9745
.pdfвекторов i , j и k называются осями координат. Плоскости xOy , xOz и yOz , проходящие через каждую пару осей координат,
называются координатными плоскостями.
Вектор OM , соединяющий начало координат и произвольную точку M пространства, называется радиус-
вектором точки M . Координаты радиус-вектора OM называются координатами точки M в прямоугольной декартовой системе координат. Тем самым, обозначение координат точки M (x; y; z)
соответствует равенству OM = {x; y; z}, то есть координатами точки M являются проекции вектора OM на оси Ox , Oy и Oz
соответственно (рис. 2.5)
z
M
|
O |
|
B |
A |
|
x |
||
|
y
Рис. 2.5
Длина вектора OM |
находится из двух |
прямоугольных |
||||||||||||||||||||||
треугольников |
OBA и OAM : |
|
||||||||||||||||||||||
OA2 = OB2 + AB2 = x2 + y2 ; |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||
|
OM |
|
OA2 + AM 2 |
x2 + y2 + z 2 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
, если |
|
|
= |
|
− 2 |
|
+ 2 |
|
. |
|
|||||||||||
Пример. Найти |
|
a |
|
a |
i |
j |
k |
|
||||||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
= {1;−2; 2}, то |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Поскольку |
|
|
a |
длина вектора |
a = 12 + (− 2)2 + 22 = 3.
Ответ: a = 3.
10
Если для |
вектора AB известны |
координаты |
его начала |
|||||||
A(x1; y1; z1) и |
конца B(x2; y2; z2 ), |
то |
можно |
найти его |
||||||
координаты, |
учитывая, |
|
|
|
= |
|
- |
|
: |
|
что |
|
AB |
OB |
OA |
AB = {x2 - x1; y2 - y1; z2 - z1} .
Пример. Найти координаты вектора AB , если A(1;2;3) ,
B(−1;0;1) .
Решение:
AB = {-1-1;0 - 2;1- 3} = {-2;- 2;- 2} .
Ответ: AB = {−2;− 2;− 2}.
Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением a ×b двух ненулевых векторов
a и b называется число, равное произведению длин этих
векторов на косинус угла между ними: a ×b = a × b × cos (a b) .
Свойства скалярного произведения
1)a ×b = b × a ;
2)(λ a)×b = λ(a ×b), λ R ;
3)a × (b + c)= a ×b + a × c ;
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) a × a = |
|
a |
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
× |
|
. |
|
|
|
|
|
|
(2.1) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
a |
||||||||||||||||||||
Пример. |
|
|
|
|
|
= |
|
+ 2 |
|
, если |
|
|
|
|
= 2 , |
|||||||||||||||
|
Найти |
|
длину вектора |
c |
a |
b |
|
a |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b =1, a b = 60O .
11
Решение. По формуле (2.1), находим
c = c × c = (a + 2b)× (a + 2b) = a 2 + 4a b + 4 b 2 =
= 22 + 4 a × b × cos a b+ 4 ×12 = 4 + 4 × 2 ×1× cos 60O + 4 =
=8 + 8 × 1 = 12 = 23 .
2
Ответ: c = 23 .
|
|
Если два |
вектора a и b |
заданы своими |
координатами |
||||||||
|
|
= {a1; a2 ; a3 } |
|
|
|
|
|
|
= {b1 ;b2 ;b3 }, |
|
|
|
|
|
a |
и |
b |
то их скалярное |
произведение |
||||||||
находим по формуле |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
× |
|
= a1 ×b1 + a2b2 + a3b3 . |
|
|
|
|||
|
|
|
|
a |
b |
(2.2) |
|||||||
|
|
Пример. |
|
|
|||||||||
|
|
Найти скалярное |
произведение векторов 2 |
a |
и |
(- 3b), если a = {1; 2;3} и b = {0;-1;1}.
