Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

9727

.pdf
Скачиваний:
0
Добавлен:
25.11.2023
Размер:
3.14 Mб
Скачать

[Введите текст]

h > b Сечение поверхности плоскостями z = c или z = −c даёт точку, так

.

как в уравнении при этом получается

x2

+

y2

= 0 . Общий вид поверхности

a2

b2

 

 

 

отражаем рисунком 28.2. Вполне естественно, что эта поверхность носит название «эллипсоид» – по названиям сечений.

Эллипсоид обладает тремя взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии (при данном выборе осей они совпадают с координатными плоскостями). Величины a , b и c называются полуосями эллипсоида. Если две из трёх полуосей одинаковы, то, эллипсоид становится эллипсоидом вращения. Если a = b = c , то уравнение (28.1) определяет сферу.

28.2. Гиперболоиды. Рассмотрим уравнение

однополостного гипер-

болоида

 

 

 

 

 

 

 

x2

+

y2

z2

= 1.

(28.2)

 

a2

b2

c2

 

 

 

 

 

В сечениях координатными плоскостями xOz и yOz поверхности, определяемой этим уравнением, получаются гиперболы, а в сечениях, параллельных координатной плоскости xOу– эллипсы. В целом поверхность выглядит, как бесконечная трубка, расширяющаяся в обе стороны от горлового эллипса (рис. 28.3).

Рис. 28.3

Однополостный гиперболоид обладает тремя плоскостями симметрии (при данном выборе осей они совпадают с координатными плоскостями). Величины a , b и c называются полуосями однополостного гиперболоида. Если a = b , то однополостный гиперболоид становится поверхностью

200

[Введите текст]

 

 

 

вращения и может быть получен вращением гиперболы

y2

z2

= 1 во-

b2

c2

 

 

 

круг оси Oz , которую она не пересекает.

Однополостный гиперболоид обладает интересным геометрическим свойством, которое можно обнаружить, если представить уравнение (28.2) в виде

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

z2

= 1 −

 

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a2

 

c2

b2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или, эквивалентно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

+

z x

z

=

 

+

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

a

 

c a

 

c

 

 

 

b

 

. (28.3)

b

Наряду с этим уравнением рассмотрим систему линейных уравнений

α xa

β xa

+

 

z

 

= β 1

+

 

 

 

 

c

 

 

z

 

= α 1

 

 

c

 

 

y

b , (28.4) y

b .

В ней α и β - некоторые числа, не равные одновременно нулю. При фиксированных значениях α и β уравнения (28.4) задают в пространстве конкретную прямую как пересечение плоскостей. Меняя α и β , мы получаем бесконечную систему прямых. Если перемножить уравнения (28.4), то получится уравнение (28.3) Это означает, что каждая из прямых лежит целиком на однополостном гиперболоиде. Можно доказать, что через каждую точку однополостного гиперболоида проходит прямая, определяемая системой (28.4). То есть прямые (называемые прямолинейными образующими однополостного гиперболоида) покрывают его поверхность целиком. Поверхности, составленные из прямых, называют линейчатыми. Ясно, что конусы и цилиндры относятся к этому классу. Но для однополостного гиперболоида геометрически такое свойство не очевидно. Тем не менее, как мы убедились, однополостный гиперболоид является линейчатой поверхностью. Более того, он обладает двумя системами прямолинейных образующих. В этом случае говорят, что поверхность является линейчатой поверхностью второго порядка (рис. 28.3).

Вторую систему уравнений прямолинейных образующих однополостного гиперболоида можно получить по аналогии с системой (28.4):

201

[Введите текст]

α xa

β xa

+

 

z

 

= β 1

 

 

 

 

c

 

 

z

 

= α 1

+

 

 

c

 

 

y b ,

y b .

Знаменитый русский инженер Владимир Григорьевич Шухов (1853 - 1939) использовал в строительной технике возможность образования однополостного гиперболоида прямыми линиями. Ему принадлежит идея создания металлических конструкций из балок, расположенных по прямолинейным образующим однополостного гиперболоида вращения. Эти конструкции обладают большой жёсткостью, прочностью и малым весом. Они применяются для устройства водонапорных башен и высоких радиомачт.

