9743
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего
образования «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
Л.А. Протасова, П.В. Столбов
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Учебно-методическое пособие по подготовке к лекционным и практическим занятиям по дисциплине «Математика»
для обучающихся по направлению подготовки 38.03.02 Менеджмент, профиль Производственный менеджмент
Нижний Новгород
2016
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего
образования «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
Л.А. Протасова, П.В. Столбов
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Учебно-методическое пособие по подготовке к лекционным и практическим занятиям по дисциплине «Математика»
для обучающихся по направлению подготовки 38.03.02 Менеджмент, профиль Производственный менеджмент
Нижний Новгород ННГАСУ
2016
1
ББК 85.15 П 83 Б 93
Протасова Л.А. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. [Электронный ресурс]: учеб.-метод. пос. / Л.А. Протасова, П.В. Столбов; Нижегор. гос. архитектур. - строит. ун - т – Н. Новгород: ННГАСУ, 2016. – 88 с.– 1 электрон. опт. диск (CDRW)
Изложены вопросы аналитической геометрии, способствующие развитию пространственного воображения и освоению аналитического подхода к изучению геометрических объектов. Рассмотрены основы линейной и векторной алгебры, необходимые для понимания теоретических вопросов и задач аналитической геометрии на плоскости и в пространстве. Приведены геометрические иллюстрации и рисунки, облегчающие восприятие материала. Подробно разобраны примеры построения тел, ограниченных заданными поверхностями.
Предназначено обучающимся в ННГАСУ по направлению подготовки 38.03.02 Менеджмент, профиль Производственный менеджмент для подготовки к лекционным и практическим занятиям по дисциплине «Математика».
© Л.А. Протасова, П.В. Столбов, 2016
© ННГАСУ, 2016
2
§ 1. Определители и их применение Определители
Определителем второго порядка квадратной матрицы
называется число D = |
a11 |
a12 |
, которое вычисляется по формуле: |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
a21 |
a22 |
|
|
|
|
||
D = a11 × a22 - a12 × a21 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример. |
|
1 |
2 |
|
= 1× 4 - 2 × (- 3) = 4 + 6 = 10. |
||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
- 3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определителем третьего |
порядка квадратной матрицы |
||||||||||||
|
|
|
D = |
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
, которое вычисляется по |
||||
|
|
|
|
|
|||||||||
называется число |
|
a21 |
a22 |
a23 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
|
формуле
D= a11 × a22 × a33 + a21 × a32 × a13 + a12 × a23 × a31 -
-a13 ×a22 ×a31 -a21 ×a12 ×a33 -a32 ×a23 ×a11.
Пример. |
|
|
|
|||
|
|
1 |
- 2 |
3 |
|
= 1× 2(× -4) + (-1)× 4 ×3 + (- 2)×(- 3)× 0 - 3 × 2 × 0 - |
|
|
|||||
|
|
-1 |
2 |
- 3 |
|
|
|
|
0 |
4 |
- 4 |
|
|
- (-1)×(- 2)×(- 4)- 4 ×(- 3)×1 = -8 -12 + 0 - 0 + 8 +12 = 0 .
Системы линейных уравнений
Пусть задана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными вида
a × x + a × x |
2 |
+ a × x = b |
||||||
|
11 |
1 |
12 |
|
13 |
3 |
1 |
|
a21 × x1 + a22 × x2 + a23 × x3 = b2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
+ a33 × x3 = b3 , |
||
a31 × x1 + a32 × x2 |
||||||||
где ai j Î Z, bi Î Z, |
i, j = |
|
|
|
|
|
|
|
1, 3 . |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
алгебраических
(1.1)
Составим и вычислим главный определитель системы (1.1)
a11 a12 a13 = a21 a22 a23 ,
a31 a32 a33
тогда если D ¹ 0 , то система (1.1) имеет единственное решение
(x10 ; x20 ; x30 ), которое находим по правилу Крамера. Для этого составим и вычислим вспомогательные определители x1 , x2 ,
x3 системы (1.1):
x = |
b1 |
a12 |
a13 |
|
|
|
|
= |
a11 |
b1 |
a13 |
|
|
|
= |
a11 |
a12 |
b1 |
|
||
b2 |
a22 |
a23 |
, |
x |
a21 |
b2 |
a23 |
, |
x |
a21 |
a22 |
b2 |
. |
||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
b3 |
a32 |
a33 |
|
|
|
|
|
a31 |
b3 |
a33 |
|
|
|
|
|
a31 |
a32 |
b3 |
|
|
Далее по формулам Крамера находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
x0 = |
|
x1 |
, x0 = |
x2 |
, |
x0 |
= |
|
x3 |
. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Затем делаем проверку найденного решения и записываем ответ.
Пример. Решить по правилу Крамера систему
x − x |
2 |
+ x = 2 |
|||
|
1 |
|
|
3 |
|
2x1 − x3 = −1 . |
|||||
|
3x + x |
2 |
= 5 |
||
|
1 |
|
|
|
Решение. Составим и вычислим главный определитель
данной системы
1 −1 1
= 2 0 −1 = 1×0×0 + 2×1×1+ (-1)×(-1)×3 -1×0×3 -
3 1 0
- 2×(-1)×0 -1×(-1)×1 = 0 + 2 +3 -0 + 0 + 0 +1 = 6.
Так как D = 6 ¹ 0, то данная система имеет единственное
решение.
