Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

9722

.pdf
Скачиваний:
0
Добавлен:
25.11.2023
Размер:
3.14 Mб
Скачать

[Введите текст]

Pn (z) = a0 (z z1)r1 (z z2 )r2 L(z zk )rk ,

где z1,K, zk – различные корни уравнения Pn (z) = 0 , а r1,K, rk – их кратности, причём r1 + K + rk = n . Указанные разложения справедливы для многочленов, как с вещественными, так и с комплексными коэффициентами.

Отметим без доказательства, что если многочлен имеет вещественные коэффициенты, то наряду с комплексным корнем z = α + iβ многочлен обладает сопряжённым корнем z = α − iβ , причём той же кратности. Объединяя в разложении многочлена такие пары, получаем

(z z)(z z ) = (z − α − iβ)(z − α + iβ) = z2 − 2αz + α2 + β2 = z2 + pz + q .

Таким образом, многочлен с вещественными коэффициентами раскладывается на линейные множители с вещественными корнями и квадратичные множители с парой комплексно сопряжённых корней. Переменную в случае многочлена с вещественными коэффициентами будем обозначать буквой x . Итак, многочлен с вещественными коэффициентами имеет разложение

 

 

r

r

2

 

s

2

 

s

P (x) = a (x x ) 1 L(x x ) r (x

 

+ p x + q ) 1 L(x

 

+ p x + q ) l ,

n

0

1

k

 

1

1

 

l

l

где r1 + K + rk + 2(s1 + K + sl ) = n .

32.4. Разложение правильных дробей на простые дроби. Разложе-

ние многочлена на множители связано с задачей разложения правильной рациональной дроби

 

 

 

 

 

Qm

(z)

 

(32.3)

 

 

 

 

 

Pn (z)

 

 

 

 

 

 

на простые дроби следующих видов;

 

 

 

 

A

и

 

Mx + N

( k ³1 и целое);

 

 

 

 

 

 

 

 

(x a)k

 

(x2 + px + q)k

 

где A, M , N , a, p, q

действительные числа, а квадратный трёхчлен

x2 + px + q не имеет действительных корней. Оказывается, что всякую правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы конечного числа простейших дробей. Этот алгебраический факт мы примем без доказательства.

Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе ( m < n ). В противном случае ( m ³ n ) рациональная дробь называ-

230

[Введите текст]

ется неправильной. Всякую неправильную рациональную дробьможно представить в виде суммы многочлена степени m n (целая часть) и правильной рациональной дроби, т.е.

 

Qm

(x)

= Gmn

(x) +

R(x)

,

 

Pn (x)

Pn (x)

 

 

 

 

где степень многочлена R( x)

меньше n . Для этого надо разделить чис-

литель на знаменатель по правилу деления многочленов. Это деление осуществим «уголком», причем делим до тех пор, пока показатель степени x в остатке не окажется меньше показателя степени x делителя.

Вид разложения дроби (32.3) определяется корнями многочлена Pn ( x) . Если знаменатель Pn ( x) имеет только действительные простые корни, то

 

Qm (x)

=

 

 

Qm (x)

 

=

A1

 

+

A2

+ ... +

An

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

(x - x )(x - x

) ×... ×

 

 

 

 

x - x

 

P (x)

(x - x )

x - x

x - x

2

 

 

n

n

1

2

 

n

 

1

 

 

 

n

где A1, A2 ,..., An – действительные числа, которые следует найти.

 

 

Если действительный корень xi

знаменателя дроби имеет кратность

ki ,то в разложении правильной дроби на простейшие этому корню соот-

ветствует число дробей, равное

ki :

 

 

 

 

A1

+

A2

+ ... +

Ak

 

 

 

 

.

 

x - x

(x - x )2

(x - x )ki

 

i

 

i

 

i

Если знаменатель содержит множителем квадратный трехчлен x2 + px + q , не имеющий действительных корней, то при разложении на простейшие дроби этому множителю соответствует дробь вида

Mx + N

x2 + px + q

.

Если знаменатель дроби имеет кратные комплексные корни, то множителю (x2 + px + q)l с комплексно сопряженными корнями соответствуют l дробей:

M1x + N1

+

M 2 x + N2

+ ... +

Ml x + Nl

 

 

 

.

x2 + px + q

(x2 + px + q)2

(x2 + px + q)l

 

 

231

 

 

 

[Введите текст]

Лекция 33. Определённый интеграл

33.1. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла.

