9744
.pdfПарабола
Множество всех точек плоскости, равноудалённых от данной
точки F (фокуса) и данной прямой L (директрисы), называется
параболой. Расстояние от фокуса до директрисы параболы
принято обозначать через p (рис. 5.3). Величину p называют
фокальным параметром параболы.
Для получения уравнения параболы необходимо ввести систему координат на плоскости. Проведём ось абсцисс через фокус параболы перпендикулярно директрисе, будем считать её направленной от директрисы к фокусу; начало координат расположим посередине между фокусом и директрисой (рис. 5.3).
Тогда координаты фокуса |
F |
p |
; 0 |
|
, а уравнение директрисы в |
|||
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
этой системе координат имеет вид |
x = − |
p |
. |
|||||
|
||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
Рис. 5.3
Координаты произвольной точки M параболы обозначим x
|
|
|
|
p 2 |
|
2 |
|
|
||
и y , |
запишем расстояние |
MF = |
x − |
|
|
+ y |
|
. |
Расстояние от |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
точки |
M до директрисы |
равно |
MQ , |
где |
Q |
|
– основание |
перпендикуляра, опущенного из M на директрису. Поскольку Q
50
имеет координаты − |
p |
; y |
, |
то MQ = x + |
p |
. Тогда для параболы |
|||||||||||
2 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
p 2 |
+ y |
2 |
= x + |
|
p |
|
|
||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Возведём обе части полученного равенства в квадрат |
|||||||||||||||||
x2 − px + |
p2 |
|
+ y2 = x2 + px + |
p2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
||
и запишем каноническое уравнение параболы |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
y2 = 2 px . |
|
|
|
|
|
(5.4) |
|||||||
Как для эллипса |
и |
гиперболы, |
|
уравнение параболы тоже |
является частным случаем уравнения второго порядка. Оно
получается из (5.1) при
Уравнение (5.4) содержит переменную y только в чётной
степени, что доказывает симметрию параболы относительно оси
Ox . Так как p > 0 , то переменная x должна быть
неотрицательной. Это означает, что парабола расположена справа
от оси |
Oy . |
Если |
x = 0 , |
получаем |
y = 0 . |
|
При |
возрастании |
x |
|
возрастает и |
y (причём, если x → +∞ , то |
y → +∞ ). Построив в |
||||||||
|
|
|
|
y = |
|
|
|
|
|
|
первой |
четверти |
график |
функции |
|
2 px |
и отразив |
его |
симметрично относительно оси Ox , получим геометрическое изображение параболы (рис. 5.3). Ось симметрии параболы (в
данном случае совпадающая с осью Ox ) называется её осью.
Точка, в которой парабола пересекает свою ось, называется её
вершиной (в нашем случае вершина совпадает с началом координат).
|
Для описания геометрического смысла фокального параметра |
p |
можно взять какое-либо значение абсциссы, например, x = 1. |
Из |
уравнения (5.4) найдём соответствующие ему значения |
|
51 |
ординаты: |
y = ± |
2 p |
. |
Это даёт |
на параболе |
две точки |
||||||
M1 (1; |
|
) |
и M 2 (1; − |
|
), расстояние между которыми равно |
|||||||
2 p |
||||||||||||
2 p |
||||||||||||
|
|
|
|
p , тем больше расстояние |
||||||||
2 2 p . |
Тем самым, чем больше |
|||||||||||
M1M 2 . |
Следовательно, |
параметр |
p характеризует |
«ширину» |
области, ограниченной параболой.
Кроме рассмотренных классических кривых, уравнение линии второго порядка может привести ещё к нескольким
геометрическим случаям, называемым вырожденными.
Вырожденные случаи
Если в уравнении линии второго порядка (5.1)
коэффициенты |
|
|
|
B = D = E = F = 0 , |
то |
остаётся |
только |
два |
||||||
слагаемых, т.е. |
|
Ax2 + Cy2 = 0 . |
При одинаковых знаках |
A и C |
||||||||||
уравнению соответствует на |
плоскости |
одна |
точка – |
начало |
||||||||||
координат. При разных знаках |
A и C – |
пара пересекающихся |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прямых |
y = ± |
|
− |
|
A |
|
x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Если в уравнении (5.1) остаются ненулевыми два других |
||||||||||||||
слагаемых, например, оно имеет вид |
Cy2 + F = 0 |
, то возможны |
||||||||||||
две ситуации: при одинаковых знаках коэффициентов C и F |
||||||||||||||
решений |
нет, |
а при разных знаках C и F |
получаются |
две |
||||||||||
параллельные прямые. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Если из уравнения (5.1) остаётся одно слагаемое Cy2 = 0 или |
||||||||||||||
Ax2 = 0 , |
то |
на |
|
|
плоскости |
получается одна прямая. Если |
||||||||
B = D = E = 0 |
и |
в уравнении |
Ax2 + Cy2 + F = 0 |
коэффициенты |
A > 0,С > 0, F > 0 , то опять ему не удовлетворяют координаты ни одной точки плоскости.
