9808
.pdf(a x )′ = a x ln a , |
(e x )′ = e x , |
а также формулы, выражающие правила дифференцирования:
(u ± v)′ = u¢ ± v¢, |
(u × v)′ = u¢v + v¢u , |
|
(c × f )′ = cf ¢, |
c = const, |
|||||||||
|
|
′ |
|
′ |
′ |
' |
′ ′ |
|
x = x(t) |
′ |
|
′ |
|
u |
|
u v − v u |
|
|
|
|
yt |
||||||
|
|
|
= |
|
|
, [ f (u(x))]x = fu ux |
, |
y = y(t) |
yx |
= |
|
. |
|
v |
|
v2 |
xt′ |
19.6. Производные высших порядков. Выше речь шла о понятии производной или первой производной функции. Производные высших порядков определяются по индукции.
Производной n -го порядка называется производная от |
(n − 1) -ой |
|
производной. Так, вторая производная функции y = f ( x) равна |
|
|
′′ |
′ ′ |
|
f (x) = ( f (x)) . |
|
|
Отметим физический смысл второй производной в случае, когда задан |
||
закон изменения пути как функция времени, т.е. s = s(t) . Тогда |
′ |
|
s (t) есть |
скорость, а s′′(t) – ускорение в момент времени t .
Если функция задана явно, то вычисление ее высших производных сводится к повторному дифференцированию. Если функция y задана не-
явно F ( x, y ) = 0 , то для отыскания её n -ой производной нужно соответст-
вующее число раз продифференцировать определяющее ее уравнение, помня, что y и все её производные есть функции независимой переменной x . Например,
x2 + y2 =1 2x + 2 yy′ = 0 y′ = − x .
|
|
|
|
y |
|
Дифференцируя второй раз, получим |
|
|
|
|
|
2 + 2 y′ × y′ + 2 y × y′′ = 0 y¢¢ = - |
1 + y¢2 |
= - |
x2 + y2 |
. |
|
y |
|
||||
|
|
|
y3 |
||
В случае параметрического задания функции |
|
|
|
||
x = x(t) |
, α ≤ t ≤ β |
|
|
|
|
y = y(t) |
|
|
|
||
140 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
′ |
= |
y (t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
первая производная равна |
|
|
|
|
′ . |
|
Для нахождения второй производ- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
yx |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x (t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ной продифференцируем это равенство по |
|
|
x , |
имея в виду, |
|
что t есть |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
функция x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' |
|
|
|
|
y¢ |
t |
' |
|
1 |
&&& |
|
&& |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
y" = |
( y¢ ) |
|
×t' |
= |
|
|
|
|
|
|
|
× |
= |
|
yx - xy |
, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
(t ) |
|
x¢(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
xx |
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
x¢ |
t |
|
|
|
|
|
|
x&3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
где точка сверху обозначает производную по |
t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Например, |
x = a cost |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yx' |
= |
|
|
bcost |
|
= − |
|
b |
ctgt , |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
= bsin t |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−asin t |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
'' |
|
|
b |
|
|
|
' |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
||
yxx |
= - |
|
ctg t |
× |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
× |
|
|
|
|
|
|
|
= - |
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||
a |
& |
|
a sin |
2 |
t |
|
-a sin t |
a |
2 |
sin |
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
Аналогично можно найти производные более высоких порядков.
141
Лекция 20. Вектор-функция
20.1. Вектор-функция и её задание. К понятию вектор-функции
или векторной функции скалярного аргумента мы приходим, изучая переменный вектор. С переменным вектором мы уже имели дело, когда записывали уравнение прямой в пространстве в векторной форме (см. рис. 20.1)
z
|
R |
|
|
|
|
|
|
s = { m, n, p} |
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
s |
M |
× s |
|
|
|
|
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
R |
|
|
r (t) = { x(t), y(t), z(t)} |
|
|
|
r0 |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 20.1 |
|
|
|
R |
R |
R |
+ t m)i + ( y0 |
+ t n) j + (z0 |
+ t p)k , − ∞ < t < +∞ . |
|
r (t) = r0 |
+ t s = (x0 |
|||||
Суть в том, что координаты радиус-вектора |
r (t ) есть некоторые функции |
переменного t . Поэтому естественно следующее определение вектор-
функции: если каждому значению вещественного переменного t из не-
которого промежутка по определённому закону поставлен в соответствие вектор
R = + +
r (t) x(t)i y(t) j z(t)k ,
то будем говорить, что в промежутке |
α ≤ t ≤ β задана вектор-функция |
r (t ) . |
|
Вектор r (t ) будем считать выходящим из начала координат, т.е. это |
|
радиус-вектор. При этом конец вектора |
M (x(t), y(t), z(t)) будет описывать |
некоторую линию L(годограф), параметрические уравнения которой да- |
|
ются формулами |
|
x = x(t), |
|
|
α ≤ t ≤ β |
y = y(t), |
z = z(t),
142
Таким образом, задание вектор-функции эквивалентно заданию трёх скалярных функций, являющихся координатами её радиус-вектора. Название
– годограф происходит от греческих слов hodos – путь и grapho – пишу. Началом всех векторов для построения годографа может служить любая фиксированная точка плоскости.
