9480

119

Для равновесия каждой из этих систем, как известно, должны выполняться два уравнения:

Таким образом, для решения задачи необходимо сформировать систему из четырех уравнений равновесия:

Третье из этих уравнений выполняется тождественно в силу симметрии системы сил, приложенной ко второму цилиндру. В оставшиеся три уравнения входят три неизвестные величины: силы N и P и угол γ.

Сформируем уравнения (1), (2) и (4):

Подставляя полученное выражение в уравнения (1) и (2), получим следующую систему:

sin = 5

{4

cos = 14 .

Возводя эти уравнения в квадрат, и складывая их, получим:

Учитывая, что 20° 0.3640, получим значение cos = 0.4816. Найдем неизвестный угол, который будет равен 61.21° 61°12′.

Ответ: Верным является пятый ответ.

120

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО КИНЕМАТИКЕ ТОЧКИ

ЗАДАЧА 1.

По окружности радиуса R=1м движется точка по закону = 3 + 3, где t – время в секундах, S – в метрах.

Касательное ускорение точки в момент времени t=2с равно… (м/с2) .

ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ.

РЕШЕНИЕ.

Касательное ускорение направлено по касательной к траектории и определяется проекцией вектора ускорения на касательную:

= = ̈,

знак которой показывает, в какую именно сторону оно направлено, т.е. в сторону положительного или отрицательного отсчета дуговой координаты.

= ̇= (3 + 3)′ = 3 2 (м/с);

= ̈=

Касательное ускорение необходимо определить в момент времени t=2 (с), поэтому подставляем

t=2 (с) в выражение касательного ускорения:

= 6 |=2 = 6 ∙ 2 = 12 (м/с2).

ОТВЕТ: 3. = 12 (м/с2).

ЗАДАЧА 2.

Движение точки по известной траектории задано уравнением = 7 − 8 + 2 3(м). ОМ=S.

Скорость точки в момент времени t=1с равна… (м/с).

121

= (−8 + 6 2)|=1 = −8 + 6 ∙ 12 = −2 (м/с).

Знак минус показывает, что вектор скорости направлен в сторону отрицательного отсчета дуговой координаты.

ОТВЕТ: 4. = −2 (м/с).

ЗАДАЧА 3.

Точка движется по заданной траектории по закону = 3 − 4 + 3 (м). В момент времени t=1с нормальное ускорение равно = 5 (м/с2). ОМ=S. Радиус кривизны траектории ρ в данный момент равен …(м).

ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ.

РЕШЕНИЕ.

Нормальное ускорение направлено по нормали, а его проекция равна

2

= ,

следовательно, радиус кривизны равен = 2 .

Значение нормального ускорения дано в условии задачи, поэтому остается найти только модуль скорости.

Так как движение точки задано естественным способом, то модуль скорости определяется по формуле:

= ̇= (3 − 4 + 3)′ = −4 + 3 2.

122

В полученное выражение подставляем t=1с

= (−4 + 3 2)| =1 = −4 + 3 ∙ 12 = −1 (м/с).

Определяем радиус кривизны

= (−51)2 = 0,2 (м).

ОТВЕТ: 2. = 0,2 (м).

ЗАДАЧА 4.

Уравнение, приведенное ниже, используется при … способе задания движения точки: = ( ).

ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ.

1. векторном;

2.координатном (в декартовой системе координат);

3.координатном (в цилиндрической системе координат);

4.естественном;

РЕШЕНИЕ.

Положение движущейся точки по отношению к некоторой системе отсчета Oxyz можно задать радиус-вектором этой точки . В процессе движения этот радиус-вектор будет меняться, т.е. он является векторной функцией времени:

= ( )

Данное уравнение представляет собой уравнения движения точки в векторной форме.

ОТВЕТ: 1. векторном.

ЗАДАЧА 5.

Точка движется согласно уравнениям = 4 3 , = 6 3 (x,y – в метрах). Угол (в градусах) между осью Оy и вектором скорости точки в положении x=0, y=6 равен…

ВАРИАНТОВ ОТВЕТА НЕТ.

123

РЕШЕНИЕ.

Движение точки задано координатным способом, координаты точки являются функциями времени.

Воспользуемся тригонометрическим тождеством 2 + 2 = 1 и

исключим время из уравнений движения:

Получаем, что траектория движения точки - уравнение эллипса с полуосями 4 см и 6 см по осям x и y соответственно, центр которого находится в начале координат.

Находим положение точки М по ее координатам x=0, y=6.

Скорость всегда направлена по касательной к траектории в сторону движения. В данном случае касательная к траектории будет параллельна оси Ох или перпендикулярна оси Оу.

Направление скорости определяем, дифференцируя уравнения движения:

= ̇= (4 3 )′ = −4 ∙ 3 3 = −12 3;= ̇= (6 3 )′ = 6 ∙ 3 3 = 18 3.

Подставив в уравнения движения координаты точки, находим время через которое точка будет находиться в данном положении:

(с). Подставив это время в уравнения проекций скорости, получаем:

= −12 3| =6 = −12 2 = −12 (м/с),

= 18 3| =6 = 18 2 = 0 (м/с).