Решение. Координаты векторов 2a и (- 3b)
2a = 2{1; 2;3} = {2 ×1; 2 × 2; 2 ×3} = {2; 4; 6};
(- 3b)= -3{0;-1;1} = {- 3 × 0;-3 ×(-1);-3 ×1} = {0;3;-3}.
По формуле (2.2) искомое скалярное произведение равно
2a × (- 3b)= 2 × 0 + 4 ×3 + 6 × (- 3) = 0 +12 -18 = -6.
Ответ: − 6 .
Некоторые приложения скалярного произведения
1. Угол между двумя ненулевыми векторами a = {a1; a2 ; a3 } и b = {b1 ; b2 ; b3 } из определения скалярного произведения вычисляется по формуле
12
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a ×b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
( |
|
|
|
|
|
) = arccos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
a |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
× |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
a |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
a1b1 + a2b2 |
+ a3b3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
(a b) = arccos |
|
|
|
|
|
|
|
(2.3) |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
a2 |
+ a2 |
+ a2 |
× |
|
|
|
b2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ b2 + b2 |
|||||||||||||||||||||||||
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Пример. Найти угол между векторами |
|
|
|
|
= |
|
+ 2 |
|
+ 2 |
|
и |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
a |
i |
j |
k |
b = - j + k .
Решение. Координаты векторов a и b : a = {1; 2; 2} и b = {0;-1;1}.
Тогда по формуле (2.3), угол между векторами a и b равен:
|
|
|
|
|
1×0 + 2 ×(-1) + 2 ×1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 -1+ 2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( |
a |
|
b |
) = arccos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= arccos |
3× |
|
|
|
= |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
)2 |
|
|
|
|
|
0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
2 |
+ |
2 |
2 |
× |
0 |
2 |
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 + 2 |
|
|
|
+ - |
1 |
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
= arccos 0 , следовательно, ( |
a |
|
b |
) = 90O , то есть |
a |
^ |
b |
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Ответ: 90O . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2. Проекция вектора |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
a |
|
на вектор |
b |
|
вычисляется по формуле |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
× |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
np |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 |
|
+ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Пример. Найти |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
np |
|
|
|
b |
, если |
|
|
a |
i |
k |
и |
b |
i |
j |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
a |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= {1; 0;-1}, |
|
|
|
= {2;1; 0}. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Координаты векторов |
|
|
|
|
|
|
a |
|
b |
Тогда
|
|
|
|
= |
|
|
|
× |
|
|
|
|
|
= |
|
1× 2 + 0 ×1 + (-1)× |
0 |
= |
2 |
|
= |
|
. |
|||||||
|
|
|
|
a |
b |
|||||||||||||||||||||||||
np |
|
|
b |
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
a |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
12 + 02 + (-1)2 |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
Ответ: |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
np |
|
|
|
b |
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13
Векторное произведение векторов
Три некомпланарных (непараллельных одной плоскости)
вектора a , b и c , взятые в указанном порядке, образуют правую тройку векторов, если из конца третьего вектора c кратчайший
поворот от первого вектора a ко второму вектору b виден происходящим против хода часовой стрелки (и левую, если по часовой) (рис. 2.6)
c |
c |
b |
b |
a |
a |
правая |
левая |
|
|
тройка |
тройка |
|
|
|
Рис.2.6 |
Векторным произведением a ´ b = c вектора a на вектор b