52
§6. Приведение уравнения линии второго порядка к
каноническому виду
Мы рассмотрели все геометрические ситуации, к которым может привести общее уравнение линии второго порядка (5.1). В
задачах аналитической геометрии обычно задаётся вид
уравнения второго порядка с конкретными числовыми коэффициентами. В нём могут присутствовать произведение координат x и y (т.е. B ¹ 0 ) или переменные x и y без
квадратов ( D ¹ 0 или Е ¹ 0 ). Это будет означать, что в исходной системе координат уравнение не является каноническим. Нужно перейти к другой системе координат, в которой уравнение будет иметь канонический вид. Это даст возможность определить, к
какому из рассмотренных случаев относится заданное уравнение.
После этого легко будет построить график заданной кривой.
Для приведения уравнения линии второго порядка к каноническому виду используются только те преобразования
системы координат, которые не изменяют расстояния между
точками, то есть не деформируют кривую. К таким преобразованиям, в частности, относятся параллельный перенос и поворот осей координат. Разберём далее, что происходит с уравнениями при параллельном переносе координат.
Параллельный перенос осей координат
Рассмотрим на плоскости прямоугольную декартову систему координат xOy . Выберем начало вспомогательной системы координат в точке Oў(x0 ; y0 ). Оси Oўxў и Oўyў расположим
параллельно соответствующим осям Ox и Oy , одинаково с ними направив. Масштаб сохраняем. Такой переход от системы xOy к системе Oўxўyў называется параллельным переносом осей координат.
53
y |
y′ |
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
y′ |
′ |
|
|
|
|
O |
|
|
y |
x′ |
x |
′ |
|
|
||||
|
|
|
|
|
O |
x |
y′ |
|
|
Рис. 6.1
Для произвольной точки M координаты относительно
исходных осей обозначим через (x; y), а координаты по отношению к «новым» осям обозначим (xў; yў). Поскольку имеет
место векторное равенство OM = OOў+ OўM (рис. 6.1), то можно записать в координатах
|
м |
|
|
|
|
|
пx = xў+ x |
|
|
||
|
п |
|
0 |
|
|
|
н |
ў |
|
(6.1) |
|
|
п |
|
|||
|
опy = y + y0 |
|
|
||
|
|
|
|
x; y |
) |
Формулы (6.1) позволяют находить исходные координаты ( |
|||||
xў; yў |
при параллельном переносе. |
«Новые» |
|||
по известным ( |
) |
||||
координаты выражаются через исходные следующим образом: |
|
||||
|
|
м |
|
|
|
|
|
пxў= x - x |
|
|
|
|
|
п |
0 |
|
|
|
|
н |
y , |
(6.2) |
|
|
|
пyў= y - |
|
||
|
|
п |
|
|
|
о |
0 |
|
Пример. Какой вид приобретёт уравнение прямой y = 3x - 1
в новой системе координат, если совершается параллельный перенос осей координат к новому началу Oў(1;2)?
54
|
м |
|
Решение. Используя (6.1) в виде |
пп x = xў+ 1 |
, получим |
н |
||
|
ппy = yў+ 2 |
|
|
о |
|
yў+ 2 = 3(xў+ 1)- 1 или yў= 3xў. |
|
|
Ответ: yў= 3xў |
|
|
Видим, что после параллельного переноса уравнение может упроститься (а может и усложниться). Важно правильно выбирать новое начало координат.
Пример. Привести к каноническому виду уравнение
(x - 1)2 + (y + 3)2 = 4 . Построить кривую, заданную этим
уравнением.
Решение. Ясно, что полезен параллельный перенос
м
пп xў= x- 1 .
н
ппyў= y + 3
о
Уравнение xў2 + yў2 = 4 определяет окружность радиуса 2 с
центром в начале координат Oў(1;- 3). На рисунке 6.2 отражено
построение, соответствующее такому преобразованию.
Ответ: xў2 + yў2 = 4.
y y′
O |
|
x |
|
||
|
|
|
O′ |
− 3 |
x′ |
Рис. 6.2
55
Пример. Привести к каноническому виду уравнение:
x2 + 2x + 4 y2 - 16 y = 8 .
Решение. Здесь потребуется сначала выделить полные
квадраты |
|
|
(x2 + 2x + 1)- 1+ 4(y2 - 4 y + 4)- 16 = 8 |
или |
(x + 1)2 + 4(y - 2)2 = 25 . |
Тогда после параллельного переноса, задаваемого формулами
м |
|
|
|
|
|
|
|
пп xў= x + 1 |
, |
|
|
||||
н |
|
|
|
|
|||
ппyў= y - 2 |
|
|
|
|
|||
о |
|
|
|
|
|
|
|
уравнение приобретает вид |
xў2 |
+ |
|
yў2 |
= 1. |
||
25 |
25 |
||||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
4 |
|
|
Получилось каноническое уравнение эллипса с полуосями a = 5
и |
b = |
5 |
, центр которого находится в новом начале координат |
|||||||
|
||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Oў(- 1;2). Отражаем это рисунком 6.3. |
||||||||||
|
Ответ: |
xў2 |
+ |
|
yў2 |
= 1. |
|
|||
|
|
|
25 |
|
||||||
|
25 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′ |
y |
O′ 2
x′
−1 O
x
Рис. 6.3
56
Классификация кривых второго порядка
Если исходное уравнение кривой второго порядка вида (5.1)
содержит произведение координат x и y (т.е. B ¹ 0 ), то для приведения его к каноническому виду используется поворот системы координат (мы его здесь не рассматриваем).