Одной из первых задач, с которой началось формирование понятия интеграла, была задача вычисления площадей фигур, ограниченных кривыми.

Задача Архимеда. Найдём площадь под параболой y = x2 , заданной на отрезке [ 0, a ] . Эту задачу решил в своё время Архимед. Разобьём отре-

зок [ 0, a ] на n равных частей x = a / n . Искомая площадь приближённо равна площади ступенчатой фигуры (см. рис. 33.1).

 

y=x2

 

h=a/n

0

a

 

y=x2

 

h=a/2n

0

a

Рис. 33.1

 

Следует ожидать, что с увеличением n её площадь будет приближаться к площади под параболой. Площадь ступенчатой фигуры равна

сумме площадей прямоугольников с основанием

x и высотой, равной

значению функции в точках дробления y = (k x)2 ,

k = 1,2,K, n .

Итак,

S ≈ [( x)2 + (2 x)2 + K + (n x)2 ] x = (1 + 22 + 32 + K + n2 )( x)3

Для суммы квадратов натуральных чисел известна формула

1+ 22 + 32 +K+ n2 = n(n +1)(2n +1)

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

Находя предел, получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n(n + 1)(2n + 1)

3

 

a

3

lim 1 +

1

 

 

1

=

S = lim

 

a

=

 

2 +

 

3

 

 

 

 

n→∞

6

 

n

 

6 n→∞

n

 

n

Площадь криволинейной трапеции. Пусть на отрезке

a3

3 .

[ a, b ] задана

непрерывная положительная функция y = f ( x) . Фигуру, ограниченную

232

[Введите текст]

осью Ox , прямыми x = a , x = b и графиком функции, называют криволинейной трапецией. Для приближенного вычисления площади этой криволинейной трапеции разобьём промежуток [ a, b ] произвольным образом на n частей (см. рис. 33.2)

y = f ( x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pk

 

 

 

a = x0

x

x

x

xn = b

 

 

1

 

k

 

k +1

 

 

 

 

 

 

Рис. 33.2

 

 

В каждом интервале длиной

xk = xk xk −1

произвольно выберем точку

pk . Тогда площадь прямоугольника с основанием xk и высотой

f ( pk )

будет равна f ( pk )

xk , а площадь под кривой приближенно равна сумме

 

 

 

 

n

 

 

 

 

S Sn = f ( pk )

xk .

(33.1)

k=1

Сувеличением n точность этого приближения будет возрастать при условии, что длины всех отрезков xk будут уменьшаться. Назовем площадью

криволинейной трапеции предел последовательности Sn , если он существует и не зависит от способа разбиения и выбора точек.

33.2. Понятие определённого интеграла. Во всех приведенных выше задачах мы осуществляли следующую процедуру: брали некоторую функцию f ( x) , разбивали интервал её определения на n частей, в каждой части выбирали некоторую точку pk , составляли так называемую интегральную сумму (33.1) и, наконец, находили предел последовательности этих сумм при n → ∞ , когда длина наибольшего из отрезков дробления стремится к нулю. Получающийся при этом предел носит название определенного интеграла.

Определённым интегралом функции f ( x) на промежутке [ a, b ] на-

зывается конечный предел интегральных сумм

233

[Введите текст]

n

b

 

 

lim f ( pk )

xk = f (x)dx,

(λ = max xk → 0) ,

(33.2)

n→∞ k =1

a

k

 

если он существует и не зависит ни от способа разбиения промежутка [ a, b ] , ни от выбора точек pk .

Ценность этого математического понятия состоит в том, что функцию f ( x) можно «наполнять» разным содержанием: это может быть функция, определяющая границу криволинейной трапеции, и тогда определенный интеграл выражает площадь трапеции, или это может быть функция, определяющая линейную плотность неоднородного стержня, и тогда определенный интеграл выражает массу стержня.

Для существования определенного интеграла функция f ( x) должна обладать некоторыми свойствами. Например, она должна быть ограниченной на [ a, b ] . В противном случае интегральную сумму за счёт выбора точек pk можно сделать как угодно большой. Оказывается, что достаточ-

ным условием существования определённого интеграла служит непрерывность f ( x) на [ a, b ] .

Теорема. Если функция f ( x) непрерывна на отрезке [ a, b ] , то определенный интеграл существует.

Примем эту теорему без доказательства.

33.3. Основные свойства определённого интеграла. Обозначение определённого интеграла было введено Лейбницем. Знак интеграла – это стилизация первой буквы латинского слова summa.