В 1896 году на Всероссийской промышленной и художественной выставке в Нижнем Новгороде были выставлены сетчатые конструкции, изготовленные по проекту В.Г. Шухова: павильоны с висячими покрытиями и павильоны с сетчатыми оболочками, а также гиперболоидная водонапорная башня. Это было моментом рождения рациональной архитектуры, использовавшей новаторские конструктивные формы. В Нижегородской области сохранились подлинные сооружения В.Г. Шухова, являющиеся памятниками инженерного искусства мирового уровня.

Рассмотрим далее уравнение двуполостного гиперболоида

x2

+

y2

z2

= −1.

(28.5)

a2

b2

c2

 

 

 

 

В сечениях координатными плоскостями xOz и yOz поверхности, определяемой этим уравнением, получаются гиперболы, пересекающиеся с осью Oz . В сечениях z = h , параллельных координатной плоскости xOу,

при h > c будут эллипсы.

Рис. 28.4

202

[Введите текст]

Но если рассмотреть сечение координатной плоскостью xOу, то по-

лучается уравнение

x2

+

y2

= −1, не имеющее решений. Это означает, что

a2

b2

 

 

 

поверхность не пересекается с координатной плоскостью xOу, также как со всеми плоскостями z = h при h < c . Следовательно, она состоит из двух

отдельных «полостей», имеющих вид бесконечных выпуклых чаш (рис. 28.4).

Двуполостный гиперболоид обладает тремя плоскостями симметрии (при данном выборе осей они совпадают с координатными плоскостями). Величины a , b и c называются полуосями двуполостного гиперболоида. Если a = b , то двуполостный гиперболоид становится поверхностью вра-

щения и может быть получен вращением гиперболы

z2

y2

=1 вокруг

 

 

оси Oz , которую она пересекает.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c2

b2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Можно получить двуполостный гиперболоид вращения с уравнением

 

x2

y2

+

z2

= −1, если вращать гиперболу

 

y2

z2

=1 вокруг оси Oy .

 

с2

b2

 

 

 

 

c2

 

 

 

 

 

b2

c2

 

 

 

 

 

 

28.3. Конус. Рассмотрим уравнение конуса второго порядка

 

 

 

 

 

 

 

x2

+

y2

z2

 

= 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a2

b2

c2

 

xOz и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В сечениях координатными плоскостями

yOz

поверхности,

определяемой этим уравнением, получаются пересекающиеся прямые, а в сечениях, параллельных координатной плоскости xOу – эллипсы (рис.28.5). Эта поверхность называется конусом.

Рис. 28.5

203

[Введите текст]

Если a =b, то конус становится поверхностью вращения (в этом случае он называется круговым конусом) и может быть получен вращением

вокруг оси

Oz прямой z =

c

y . Если ту же прямую закрутить вокруг оси

 

 

 

b

 

 

 

 

 

Oy , то получится круговой конус с уравнением

x2

y2

+

z2

= 0 .

c2

b2

c2

 

 

 

 

 

 

 

Особенностью конуса является то, что любое его сечение плоскостью, не проходящей через вершину, есть эллипс, гипербола или парабола (в зависимости от наклона секущей плоскости). Поэтому эти классические линии со времён Древней Греции называют коническими сечениями. Часто встречаясь в явлениях природы и деятельности человека, эти линии приобрели особое значение после открытия, сделанного из наблюдений И.Кеплером в 1609 году и теоретически обоснованного И.Ньютоном в 1687 году: планеты и кометы Солнечной системы движутся по коническим сечениям, в одном из фокусов которого находится Солнце.

28.4. Параболоиды. Рассмотрим уравнение эллиптического пара-

болоида

2z = x2 + y2 , p q

где параметры p и q положительны. В сечениях координатными плос-

костями xOz и yOz поверхности, определяемой этим уравнением, получаются параболы, а в сечениях z = h при h > 0 – эллипсы (рис. 28.6).