Если же в уравнении (5.1) присутствуют переменные x и y
без квадратов ( D ¹ 0 или Е ¹ 0 ), то выполняется параллельный перенос осей координат для того, чтобы уравнение в новой системе координат приобрело канонический вид. Этих преобразований достаточно для решения поставленных задач.
Проанализируем возникающие ситуации. Для этого рассмотрим коэффициенты A и C при квадратах переменных в канонических уравнениях основных линий и найдём их произведение.
Для канонического уравнения эллипса |
A = |
1 |
, |
C = |
1 |
, т.е. |
||||||
a2 |
b2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
произведение AC > 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
для гиперболы A = |
1 |
|
, C = − |
1 |
, т.е. AC < 0 ; |
|
|
|
|
|||
a2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
|||
для параболы A = 0 , |
C = 1, т.е. AC = 0 . |
|
|
|
|
|
|
Остальные виды канонических уравнений можно распределить по типам таким образом, чтобы для каждого из уравнений первого типа число AC было положительно,
отрицательно для второго и равно нулю для уравнений третьего типа. Тогда получаем классификацию:
57
I. Эллиптический тип:
|
x |
2 |
|
y2 |
|
||
1) |
|
|
+ |
|
|
= 1 |
(эллипс или окружность), |
a |
2 |
b |
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
2) |
x |
2 |
+ |
y |
2 |
= 0 |
(точка), |
|
|
|
|
||||
a |
2 |
b |
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
3) |
x2 |
|
+ |
|
y2 |
= - 1 (пустое множество). |
||||||||||
a |
2 |
|
b |
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
II. Гиперболический тип: |
||||||||||||||||
4) |
|
x |
2 |
- |
|
|
y2 |
|
= 1 |
(гипербола), |
||||||
|
a |
2 |
|
b2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5) |
|
x2 |
|
- |
|
|
y2 |
|
= 0 |
(пара пересекающихся прямых). |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
a |
2 |
|
|
b |
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
III. Параболический тип:
6)y2 = 2 px (парабола),
7)y2 = a2 (пара параллельных прямых),
8)y2 = 0 (прямая),
9)y2 = - a2 (пустое множество).
Полученную классификацию можно использовать в любой задаче, связанной с уравнением второго порядка – даже если,
например, в нём B ¹ 0 . Оказывается, по исходным
коэффициентам уравнения (5.1), которые присутствуют в конкретной задаче, можно сразу определить, к какому типу относится линия, задаваемая этим уравнением:
I. Если |
AC − B2 > 0 , |
то |
уравнение |
задаёт |
линию, |
относящуюся к эллиптическому типу. |
|
|
|||
II. Если |
AC − B2 < 0 , |
то |
уравнение |
задаёт |
линию, |
относящуюся к гиперболическому типу. |
|
|
|||
|
|
58 |
|
|
|
III. Если |
AC − B2 = 0 , |
то |
уравнение задаёт линию, |
относящуюся к параболическому типу. |
|||
Пример. |
Определить |
тип |
кривой, заданной уравнением |
xy = 3 .
Решение. В заданном уравнении A = C = 0, 2B = 1. Так как
AC − B2 = − 14 < 0 , оно задаёт линию гиперболического типа, В
этом случае для построения можно пользоваться привычной записью уравнения гиперболы в виде y = 3x (x ¹ 0) .
Ответ: уравнение задает кривую гиперболического типа.
Итак, чтобы разобраться с построением линий по уравнению второго порядка (5.1), нужно сначала определить тип линии, задаваемой уравнением. Далее приводят уравнение к каноническому виду, выполняя соответствующие преобразования координат.
§7. Поверхности второго порядка
Переходим к изучению поверхностей в трехмерном пространстве. Будем рассматривать поверхности, задаваемые уравнениями, включающими вторые степени текущих координат x , y и z или их взаимное произведение. Уравнение вида
Ax2 + By2 + Cz2 + 2Dxy + 2Exz + |
|
|
|||
+2Fyz + 2Gx + 2Hy + 2Kz + L = 0 , |
|
(7.1) |
|||
где коэффициенты A, B,C, D, E , F ,G , H , K иL |
— |
любые |
|||
действительные |
числа, но, по крайней |
мере, одно из |
чисел |
||
A, B,C, D, E |
или |
F отлично от |
нуля |
(т.е. |
|
A2 + B2 + C2 + D2 + E2 + F 2 ¹ 0 ), |
называется |
|
общим |
||
уравнением поверхности второго порядка. |
|
|
|||
|
|
59 |
|
|
|