Если подынтегральная функция отрицательна на всем промежутке интегрирования или на его части, то соответствующий множитель, входящий в интегральную сумму будет отрицательным. Если интеграл интерпретировать как площадь, то части кривой, расположенной под осью абсцисс будем приписывать отрицательную площадь (см. рис. 33.3).

 

 

 

 

b

 

 

 

 

f ( x)dx = S1 + (− S 2 ) + S3

 

 

 

S1

 

S3

 

a

 

 

 

a

S2

b

 

 

 

Рис. 33.3

Если отказаться от допущения a < b и принять a > b, то в интегральной сумме все разности xk будут отрицательными. Поэтому

b a

f (x)dx = −f (x)dx

a

b

 

234

[Введите текст]

a

В качестве определения полагаем также f (x)dx = 0 .

 

 

 

a

Укажем основные свойства определённого интеграла, легко полу-

чаемые из его определения:

 

 

b

b

b

[ f (x) ± g(x)]dx = f (x)dx ± g(x)dx

 

a

a

a

 

b

b

 

kf (x)dx = k f (x)dx, k = const

 

a

a

 

 

b

c

b

f (x)dx = f (x)dx + g(x)dx, a < c < b

 

a

a

c

 

 

b

 

m(b a) ≤ f (x)dx M (b a), m f (x) ≤ M

a

Последнее свойство проиллюстрируем рисунком (см. рис. 33.4).

y

M

f ( x)

 

 

 

 

m

 

 

 

 

x

a

 

 

b

 

Рис. 33.4

Иногда важно не столько найти точное значение интеграла, сколько получить его оценку. Указанное неравенство геометрически соответствует тому факту, что существует прямоугольник весь расположенный внутри криволинейной трапеции и прямоугольник – содержащий эту фигуру.

Среднее значение функции. Если даны n чисел a1, a2 , K, an , то их средним (средним арифметическим) называют число

aср = a1 + a2 +K+ an . n

Что следует понимать под средним значением функции f ( x) на отрезке [ a, b ] ? Существует, например, понятие средней плотности неоднородного тела (например, средняя плотность Земли примерно равна 5,5 ). Разделим отрезок [ a, b ] на n равных частей x1 = x2 = K = xn = (b a) / n , возьмем в каждой части по точке Pk и составим сумму

235

[Введите текст]

 

f (P ) + f (P )

+ K +

f (P )

 

 

1

 

n

 

1

 

2

 

 

1

 

=

 

 

 

 

f (Pk ) xk

 

 

 

 

n

 

 

 

 

b a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k =1

Перейдём в этой сумме к пределу

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

n

 

 

 

 

1

 

b

 

 

lim

f (Pk )

xk

=

 

 

 

f (x)dx = fср.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b a a

 

 

b a n→∞

k =1

 

 

 

 

 

Таким образом, под средним значением функции на отрезке [ a, b ] понимают отношение интеграла функции по этому отрезку к длине этого отрезка. Геометрический смысл среднего значения функции становится ясным, если его определение записать в виде

b

fср. (b a) = f (x)dx

a

Поскольку интеграл справа выражает площадь криволинейной трапеции, то левую часть равенства можно трактовать как площадь прямоугольника. Итак, среднее значение функции равно высоте прямоугольника, в основании которого лежит отрезок [ a, b ] , равновеликого по площади криволинейной трапеции (см. рис. 33.5).

y = f ( x)

fср.

 

f (P)

 

 

 

0

 

 

 

a

 

 

b

P0

 

 

 

 

Рис. 33.5

Особенно важно, что в силу непрерывности функции на отрезке [ a, b ] найдётся такая точка P0 , что fср. = f (P0 ) . Это даёт возможность выразить

значение интеграла через длину промежутка интегрирования и значение подынтегральной функции в некоторой (правда неопределённой) точке этого промежутка.

b

 

f (x)dx = f (P0 )(b a),

P0 [a,b]

a

 

Этот результат называют теоремой о среднем в интегральном исчислении.

236

[Введите текст]

33.4. Существование первообразной функции. В предыдущей лек-

ции мы отметили, что интеграл непрерывной на [ a, b ] функции существует. Наша цель – связать понятия определённого и неопределённого интегралов и, тем самым, показать, как вычисляется определенный интеграл без вычисления интегральных сумм.