Рис. 28.6

204

[Введите текст]

Эллиптический параболоид обладает двумя плоскостями симметрии (при данном выборе осей они совпадают с координатными плоскостями xOz и yOz ). При p = q параболоид становится поверхностью вращения (в этом случае он называется параболоидом вращения) и может быть получен вращением параболы вокруг своей оси.

Рассмотрим уравнение гиперболического параболоида

2z =

x2

y2

,

(28.6)

p

q

 

 

 

 

где параметры p и q положительны. В сечении координатной плоскостью xOz поверхности, определяемой этим уравнением, получается «восходящая» парабола с уравнением x2 = 2 pz . В сечении координатной плос-

костью yOz получается «нисходящая» парабола с уравнением y2 = −2qz . Аналогично, каждая плоскость y = h пересекает поверхность по «восходящей» параболе, а каждая плоскость x = h – по «нисходящей» параболе. В сечениях, параллельных координатной плоскости xOy , получаются гиперболы. Гиперболический параболоид обладает двумя плоскостями симметрии (при данном выборе осей они совпадают с координатными плоскостями xOz и yOz ) и имеет вид «седла» (рис. 28.7).

Поверхность гиперболического параболоида можно также получить

«механическим» образом.

Пусть одна

парабола

z = x2 расположена в

плоскости

xOz ,

а другая

парабола

z = − y2 – в

перпендикулярной ей

плоскости

yOz .

«Заставим» теперь нижнюю параболу скользить верши-

ной по верхней параболе,

перемещаясь параллельно плоскости yOz . Эта

скользящая парабола и образует гиперболический параболоид.

Рис. 28.7

205

[Введите текст]

Интересно, что гиперболический параболоид, как и однополостный гиперболоид, является линейчатой поверхностью – его можно сформировать из прямых (рис. 28.8).

Рис. 28.8

Гиперболический параболоид с уравнением (28.6) имеет две системы прямолинейных образующих, определяемых уравнениями

α

 

x

 

+

 

z

 

 

= 2βz,

 

α

 

x

 

y

 

 

= 2βz,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

z

 

 

 

x

 

 

 

z

 

 

β

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= α.

 

β

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

= α.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q

 

206

[Введите текст]

Раздел 6. Математический анализ. Интегральное исчисление

Лекция 29. Неопределенный интеграл

Наряду с задачей дифференцирования функции, в которой для заданной функции f ( x) требуется найти ее производную f ′(x) , часто приходится решать обратную задачу, называемую интегрированием функции: для заданной функции f ( x) найти такую функцию F ( x) , производная которой совпадает с функцией f ( x) , т.е. F′(x) = f (x) . Например, предполагая, что известно уравнение движения S = S (t) , т.е. закон изменения пути с течени-

ем времени, можно найти скорость v(t) = S′(t) . Если, напротив, задана скорость как функция времени v = v(t) , то возникает задача об определении пройденного пути S в зависимости от времени, т.е. по функции v = v(t) «восстановить» функцию S (t ) , для которой v = v(t) является производной

S′(t) = v(t) . В данной лекции рассмотрим решение этой обратной задачи. Происхождение термина интегрирование связано с именем Я. Бернулли (1654-1705). Вероятно, он произвёл термин от латинского integro – приводить в прежнее состояние, восстанавливать.

29.1. Первообразная функция и неопределённый интеграл. Функ-

ция F ( x) называется первообразной функции f ( x) на промежутке (a, b) , если для любого x (a,b) выполняется равенство

dF(x) =

f (x).

dx

К сожалению, это определение не даёт способа нахождения первообразной F ( x) данной функции f ( x) . Однако для основных элементарных функций эта задача разрешима, поскольку известны их производные. Например, легко видеть, что первообразной функции f ( x) = cos x будет функция F ( x) = sin x , так как (sin x)'= cosx . Но для функции f ( x) = cos x есть и другие первообразные. Например, F ( x) = sin x + 1, F ( x) = sin x + 2 и, вообще, F ( x) = sin x + C , где C – любое число.

