9177

ного обстоятельства и из допущения о том, что касательные напряжения по площади bdz

распределены равномерно, используя условие Σz = 0 получим:

где - равнодействующая нормальных сил в левом поперечном сечении элемента dz в пределах заштрихованной площади :

(7.12)

С учетом (5) последнее выражение можно представить в виде

(7.13)

где - статический момент части поперечного сечения, расположен-

ной выше или ниже координаты y1 (на рис. 7.4,б эта область заштрихована). Следова-

тельно, (7.13) можно переписать в виде

откуда

(7.14)

В результате совместного рассмотрения (7.11) и (7.14) получим

S Xотс – статический момент отсеченной части площади поперечного сечения (части площади выше или ниже точки, в которой определяются касательные напряжения τ ) от-

носительно центральной (нейтральной) оси X, взятый по абсолютной величине; b(y) – ши-

рина сечения на уровне точки, для которой определяется касательное напряжение (на рас-

стоянии у от нейтральной оси); Ix – осевой момент сечения относительно оси Х.

Полученная формула (7.15) носит имя русского ученого Д.И. Журавского.

Условие прочности по касательным напряжениям:

Максимальное касательное напряжение maxτ находится в опасном сечении

булки, где возникает максимальная поперечная сила Qy (смотрим эпюру Qy), и в опасной

где maxQY – поперечная сила в опасном сечении, в точках которого определяются каса-

тельные напряжения; [τ] – допускаемое касательное напряжение.

Определение b(y) и S Xотс для произвольной точки произвольного сечения, а так же характер распределения нормальных и касательных напряжений покажем на примере се-

чения в виде трапеции (рис. 7.4а).

Рис.7.4а

Наибольшие по модулю касательные напряжения t max будут в тех точках, где отношение

S Xотс достигает максимума. В частности, для прямоугольного сечения при b(y) = const = b b( y)

наибольшие по модулю касательные напряжения возникают в точках нейтральной оси,

так как статический момент полусечения относительно центральной оси всегда больше,

чем для других частей сечения.

7.4. Расчеты на прочность при поперечном изгибе

При прямом поперечном изгибе в поперечном сечении бруса действуют нормальные (σ)

и касательные (τ) напряжения.

Нормальные напряжения вызваны изгибающим моментом и определяются по формуле:

Где Мx – величина изгибающего момента в сечении; у – ордината точки, где определяется

σz (рис.7.9); Ix – главный центральный момент инерции сечения бруса.

По формуле (7.17) можно определять нормальные напряжения в любой точке, ле-

жащей на горизонтальной линии поперечного сечения бруса и отстоящей от нейтральной оси X на расстоянии у. Напряжение σz из формулы (7.17) может быть положительным и отрицательным. Принимаем для растянутых волокон «плюс», для сжатых волокон «ми-

нус» (рис. 7.5 б).

Рис. 7.5

Из соотношения (7.17) видно, что нормальное напряжение зависит от величины у линейно. График, изображающий закон изменения нормальных напряжений по высоте сечения, называемый эпюрой напряжений, показан на рис. 7.5б. Наибольшее нормальное

напряжение будет в точке, для которой величина у в формуле (7.17) принимает максимальное значение, т.е. в наиболее удаленной от нейтральной оси точке сечения.

При прямом изгибе нейтральная ось совпадает с главной центральной осью

поперечного сечения, перпендикулярной плоскости действия сил.

Анализ формулы (7.17) для определения нормальных напряжений при прямом из-

гибе и их эпюра (рис. 7.5б) позволяют записать условия прочности при прямом изгибе по нормальным напряжениям. Для пластичных материалов (при [σ]p = [σ]c = [σ]) это условие имеет вид:

Здесь WZ называется осевым моментом сопротивления сечения; y max – расстоя-

ние от нейтральной (центральной) оси до наиболее удаленной точки сечения, взятое по модулю; [σ] – допускаемое нормальное напряжение.

Для хрупких материалов, когда допускаемые напряжения материала на растяже-

ние [σ]p и на сжатие [σ]c не равны между собой, т.е. [σ]p ≠ [σ]c , условия прочности для растянутой и сжатой зон записываются отдельно:

по модулю расстояния от нейтральной оси сечения соответственно до наиболее растяну-

того и сжатого волокна. В таких случаях в первую очередь с помощью эпюры изгибаю-

щих моментов нужно выяснить, какая часть сечения работает на растяжение, какая – на сжатие.

