9372

11

эффициент передачи такого объекта можно определить как тангенс угла на-

клона касательной на участке еѐ рабочего диапазона: K dydx (рис. 1.8б).

Рис. 1.8. Статические характеристики объектов:

а – линейная статическая характеристика; б – нелинейная статическая характеристика

Динамическая характеристика показывает, как выходная величина изменяется с течением времени в результате регулирующего воздействия. Изменение выходной величины зависит от свойств объекта и от характера возмущения. Параметры объекта принято определять по динамической характеристике, представляющей изменение регулируемой величины во времени при скачкообразном изменении положения регулирующего органа. Такая харак-

теристика называется переходной характеристикой объекта или характери-

стикой разгона. Из переходной характеристики можно определить постоянную времени Т и постоянную разгона tp (рис. 1.9).

tp

y T

yycm

T

t

Рис. 1.9. Переходная характеристика объекта

12

Постоянная времени Т характеризует инерционность объекта; чем она больше, тем большей инерцией обладает объект. Время разгона tp – время, в течение которого выходная величина достигает установившего или близкого к нему значения.

Обычно принимают y 0,95y ycm . Регулируемые объекты подразделя-

ются на статические и астатические. Статическим объектом, или объектом с самовыравниванием, называют объект, способный после возмущения приходить в новое устойчивое состояние без помощи регулятора. Такие объекты называют также статически устойчивыми.

На рис. 1.10а показан статически устойчивый объект – резервуар с жидкостью. Регулируемой величиной x является высота уровня жидкости, а регулируемой величиной y – количество жидкости, поступающей в ѐмкость. Жидкость вытекает из ѐмкости по трубопроводу самотѐком. На рис. 1.10б x1 и y1 соответствуют установившемуся процессу. При скачкообразном увеличении поступления жидкости уровень в ѐмкости будет возрастать. Выход жидкости из ѐмкости вследствие увеличения уровня также начнѐт увеличиваться до тех пор, пока не наступит равновесие между притоком и выходом жидкости при новом установившемся уровне. Параметры x2 и y2 соответствуют новому установившемуся значению.

y2

y1

в) x

x2

x1

а– схема объекта; б – вид ступенчатого воздействия; в – переходная характеристика

Суменьшением поступления жидкости установится соответственно более низкий уровень. Чем больше величина самовыравнивания, тем меньше отклонение регулируемой величины от состояния равновесия, имевшего ме-

13

сто до приложения возмущающего воздействия. Самовыравнивание способствует стабилизации регулируемой величины в объекте.

Астатическими называются объекты, не обладающие самовыравниванием. При отсутствии возмущающего воздействия астатический объект может находиться в состоянии равновесия при любых значениях регулируемой величины. При нарушении равновесия процесса скорость изменения регулируемой величины (скорость разгона) пропорциональна величине возмущающего воздействия.

Рассмотренный выше объект будет астатическим, если жидкость вытекает из бункера не самотѐком, а откачивается насосом Н (рис. 1.11). Статическая характеристика у такого объекта практически отсутствует, а единственным показателем, характеризующим его свойства, будет скорость разгона.

Знание статических и динамических характеристик объекта необходимо при расчѐте САР, при выборе регулятора и определении параметров его настройки.

x1

t

Рис. 1.11. Пример астатического объекта:

а – схема объекта; б – вид ступенчатого воздействия; в – переходная характеристика

1.6. Основные требования к системам автоматического регулирования

Наряду с общеинженерными требованиями к САР, такими, как надѐжность, простота конструкции, экономичность изготовления, к этим системам предъявляются специфические требования, основанные на особенностях систем автоматического регулирования, – наличие устойчивости и обеспечение заданных качественных показателей.

14

1.6.1. Устойчивость систем автоматического регулирования

Основное требование к САР состоит в том, что система должна быть устойчивой. Система автоматического регулирования называется устойчивой, если регулируемая величина, получившая отклонение от заданного значения под действием внешних возмущений, с течением времени в установившемся режиме становится равной заданному значению или близкому к нему с некоторой ошибкой.

Объект регулирования находится под воздействием внешних возмущений; результат этих возмущений – отклонение регулируемой величины от заданного значения. Регулятор воспринимает это отклонение и воздействует на объект так, чтобы устранить появившееся отклонение регулируемой величины. В правильно созданной САР после появления отклонения регулируемая величина с течением времени принимает заданное значение или близкое к нему (рис. 1.12).