Следовательно, по оси Ох проекция скорости направлена в сторону отрицательного отсчета, а по оси Оу проекция вектора скорости равна нулю. То есть угол между осью Оу и вектором скорости точки М будет равен 900.

ОТВЕТ: 90 градусов.

124

ЗАДАЧА 6.

Движение материальной точки М задано уравнением

3 .

= 0,5 + 2 − 4

Вектор скорости точки направлен…

ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ.

1.параллельно плоскости xOz (непараллельно осям);

2.параллельно оси Ох;

3.параллельно плоскости yOz;

4.перпендикулярно плоскости yOz;

РЕШЕНИЕ.

следовательно, проекции вектора скорости на оси будут:

= 0; = 2; = −123,

то есть, вектор лежит в плоскости перпендикулярной оси Ох и, следовательно, параллелен плоскости yOz.

ОТВЕТ: 3. параллельно плоскости yОz.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО КИНЕМАТИКЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

ЗАДАЧА 1.

Два шкива соединены ременной передачей. Точка А одного из шкивов имеет скорость = 20 см⁄с. Определить скорость точки В другого шкива.

125

Варианты ответов.

Решение.

Зная скорость точки А можно найти угловую скорость левого шкива:

лев = ⁄2 .

Умножив эту угловую скорость на расстояние до точки С, найдем ее скорость, которая в свою очередь будет равна скорости точки D:

= лев ∙ = ∙ ⁄2 = ⁄2 = .

Поделив скорость точки D на расстояние до оси вращения, получим угловую скорость правого шкива:

Решение.

Дифференцируя по времени закон вращательного движения, получим угловую скорость диска, а затем и угловое ускорение вращающегося тела:

= ̇= 3 2.

Подставляя в полученное выражения значение времени, получим, что при t=2 c угловая скорость будет равна

= 3 ∙ 22 = 12 (с−1).

Теперь нормальное ускорение точки А, лежащей на краю диска, можно найти по формуле:

= 2 = 122 ∙ 10 = 1440 (см ∙ с−2).

Ответ: 2. = 1440 (см ∙ с−2)

126

ЗАДАЧА 3.

Груз 1 имеет скорость V.

Чему равна угловая скорость подвижного блока 3?

Варианты ответов.

Решение.

Скорость точки А равна заданной скорости тела 1.

Мгновенный центр скоростей подвижного блока 3 находится в точке Р. Поделив скорость точки А на расстояние до мгновенного центра скоростей, получим угловую скорость тела 3:

3 = ⁄ = ⁄3 .

Ответ: 4. 3 = ⁄3 .

ЗАДАЧА 4.

Движение материальной точки М задано уравнением

.= 4 + − 3

Ускорение точки направлено…

ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ.

1.перпендикулярно оси Oy;

2.параллельно плоскости хОz;

3.перпендикулярно плоскости yOz (параллельно осям);

127

Ускорение точки равно производной по времени от вектора скорости или второй производной от радиус-вектора этой точки.

= ̇= − ,

следовательно, проекции вектора на оси будут:

= 0; = − ; = 0,

то есть, вектор ускорения параллелен оси Oу. ОТВЕТ: 4.параллельно оси Оу.

ЗАДАЧА 5.

Диск радиуса R=10 см вращается вокруг оси Ох z по закону = 3 + 2 ( в рад, t в сек).

R Чему будет равна скорость точки А при t =2c?

Решение.

Дифференцируя закон движения, получим угловую скорость диска:

= ̇= (3 + 2 ).

При t=2c эта скорость будет равна

| =2 = 3 + 2 ∙ 2 = 7( 1с ).

По формуле Эйлера определим скорость точки А, которая расположена от оси вращения на расстоянии R:

= ∙ = ∙ = 7 ∙ 10 = 70 (см ∙ с−1) Ответ: 3. А = 70 см ∙ с−1.

ЗАДАЧА 6.

128

R2

В планетарном механизме с внутренним зацеплением колесо1 катится по колесу 2. Механизм приводится в движение кривошипом ОА, угловая скорость которого = 20 рад/с. Радиусы колес 1 = 0.1 м, 2 = 0.3 м. Чему равна угловая скорость колеса 1?

Варианты ответов.

Решение.

Длина вращающегося стержня ОА равна 2 − 1 = 0.3 − 0.1 = 0.2 (м).

По формуле Эйлера определим скорость точки А:

= ∙ = ∙ = 20 ∙ 0.2 = 4 (см ∙ с−1).

Диск 1 катится по криволинейной поверхности 2.

При этом мгновенный центр скоростей диска1 находится в точке Р , в которой он соприкасается с поверхностью 2.

Разделив скорость точки А на расстояние до мгновенного центра скоростей, получим угловую скорость диска 1:

41 = ⁄ = 0.1 = 40( −1).

Ответ: 3. 1 = 40 −1.

ЗАДАЧА 7.