называется такой вектор c , что
1) |
|
|
|
|
^ |
|
, |
|
|
|
^ |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
c |
a |
c |
b |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
× |
|
|
|
|
×sin |
|
|||||||||||||
2) |
|
|
|
c |
|
|
a |
|
|
b |
|
a |
|
|
b |
; |
|
|
|
|
|||||||||||
3) |
|
|
, и |
|
– правая. |
||||||||||||||||||||||||||
тройка векторов |
a |
, |
b |
c |
Из определения векторного произведения непосредственно
вытекают следующие соотношения между ортами i , j , и k :
|
|
´ |
|
= |
|
, |
|
|
´ |
|
= |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
´ |
|
|
|
= |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
i |
j |
k |
j |
k |
i |
k |
i |
|
j |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Поскольку тройки векторов ( |
|
|
, |
|
, |
|
|
|
), |
( |
|
|
, |
|
|
, |
|
) и ( |
|
, |
|
, |
|
) левые, |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
j |
i |
k |
k |
j |
i |
i |
k |
j |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
´ |
|
= - |
|
, |
|
|
|
´ |
|
= - |
|
, |
|
|
|
´ |
|
= - |
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
j |
i |
k |
|
k |
j |
i |
|
i |
k |
j |
14
Свойства векторного произведения
1)a × b = −(b × a);
2)c × (a + b)= c × a + c × b ;
3)λ(a ´ b)= (λ a)´ b = a ´ (λb), λ R ;
4)a ´ b = 0 a || b .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
векторов |
|
|
|
= {a1; a2 ; a3 } и |
||||||||
|
|
Векторное |
произведение |
|
двух |
a |
|||||||||||||||||||||||
|
|
= {b1 ; b2 ; b3 } находится по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
´ |
|
= |
|
a2 |
a3 |
|
× |
|
- |
|
a1 |
a3 |
|
× |
|
+ |
|
a1 |
a2 |
|
× |
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
a |
b |
i |
j |
k |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
b2 |
b3 |
|
|
|
|
|
b1 |
b3 |
|
|
|
|
|
b1 |
b2 |
|
|
|
|
||
|
|
Пример. |
Найти |
векторное |
|
|
|
произведение векторов |
a = {1; 2;3} и b = {0;1;-1}.
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
a ´ b = |
×i - |
× j + |
× k = |
|||||||||||||||||||||
1 |
-1 |
|
|
0 |
-1 |
|
|
0 |
1 |
= (- 2 - 3)×i - (-1 - 0)× j + (1 - 0)× k = - 5i + j + k .
Ответ: a ´ b = - 5i + j + k .
Геометрический смысл векторного произведения состоит в том, что площадь параллелограмма, построенного на векторах
a и b (рис. 2.7) равна модулю векторного произведения векторов a и b , так как
a ´b = a × b ×sin α = Sпарал. .
b
α
a Рис. 2.7
15
Следовательно, площадь треугольника, построенного на векторах a и b (рис. 2.8) равна половине модуля векторного
произведения, построенного на векторах a и b :
S = |
1 |
|
= |
1 |
|
|
|
´ |
|
|
. |
|
Sпарал. |
|
|
a |
b |
|
|||||||
|
|
|||||||||||
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
b
a |
Рис. 2.8 |
Пример. Найти площадь треугольника, построенного на
векторах |
|
= 2 |
|
- |
|
|
|
|
|
и |
|
|
= |
|
- |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
a |
i |
k |
b |
j |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
= {2; 0 −1} и |
|
|
= {0;1;−1}. Тогда |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
a |
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
a ´ b = |
|
×i - |
|
× j |
+ |
× k = |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
-1 |
|
|
|
0 |
|
-1 |
|
0 |
1 |
= (0 - (-1))×i - (- 2 - 0)× j + (2 - 0)× k = i + 2 j + 2k ;
|
´ |
|
|
= |
|
|
|
12 + 22 + 22 |
= 3 , следовательно |
|||||||||
a |
b |
|||||||||||||||||
S = |
1 |
|
|
|
|
´ |
|
|
|
= |
1 |
×3 = 1,5(кв. ед.). |
||||||
|
|
|
a |
b |
|
|||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
Ответ: 1,5 кв. ед.
Смешанное произведение векторов
Рассмотрим произведение трех векторов |
a , b и c , |
составленное следующим образом: (a ´ b)× c , то есть первые два
вектора a и b умножаются векторно, а их результат - скалярно на
третий вектор c . Такое произведение векторов называется
смешанным и обозначается a b c , то есть (a ´ b)× c = abc .