X

1

2

x1

Рис. 1.12. Характер изменения регулируемой величины во времени в устойчивой САР: 1 – апериодический сходящийся переходный процесс; 2 – колебательный процесс

Характер изменения регулируемой величины во времени (апериодический или колебательный) зависит от свойств объекта и регулятора. Кривая 1 рис. 1.12 может характеризовать, например, изменение уровня воды в барабане котла: до момента времени t1 уровень был равен заданному x2 , в мо-

мент t1 произошло скачкообразное потребление горячей воды, уровень упал до значения x1 , появилось отклонение уровня, регулятор стремится возвра-

тить уровень воды к заданному значению или по экспоненте 1, или по кривой

2.

Рассмотренный процесс в САР с момента времени t1 до наступления установившегося значения t2 называют переходным, в устойчивых САР он всегда сходящийся.

15

В неустойчивых САР регулируемая величина с течением времени удаляется от своего заданного значения и переходный процесс носит расходящийся характер (рис. 1.13а).

a)

б)

Рис. 1.13. Переходный процесс в неустойчивой САР:

1 – апериодический расходящийся; 2 – колебательный расходящийся; 3 – колебательный незатухающий

Переходный процесс в САР может иметь характер незатухающих колебаний с постоянной амплитудой (рис. 1.13б). Такие САР относят также к неустойчивым, и они не пригодны к эксплуатации.

1.6.2. Качество переходного процесса систем автоматического регулирования

Наличие устойчивости является необходимым, но не достаточным требованием к САР. Кроме устойчивости, САР должна обладать определѐнными качественными показателями (характеристиками). К таким показателям качества САР относятся:

Рис. 1.14. Показатели качества переходного процесса регулирования:

а – апериодический переходный процесс, б – колебательный переходный процесс

16

длительность переходного процесса в САР (на рис. 1.14 отрезок времени t0 t1 ); в конкретных САР это время должно быть задано в зависимости

от предъявляемых требований к технологическому процессу;перерегулирование как разность между величиной первого откло-

нения и установившимся значением; выражается в процентах от установившегося значения:

ymax yуст 100% ,

ууст

эта величина для большинства объектов не должна превышать 20%;статическая ошибка САР – максимальное абсолютное остаточное от-

клонение , отнесѐнное к заданному значению регулируемой величины, выраженное в процентах:

100% , yз

статическая ошибка для реальных систем не должна превышать 3 – 5 %;степень колебательности переходного процесса (определяется числом колебаний на отрезке времени t0 t1 ) не должна превышать 1 – 5 колеба-

ний.

1.7. Характеристики звеньев систем автоматического регулирования

В системах автоматического управления любая часть каждой из них может быть рассмотрена как звено системы, преобразующее сигнал входа в сигнал выхода. Звено системы управления – это математическая модель реального элемента или устройства. Если в качестве такого звена рассматривается объект регулирования, то входными сигналами будут внешние возмущения и управляющие воздействия, а выходными – регулируемые величины. Если звенья системы автоматического регулирования считать однонаправленными, то передача и преобразование сигналов производится только в одном направлении.

При выборе элементов системы автоматического регулирования и еѐ анализе необходимо знание статических и динамических характеристик отдельных звеньев.

Статическая характеристика звена системы автоматического регулирования, как было показано выше, – это зависимость выходной величины от входной в установившемся режиме. Установившийся режим характеризует состояние выходной величины по истечении переходного процесса в звене или системе. Знание статической характеристики позволяет оценить чувствительность элемента системы регулирования и предел изменения выходного параметра в зависимости от входного и выбрать соответствующие технические средства, реализующие тот или иной элемент системы регулирования.

17

Динамическая характеристика звена системы регулирования определяется его дифференциальным уравнением, которое описывает поведение звена в переходном режиме (с момента поступления входного сигнала до установившегося значения выходной величины). Дифференциальное уравнение звена выражает зависимость выходной величины y от входной x в функции времени.

Допуская упрощения в дифференциальном уравнении, можно с достаточной степенью приближения описать поведение в переходном режиме различных по своей физической природе элементов одинаковыми дифференциальными уравнениями. Таким образом, реальный физический элемент системы регулирования можно заменить его математической моделью, причѐм уравнения этого элемента и модели совпадают. В реальных системах получается сравнительно ограниченное число уравнений, описывающих типичные элементы систем регулирования (первичные преобразователи, усилители, исполнительные механизмы).