Из этого примера следует, что одна и та же функция имеет множество первообразных. Возникает вопрос – как найти всё это множество? Покажем, что множество функций F ( x) + C , где F ( x) – некоторая первообразная

207

[Введите текст]

функции f ( x) , а C – произвольная постоянная, исчерпывает все первообразные функции f ( x) .

Теорема. Если F1 (x) и

F2 (x) –

две первообразные функции f ( x) ,то

F1(x) = F2 (x) + C , где C – некоторая постоянная.

Доказательство. Рассмотрим функцию ϕ(x) = F1 ( x) F2 (x) . Так как

для любого x имеем

 

 

ϕ (x) = F1(x) − F2 (x) = f (x) − f (x) = 0 ,

то по формуле Лагранжа конечных приращений получаем, что ϕ(x) ≡ C , и,

следовательно, F1 ( x) F2 (x) = C .

Таким образом, достаточно найти одну первообразную F ( x) данной функции f ( x) , чтобы знать всё множество её первообразных { F (x) + C} .

Для обозначения рассматриваемой операции – нахождения функции F ( x) из равенства

dF ( x) = f ( x)dx ,

был введён символ , применение которого к указанному равенству восстанавливает множество всех первообразных данной функции f ( x) (по-

добно тому, как знак обозначает операцию нахождения квадратного корня). Для краткости совокупность всех первообразных функции f ( x) называется её неопределенным интегралом и обозначается так

f (x) dx = F(x) + C ,

где C – некоторая постоянная. Операция нахождения неопределенного интеграла называется интегрированием. При этом функция f ( x) называется

подынтегральной функцией, f ( x) dx – подынтегральным выражением, а

знак – знаком интеграла.

Поставим вопрос: для всякой ли функции f ( x) существует первообразная, а, следовательно, и неопределенный интеграл? Сформулируем без

доказательства достаточное условие интегрируемости: если

функция

f ( x)

непрерывна на интервале (a, b) , то на этом множестве у функции

f ( x)

существует первообразная, а, значит, и неопределённый

интеграл.

Ниже будем говорить об интегралах непрерывных функций, которые заведомо существуют.

208

[Введите текст]

Из определения неопределенного интеграла непосредственно следуют формулы, подчёркивающие, что операции интегрирования и дифференцирования взаимно обратные (с точностью до постоянной)

( f (x)dx)¢ = f ( x) ,

d (f ( x )dx ) = f ( x )dx ,

f ¢(x)dx = f (x) + C ,

df (x) = f (x)+ C .

Это аналогично тому, как операции возведения в целую степень и извлечение корня, проведённые последовательно друг за другом, оставляют без изменения число, к которому они применялись

( na )n = a, nan = a, a > 0 .

Отметим два свойства, непосредственно вытекающие из соответствующих правил дифференцирования: постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.

k × f (x) dx = k × f (x)dx (k = const ) ,

инеопределённый интеграл суммы или разности конечного числа функций равен соответствующей сумме (разности) интегралов этих функций, т.е.

( f (x) ± g(x))dx = f (x)dx ± g(x)dx .

Для нахождения производной функции, полученной из основных элементарных функций с помощью алгебраических операций или суперпозиции, применялись таблица производных основных элементарных функций и правила дифференцирования. Формально, таблица интегралов элементарных функций может быть получена, если переписать справа налево таблицу производных. Однако для практического применения целесообразнее привести таблицу интегралов в следующем виде:

xαdx =

xα+1

 

+ C ( a ¹ -1) ,

dx

= ln

 

x

 

+ C

 

 

a +1

 

 

ax

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

axdx =

 

+ C (a > 0, a ¹ 1) ,

exdx = ex + C

ln a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x dx = -cos x + C

cos x dx = sin x + C

 

 

 

 

 

209

 

 

 

 

 

 

 

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]