16
Смешанное произведение трех векторов a , b и c
представляет собой число, равное объему параллелепипеда,
построенного на этих векторах (рис. 2.9), взятое со знаком
«плюс», если эти три вектора образуют правую тройку и со знаком «минус», если они образуют левую тройку векторов.
c
b
a |
Рис. 2.9 |
Свойства смешанного произведения
1)(a ´b)× c = (b ´ c)× a = (c ´ a)×b ;
2)(a ´b)× c = a × (b ´ c);
3) a b c = −a c b ; a b c = −b a c , a b c = −c b a ;
4) Если a b c = 0 , то векторы a , b и c компланарны.
Смешанное произведение трех векторов a , b и c , заданных своими координатами a = {a1; a2 ; a3 }, b = {b1 ; b2 ; b3 } и c = {c1; c2 ; c3 }, вычисляется по формуле
|
|
|
|
|
|
|
a1 |
a2 |
a3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
b1 |
b2 |
b3 |
. |
|
a |
b |
c |
(2.4) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
c1 |
c2 |
c3 |
|
|
Пример. Вычислить смешанное произведение |
векторов |
a = 2i - j , b = j - k , c = i + j + k .
Решение. a = {2;−1; 0}, b = {0;1;−1}, c = {1;1;1}. Тогда
17
|
|
2 |
−1 |
0 |
|
|
||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
0 |
1 |
−1 |
|
= 2 + 0 +1 − 0 + 2 + 0 = 5. |
a |
b |
c |
||||||||||
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: a b c = 5.
Исходя из геометрического смысла смешанного произведения, имеем, что объем параллелепипеда, построенного на векторах a , b и c (рис. 2.9) вычисляется по формуле
Vnap. = a bc .
Объем треугольной пирамиды, построенной на трех векторах a , b и c (рис. 2.10) вычисляется по формуле
Vnup. = 1 a b c .
6
a |
c |
b
Рис. 2.10
Пример. Найти объем пирамиды, построенной на векторах a = {1; 2;3}, b = {0;1;−1} и c = {0;−1; 0}.
Решение.
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
0 |
|
|
1 −1 |
|
= 0 − 0 − 0 − 0 −1 − 0 = −1. |
|||||||||||||||||||||
a |
b |
c |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
−1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
= |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
× |
|
-1 |
|
= |
1 |
(куб. ед.). |
|||||||||||
Тогда V |
|
|
|
|
a |
|
b |
|
c |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
nup. |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
6 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Ответ: |
V |
|
|
= |
(куб. ед.). |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
nup . |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
§ 3. Прямая линия на плоскости
Переходим к изучению прямой линии на плоскости. В
аналитической геометрии фигуры описывают формулами.
Введение на плоскости прямоугольной декартовой системы координат позволяет определять положение точки на плоскости
заданием двух чисел – ее координат, а положение прямой на
плоскости определять с помощью уравнения, то есть равенства,
связывающего координаты точек прямой.
Исследование уравнения прямой позволяет аналитически проводить изучение геометрических свойств прямой. Так, для
того, чтобы установить, лежит ли точка на прямой
F (x, y) = 0, достаточно проверить (не прибегая к геометрическим построениям), удовлетворяют ли координаты точки M 0
уравнению |
F (x, y) = 0 |
этой |
прямой, |
то |
есть, |
выполняется ли |
|
равенство F ( x0 , y0 ) = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Лежит ли точка M 0 (1; 2) на прямой l : 3x − y +1 = 0? |
|||||||
Решение. Подставив в уравнение |
прямой |
3x - y +1 = 0 |
|||||
координаты |
точки |
M 0 |
вместо |
x |
и |
y |
получаем: |
3 ×1 - 2 +1 = 3 -1 = 2 ¹ 0 .
Следовательно, точка M 0 не лежит на данной прямой l .
Общее уравнение прямой
Пусть в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости xOy задана точка M 0 (x0 ; y0 ) и вектор N{A; B}.
Требуется составить уравнение прямой l , проходящей через точку M 0 и перпендикулярной вектору N . (рис. 3.1)
19