если

утовара много заменителей, то даже при незначительном повышении его цены потребители резко сократят покупки товара, переключаясь на заменители, и наоборот. Ценовая эластичность окажется, таким образом, высокой.

Следует при этом учитывать, что товары-заменители могут быть разными. Вопервых, могут заменять друг друга блага, удовлетворяющие различные потребности. Потребитель может, например, поехать отдыхать за границу, а может остаться дома, но зато купить новую шубу. Шуба, таким образом, заменяет отдых.

Во-вторых, близкими заменителями выступают блага, удовлетворяющие одну и туже потребность. В частности, «Кока-Кола» может быть заменена «Пепси-Колой» и наоборот.

Существуют, наконец, и совершенные заменители. В качестве таковых выступают одни и те же товары, которые могут быть куплены у разных продавцов. Так, «Кока-Кола», продаваемая в нашем магазине, очень легко заменяется «Кока-Колой» из магазина напротив.

А из всего этого — важный вывод. Товар как таковой может иметь немного

изменения цены и предложения.

Если задана функция предложения от цены, то для точного нахождения коэффициента эластичности в данной точке используется формула

Поскольку кривая предложения обычно имеет положительный наклон (величина предложения растет по мере роста цены и снижается вместе с ее падением), эластичность предложения по цене положительна:

Чем меньше наклон кривой предложения в данной точке, тем эластичнее предложение по цене (рис. 5.).

Рис. 5. Наклон кривой предложения и эластичность предложения по цене

В точке N, относящейся к кривой предложения А, эластичность предложения по цене выше, чем в той же точке, относящейся к кривой предложения S2, поскольку наклон кривой S{ относительно оси Oq меньше.

Подобно эластичности спроса, эластичность предложения по цене бывает не только прямой, но и перекрестной. Последняя показывает, на сколько процентов изменяется предложение одного товара при изменении цены другого товара на 1%. Например, на сколько процентов вырастет предложение природного газа (добываемого попутно с нефтью) при возрастании цены нефти на 1%.

В отношении прямой эластичности предложения по цене возможны три случая:

1. Если при некотором процентном изменении цены величина предложения товара изменяется в большей степени, чем цена, то предложение эластично по цене. В этом случае Ер > 1.

2. Если при некотором процентном изменении цены величина предложения товара

изменяется в меньшей степени, чем цена, то предложение неэластично по цене. В

этом случае О < Еp < 1.

3. Если при некотором процентном изменении цены величина предложения товара изменяется в той же степени, что и цена, то предложение характеризуется единичной эластичностью по цене. В этом случае Ер = 1.

Пусть функция предложения линейна q — а + Ьр. Рассчитаем эластичность

предложения по цене:

Выводы:

1. Если параметр < а равен нулю, то эластичность во всех точках функции равна

1 независимо от наклона кривой предложения.

2. Если параметр < а больше нуля, то эластичность во всех точках функции меньше