4
Составим и вычислим вспомогательные определители
данной системы
|
|
|
|
2 |
|
|
|
-1 |
1 |
|
= 2 × 0 × 0 + (-1)×1×1 + (-1)× (-1)×5 -1× 0 ×5 - |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Dx |
= |
|
-1 0 -1 |
|
|||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|||||||||||
|
|
- (-1)×(-1)× 0 -1×(-1)× 2 = 0 -1 + 5 - 0 - 0 + 2 = 6 ; |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
= 1×(-1)× 0 + 2 ×5 ×1 + 2 × (-1)×3 -1×(-1)×3 - |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Dx2 = |
|
|
2 -1 -1 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
5 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
- 2 × 2 × 0 - 5 ×(-1)×1 = -0 +10 - 6 + 3 - 0 + 5 = 12; |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
-1 |
|
2 |
|
|
= 1× 0 ×5 + 2 ×1× 2 + (-1)× (-1)×3 - 2 × 0 ×3 - |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Dx |
= |
|
2 0 -1 |
|
|||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
-1×(-1)×1 - 2 ×(-1)×5 = 0 + 4 + 3 - 0 +1 +10 = 18 . |
|||||||||||||||||||||
Далее, по формулам Крамера, находим |
|||||||||||||||||||||||
x0 |
= |
|
|
|
|
|
|
x1 |
= |
6 |
= 1, |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x20 = |
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
= |
|
12 |
= 2 , |
|
|
||||||||
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x0 |
= |
Dx |
|
= |
18 |
|
= 3. |
|
|
||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
D |
|
6 |
|
|
|
|||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Делаем проверку найденного решения (1; 2;3)
1 - 2 + 3 = 2 - верно,
× - = - -
2 1 3 1 верно,
3 ×1 + 2 = 5 - верно.
Ответ: (1; 2;3).
5
§ 2. Векторная алгебра
Обобщим некоторые сведения о векторах, известные в основном из школьного курса геометрии.
Закрепленным вектором AB (или AB ) называется направленный отрезок, у которого выделено начало A и конец
B . Длиной вектора AB называется длина отрезка,
изображающего данный вектор.
Два закрепленных вектора называются эквивалентными,
если у них совпадают длина и направление. Множество эквивалентных закрепленных векторов называется свободным вектором. Свободные векторы обозначают маленькими буквами латинского алфавита (например, a или со стрелкой a ).
Свободный вектор можно переносить параллельно самому себе, и его началом можно считать любую точку пространства.
Тем самым, запись a = AB означает, что свободный вектор a
откладывается от точки A (рис. 2.1).
B
a
A
Рис. 2.1
В векторной алгебре всегда имеют дело со свободными векторами (далее – просто векторами).
Назовем вектор ортом, если его длина в заданном масштабе равна единице. Для обозначения единичных векторов, или ортов,
чаще используют буквы e, i , j , k ( e = i = j = 1).
Нуль-вектором называется вектор, начало и конец которого совпадают. Он имеет нулевую длину, то есть 0 = 0 .
6
Линейные операции над векторами
Линейными операциями над векторами называются операции сложения векторов и умножение вектора на число.
Суммой двух векторов a и b называется третий вектор c = a + b , начало которого совпадает с началом вектора a , а конец
– с концом вектора b , если конец вектора a и начало вектора b
совмещаются (рис. 2.2).
b
a |
|
+ |
|
|
a |
b |
Рис. 2.2
Противоположным вектору a называется такой вектор
(− a), который при сложении с вектором a дает нуль-вектор, то есть (- a)+ a = 0 .
Заметим, что разностью векторов a и b является сумма вектора a и вектора (− b), противоположного вектору b , то есть a − b = a + (− b).
Произведением вектора a на число λ называется такой вектор λa , направление которого совпадает с вектором a , если
λ > 0 и противоположно направлению вектора a , если λ < 0 ;
длина же вектора λa равна произведению λ на длину вектора a :
λ a = λ × a .
Пусть дан вектор a (рис. 2.3). Изобразим для примера векторы b = 2a и c = -3a :
7
b = 2a
a
|
= −3 |
|
|
|
c |
a |
Рис. 2.3 |
Свойства линейных операций над векторами
1.(a + b)+ c = a + (b + c)
2.a + b = b + a
3.a + 0 = a
4.a + (- a)= 0
5.α × (β a)= (α β )a
6.λ(a + b)= λ a + λ b
7.(λ + μ )a = λ a + μ a
8.1× a = a , где α , β , λ , μ – действительные числа.
Действия над векторами в координатной форме
Три единичных взаимно перпендикулярных вектора i , j , k
пространства называются базисными векторами или
декартовым базисом пространства. Любой вектор a
пространства может быть единственным образом разложен по
векторам базиса i , j , k (рис. 2.4):
a = a1 ×i + a2 × j + a3 × k .
8
Коэффициенты {a1 , a2 , a3} разложения вектора по базису называются его координатами. Коротко это записывают равенством a = {a1 , a2 , a3 }.
a3
a
k
j |
a2 |
i
a1
Рис.2.4
Если два вектора a и b в декартовом базисе заданы своими координатами a = { a1, a2 , a3} и b = {b1 , b2 , b3 }, то
1)λ a = {λ a1 , λ a2 , λ a3 };
2)a + b = {a1 + b1 ; a2 + b2 ; a3 + b3}.
Пример. Найти координаты вектора c = 2a + b , если a = {1; 2;3}, b = {−1; 0;1}.
Решение:
2a = {2 ×1; 2 × 2; 2 ×3}= {2; 4; 6}.
c = 2a + b = {2; 4; 6}+ {−1; 0;1}= {2 + (−1); 4 + 0; 6 +1} = {1; 4; 7}.
Ответ: c = {1; 4; 7}.
Прямоугольной декартовой системой координат в
пространстве называется совокупность точки O и базиса (i, j, k ).
Точка O называется началом координат, оси Ox , Oy и Oz ,
проходящие через начало координат в направлении базисных
9