Рассмотрим интеграл с переменным верхним пределом

x

F ( x) = f (t )d t ,

a

где подынтегральная функция f ( x) непрерывна в промежутке [ a, b ] . Напомним, что переменная интегрирования – « немая», т.е. может быть обозначена любой буквой. Написанный нами интеграл – это некоторая функция F ( x) верхнего предела x , и её геометрический смысл ясен из следующего рисунка:

f (P0 )

f (x)

F

F (x)

P0

x a x x + x b

Рис. 33.6

Применяя теорему о среднем значении функции, запишем приращение

в виде

xx

DF = f (t)d t = f (P0 (Dx)) × Dx ,

x

где точка

P0

(

x) [x, x +

x],

которое показывает, что

lim

F = 0 , т.е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→0

 

функция F ( x)

непрерывна.

Оказывается,

что функция

F ( x)

не только

непрерывна, но и дифференцируема. Действительно,

 

 

lim

DF

= lim

f (P0 (Dx)) × D x

= lim f (P0

(Dx)) = f (lim

P0 (D x)) = f ( x) .

D x

 

D x

 

x→0

 

x→0

 

x→0

x→0

 

 

В последнем равенстве мы существенно использовали свойство не-

прерывности

функции f ( x) , поменяв местами знак предела и знак функ-

ции. Таким образом, мы пришли к замечательному факту: производная

от интеграла по переменному верхнему пределу равна значению подынтегральной функции от этого предела

237

[Введите текст]

x

 

 

= f (x)

 

f (t)d t

a

x

 

Другими словами: это означает, что интеграл с переменным верхним пределом интегрирования является первообразной для подынтегральной функции. Этот, казалось бы, частный факт имеет принципиальное значение. Во-первых, отсюда следует, что всякая непрерывная функция имеет первообразную, а во-вторых, даже для «неберущихся» интегралов мы имеем теперь инструмент для её представления. Например, для функции

f ( x) = ex2 среди элементарных функций нет первообразной. Теперь мы можем представить её первообразную через определённый интеграл

x

et2d t .

0

33.5. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление определённого интеграла как предела интегральной суммы, т.е. по формуле (33.2), – довольно сложная задача. Оказывается, что ее можно легко решить, имея одну из первообразных подынтегральной функции. Этот факт выражается основной формулой интегрального исчисления – формулой Ньютона – Лейбница

b

f (x)d x = F (x) ba = F (b) − F (a) ,

a

в которой F ( x) означает одну из первообразных функции

f ( x) .

Действительно, ранее мы выяснили, что интеграл с переменным верх-

ним пределом

 

x

 

Φ(x) = f (t)d t

 

a

 

является первообразной подынтегральной функции f ( x) ,

непрерывной в

промежутке a x b . Пусть F ( x) любая другая первообразная f ( x) .

x

 

Поскольку Φ(x) = f (t)d t = F (x) + C и Φ (a) = 0 , то C = − F (a) . Поэтому

a

x

имеем f (t)d t = F (x) − F (a) . Полагая в последнем равенстве x = b , по-

a

лучаем

b

f (t)d t = F (b) − F (a) .

a

238

[Введите текст]

Лекция 34. Вычисление определённого интеграла

34.1.Интегрирование по частям и замена переменной. Пусть u ( x)

иv( x) – функции, непрерывные вместе со своими производными в промежутке [ a, b ] . Тогда функция F ( x) = u(x) × v( x) является первообразной для

своей производной

 

 

 

 

F (x) = u (x) × v(x) + v (x) ×u(x) .

По формуле Ньютона – Лейбница имеем

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(u′(x)v(x) + v′(x)u(x))d x = u(x)v(x)

 

ba

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

откуда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

u(x)v (x)d x = u(x)v(x)

 

a

 

v(x)u (x)d x .

 

 

 

a

 

 

 

 

 

a

Учитывая, что

и

 

= d u , полученную формулу за-

v (x)d x = d v

u (x)d x

 

пишем более компактно, помня,

что u и

 

v функции переменной x , изме-

няющейся в промежутке [ a, b ] :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

b

 

 

 

udv = uv

 

ba vdu .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

a

Это и есть формула интегрирования по частям в определённом инте-

грале. Как и в случае неопределённого интеграла, её целесообразно применять, если интеграл справа будет «проще», чем исходный интеграл.

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линией y = ln x , осью абсцисс и прямой x = e . Искомая площадь (см. рис. 34.1) выражает-

e

ся интегралом S = ln x d x

1

y

y = ln x

1

x

 

 

e

Рис. 34.1

239

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]