В приведенных условиях прочности при прямом изгибе max M X означает наи-

большее по модулю значение изгибающего момента и берется из эпюры МХ.

Как и для других видов деформации, условия прочности при прямом изгибе (7.18), (7.20)

и (7.21) позволяют решать три типа задач:

1. Проверочная задача – проверка прочности по нормальным (7.18) и касательным (7.16)

напряжениям при всех известных данных.

2. Проектная задача – подбор сечения балки. Для решения задач этого типа из условия прочности по нормальным напряжениям (7.18) определяют требуемое значение осевого момента сопротивления, принимая условие прочности со знаком равенства, т.е.

махσ Z = [σ ] .

Например, для балки из пластичного материала из формулы (7.18) получаем

тр = max M X

WX [σ ]

Выражая фактическую величину WX через формулу (7.19) из равенства WX = WX TP , нахо-

дим неизвестный размер сечения или номер профиля для прокатного элемента из таблицы сортаментов. Производится проверка прочности по касательным напряжениям (7.16).

3. Определение допускаемого значения изгибающего момента, т.е. определение несущей способности балки с заданными размерами и характеристиками, используя (7.18):

[M ] = WX

Производится проверка по касательным напряжениям (7.16).

Наибольшие по модулю значения изгибающего момента maxМx и поперечной силы maxQy, берут в опасных сечениях из соответствующих эпюр. Поэтому в общем случае в балке при прямом поперечном изгибе находятся два опасных сечения: по нормальным напряжениям и по касательным напряжениям, используются два условия прочности (7.16, 7.18).

7.5. Примеры решения задач

Задача 7.1.

Определить нормальное напряжение при изгибе балки (в МПа) в точке А поперечного сечения, удаленной от нейтральной линии сечения на 15 см (рис. 4), если изгибающий момент M = 10 кНм = 1000 кНсм.

Рис. 7.6

Решение.

1.Определяем момент инерции сечения относительно оси z:

2.Подставляем значения изгибающего момента, осевого момента инерции и координаты точки А в формулу для нормальных напряжений (5) и находим напряжения:

σА = 12 = 0,17 кН/см2 = 1,7 МПа

Таким образом, в точке А поперечного сечения балки действует нормальное на-

пряжение σA=1,7 МПа.

Задача 7.2

Определить касательные напряжения в указанных точках двутаврового сечения и построить эпюру касательных напряжений при величине поперечной силы Q=50 кН

(рис.7.7).

Рис. 7.7

Решение.

Характерной особенностью этого сечения является резкое изменение ширины се-

чения при переходе от стенки двутавра к его полке. В основном поперечную силу воспри-

нимает стенка, а на долю полок приходится небольшая ее величина.

Покажем, как определяется статический момент площади для любой произвольной точки сечения двутавра. Для этого рассмотрим произвольную точку К (рис. 7.8). Прове-

дем через эту точку линию, параллельную оси Oz. Статический момент площади верхней отсеченной части (заштрихованой на рис. 7.8) может быть найден как сумма статических моментов двух площадей A1 и A2

Рис.7.8

Наибольшей величины статический момент площади отсеченной части относи-

тельно нейтральной линии сечения Oz достигает для половины сечения. Следовательно,

максимальные касательные напряжения возникают в волокнах нейтрального слоя.

Вернемся теперь к рис.7.7. Точка №1 сечения принадлежит наиболее отдаленному волокну. Точки №2 и №3 лежат в месте перехода от полки к стенке: точка №2 принадле-

жит полке, точка №3 – стенке сечения. Точка №4 лежит в центре тяжести сечения и при-

надлежит нейтральной линии сечения. Сечение симметрично расположено по отношению к оси Oх. Поэтому напряжение в точке №5 будет таким же, как в точке №3, напряжение в точке №6 – таким же, что и в точке №2, напряжение в точке №7 – таким же, что и в точке №1.