В теории линейных систем автоматического регулирования принято рассматривать типовые динамические звенья. Типовым динамическим звеном называют устройство, переходный процесс которого описывается линейным дифференциальным уравнением не выше второго порядка.

На практике при работе автоматических систем входная величина звена есть случайная функция времени. Так как любой сложный сигнал может быть представлен в виде суммы более простых сигналов, в теории автоматического регулирования используются следующие наиболее простые типовые входные сигналы: единичный скачок (ступенчатая функция), гармонический сигнал (гармоническая синусоидальная функция), импульсная функция. Чаще всего при изучении свойств системы автоматического регулирования рассматривают процесс, вызванный ступенчатым входным сигналом, например процесс регулирования при быстрой перенастройке задающего устройства или пуске системы. Реакцию звена на ступенчатый входной сигнал называют

переходной характеристикой.

Единичный импульс может быть получен как производная от ступенчатого сигнала и представляет собой импульс бесконечно малой длительности на входе звена. Реакцию звена на единичный импульс называют импульсной характеристикой.

Переходная и импульсная характеристики САР определяют свободные колебания системы. Их называют характеристиками регулирования. Реакция звена или системы регулирования на гармонический сигнал есть частотная характеристика. Она определяет вынужденные колебания звена или системы.

1.8. Дифференциальные уравнения и передаточные функции линейных звеньев и систем автоматического регулирования

Как указывалось выше, исследование системы автоматического регулирования сводится к анализу решений дифференциального уравнения систе-

18

мы. Заметим, что в дальнейшем будем рассматривать только линейные САР. При решении дифференциального уравнения в теории автоматического регулирования применяют так называемое преобразование Лапласа, позволяющее упростить процесс этого решения.

Вкачестве примера рассмотрим линейную систему автоматического ре-

гулирования, которая подвергалась возмущающему входному воздействию, начиная с момента времени t 0. При этом в системе возникает переходный процесс, описываемый линейным дифференциальным уравнением n-го порядка (поэтому систему автоматического регулирования называют линейной).

Влевой части уравнения записываются выходные величины y и их производные, в правой – входные величины x и их производные.

ласу этого оригинала.

Прямое преобразование Лапласа функции C d n x t запишем: dt n

Дифференциальное уравнение с помощью преобразования Лапласа представим в виде:

Cn pn Cn 1 pn 1 ... C0 Y p bm pm bm 1 pm 1 ... b0 X p ,

где Y p – изображение функции y t .

Отношение изображения по Лапласу выходной величины к изображению входной величины при нулевых начальных условиях называют переда-

точной функцией звена системы и записывают в виде:

где M p и D p – полиномы соответственно числителя и знаменателя.

Таким образом, если известно дифференциальное уравнение системы, то известна и еѐ передаточная функция и, наоборот, при известном выражении для передаточной функции известно и дифференциальное уравнение системы.

19

Оперирование передаточными функциями динамических звеньев системы управления при еѐ анализе очень удобно, поскольку позволяет в краткой математической форме представить взаимодействия звеньев и состояние всей системы в целом.

При анализе системы автоматического регулирования стараются расчленить еѐ на элементы и представить их типовыми звеньями с известными передаточными функциями. Основные типовые звенья и их передаточные функции представлены в табл. 1.1.

Чтобы найти передаточную функцию всей системы, приходится оперировать с различными соединениями элементарных динамических звеньев, образующих структурную схему системы. Эти соединения бывают трѐх типов: последовательные, параллельные и встречно-параллельные.

При последовательном соединении n звеньев (рис. 1.15) передаточная функция этого соединения равна произведению передаточных функций отдельных звеньев:

Рис. 1.15. Последовательное соединение звеньев

Т а б л и ц а 1.1

Основные типовые звенья систем автоматического регулирования

20

При параллельном соединении n звеньев (рис. 1.16) передаточная функция равна сумме передаточных функций отдельных звеньев:

Wn (P)

Рис. 1.16. Параллельное соединение звеньев

При встречно-параллельном (рис. 1.17) соединении (система с отрицательной обратной связью) передаточная функция равна отношению переда-