Вначале найдем момент инерции сечения относительно оси Oх:

Касательное напряжение в точке №1 поперечного сечения равно нулю, так как от-

сеченная часть сечения в данном случае представляет собой пространство над сечением, и

ввиду отсутствия отсеченной площади, статический момент этой площади равен нулю. С

другой стороны, если в качестве отсеченной площади рассматривать все сечение, то ста-

тический момент всей площади относительно нейтральной линии сечении Х, как цен-

тральной оси, равен нулю.

Для определения касательного напряжения в точке №2 проводим через точку №2

линию, параллельную оси Oz. Отсеченная площадь лежит выше этой линии и составляет

=2·10=20см2. Вычисляем расстояние от центра тяжести отсеченной площади до оси Oz.

Оно равно 11см. Находим касательные напряжения в точке №2:

При определении касательного напряжения в точке №3 следует помнить, что ста-

тический момент площади отсеченной части в этом случае остается прежним, так как точ-

ки №2 и №3 находятся на одинаковом расстоянии от оси Oх. Только точка №2 принадле-

жит полке, а точка №3 принадлежит стенке двутавра. В связи с этим касательное напря-

жение в точке №3 будет равно:

Для определения напряжения в точке №4, проведем через эту точку линию, совпа-

дающую с осью Oz. Отсеченная площадь представляет собой тавр. Статический момент

площади тавра вычислим, используя выражение (а), приведенное выше. В нем A1 пред-

ставляет собой площадь полки, A2 − площадь половины стенки; y1 − расстояние от центра тяжести полки до оси Oz; y2 − расстояние от центра тяжести половины площади стенки до оси Oz. Касательные напряжения в точке №4 будут равны:

Как уже отмечалось выше, в силу симметрии τ5=τ3=16,21 МПа, τ6=τ2=1,95 МПа;

τ7=τ1=0.

Откладываем найденные значения касательных напряжений от базисной линии и строим эпюру касательных напряжений (рис. 7.7).

Задача 7.3

В качестве примера применения формулы Журавского построим эпюру касатель-

ных напряжений для случая прямоугольного поперечного сечения балки (рис. 3). Учиты-

вая, что для этого сечения

получаем

где F=bh - площадь прямоугольника.

Как видно из формулы, касательные напряжения по высоте сечения меняются по закону квадратической параболы, достигая максимума на нейтральной оси

Рис. 7.9

В круглом сечении (рис. 7.9) эпюра касательных напряжений ограничена кривой,

имеющей максимум на нейтральной оси. Учитывая, что статический момент полукруга и момент инерции круга

получаем

Следовательно, максимальные касательные напряжения в круглом сечении на 33%

больше средних напряжений , по которым, например, обычно проводится расчет заклепок.

Для треугольного сечения с основанием b и высотой h (рис. 7.9), имеем

Максимальное напряжение имеет место на расстоянии y=h/6 от нейтральной ли-

нии, то есть в точках средней линии треугольника.

При изгибе тонкостенных профилей касательные напряжения определяются по следующей формуле 7.15.

Необходимо отметить также, что формулой Журавского можно пользоваться толь-

ко в случае прямого изгиба.

7.6. Контрольные вопросы по теме

1.Какой вид деформации называется прямым изгибом? Какая разница между чистым и поперечным изгибом?

2.Какие внутренние силовые факторы возникают в поперечных сечениях бруса при прямом поперечном изгибе? Как они определяются?

3.В чем заключается суть метода сечений при определении внутренних усилий?

4.Дайте определение понятия "грузовой участок". Какие внешние признаки определяют границы грузовых участков?

5.Каков порядок построения эпюр Q и М в балках?

6.Какие дифференциальные зависимости существуют между функциями М, Q и q?

7.Какие особенности имеют эпюры М и Q на границах и по длине грузовых участков в зависимости от приложенных внешних сил?

8.По какой формуле определяются нормальные напряжения при прямом изгибе в произвольной точке поперечного сечения? Покажите их эпюры на рисунке.

9.Как определяются касательные напряжения при прямом поперечном изгибе в произвольной точке поперечного сечения? Изобразите их эпюры для некоторых типов сечений.

10.Напишите условия прочности при прямом изгибе по нормальным напряжениям для балок из пластичного и хрупкого материалов.

11.Какие три типа задач можно решать, используя условия прочности при изгибе?

12.Каков порядок подбора сечения балки из условия прочности по нормальным напряжениям?

13.Запишите условие прочности балки по касательным напряжениям.