20.2. Предел, непрерывность и производная вектор-функции. По-
нятия предела, непрерывности и производной вектор-функции введём «покоординатно», а именно: вектор-функция
R = + +
r (t) x(t)i y(t) j z(t)k
в некоторой точке t0 имеет предел, непрерывна, дифференцируема, если соответственно имеют предел, непрерывны и дифференцируемы в этой
точке функции x(t), y(t), z(t) . |
При этом полагают |
|||||||||||
R |
|
|
|
|
|
|
+ lim y(t) × j + lim x(t) × k |
|||||
lim r (t) = lim x(t) × i |
||||||||||||
t→t0 |
|
t→t0 |
|
|
|
t→t0 |
|
|
t→t0 |
|||
|
|
d r |
|
= |
d x |
R |
+ |
d y |
R |
+ |
d z |
R |
|
|
i |
j |
k . |
||||||||
|
|
dt |
|
|
|
|||||||
|
|
|
dt |
|
dt |
|
dt |
|||||
Производной вектор-функции |
r (t ) в точке t0 называется предел |
|||||||||||
отношения приращения |
r к приращению |
|
t , когда последнее стремит- |
ся к нулю. В математической символике это определение записывается известным образом:
R |
r |
|
r (t |
0 |
+ |
t) − r (t |
) |
|
dr |
|
r′(t0 ) = lim |
|
= lim |
|
|
0 |
|
= |
|
. |
|
t |
|
|
|
t |
|
|
||||
t→0 |
t→0 |
|
|
|
|
dt |
Геометрический смысл производной векторной функции скалярного аргумента близок к геометрическому смыслу производной числовой функции. Будем предполагать, что годограф вектор-функции в точке
M 0 (x0 , y0 , z0 ) = M 0 (x(t0 ), y(t0 ), z(t0 ))
имеет касательную, определяемую как предельное положение секущей M0M . Направление движения точки соответствующее возрастанию параметра t обозначим на рисунке стрелкой (см. рис. 20.2). Рассмотрим два
случая, когда значение аргумента t0 |
получает как положительное, так и от- |
|
рицательное приращение t . Вектор r = r (t0 + t) − r (t0 ) – |
это хорда |
|
(греч. χορδη – струна). В случае положительного приращения |
t > 0 он |
|
направлен по секущей в сторону, |
соответствующую возрастанию аргу- |
|
|
143 |
|
мента t0 , а в случае t < 0 в противоположном направлении. Вектор же
r будучи коллинеарным вектору r в любом случае будет направлен t
вдоль секущей в сторону, соответствующую возрастанию параметра t . Поскольку секущая при t →0 примет положение касательной к годографу, то вектор
dr |
= lim |
r |
|
t |
|
dt t→0 |
будет касательным вектором к годографу в данной точке. Итак, производная вектор-функции в данной точке – это вектор касательный к её годографу и направленный в сторону возрастания параметра.
0 |
-] |
∆] |
|
0 |
∆] |
-] |
|
0 |
0 |
|
|
|
( 0 |
|
( 0 |
t) |
|
|
Рис. 20.2
Пример. Годограф вектор-функции
R = - × + - × r (t ) (t sin t ) i (1 cos t ) j
это циклоида, т.е. траектория фиксированной точки окружности единичного радиуса, катящейся по оси Ox без скольжения. Пусть t – время и окружность делает полный оборот за 2π секунд. Тогда вектор-функция
R = - × + - × r (t ) (t sin t ) i (1 cos t ) j
задаёт не только траекторию движения точки, но и закон движения.
На рис. 20.3 в точках траектории через каждые 2π/10 сек. построены векторы скорости точки
R |
- cos t ) × i |
+ sin t × j . |
r¢(t ) = (1 |
||
|
144 |
|
Самая большая скорость точки будет в момент времени t = π. Построен также годограф скорости точки. В одной из точек построен вектор ускорения. Это вектор касательный к годографу скорости в соответствующей точке.
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-0.5 |
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
-1.5 |
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
Рис. 20.3 |
|
|
||
20.3. Уравнения касательной и нормальной плоскости к про- |
||||||
странственной кривой. |
Пусть кривая L задана параметрическими урав- |
|||||
нениями |
|
|
|
|
|
|
|
|
x = x(t), |
|
|
|
|
|
|
|
|
α ≤ t ≤ β |
|
|
|
|
y = y(t), |
|
|
|
z = z(t),
и имеет в рассматриваемой точке M 0 (x0 , y0 , z0 ) = M 0 (x(t0 ), y(t0 ), z(t0 )) касательную. Это значит, что у вектор-функции
R = + +
r (t) x(t)i y(t) j z(t)k
существует производная в этой точке
|
|
R |
|
|
R |
dr |
= { x′(t0 ), y′(t0 ), z′(t0 )} . |
||
r′(t0 ) = |
|
|
||
|
||||
|
dt |
0 |
|
|
|
|
|
|
145 |
Нормальной плоскостью к данной кривой L в точке |
M 0 называют |
||
плоскость, проходящую через точку M 0 перпендикулярно |
касательной к |
||
кривой в этой точке (см. рис. 20.4). |
|
||
Пусть |
K (X ,Y , Z ) – |
произвольная точка касательной к кривой L в |
|
точке M 0 , |
а N(u,v, w) – |
точка нормальной плоскости к кривой в этой же |
|
точке. |
|
|
|
N (u, v, w)
R′
r (t0 )
M 0
K ( X ,Y , Z )
M (x, y, z)
Рис. 20.4
У нас есть все данные, чтобы написать уравнения касательной, например в
канонической форме
X − x0 = Y − x0 = Z − x0 . x¢(t0 ) y¢(t0 ) z¢(t0 )
Соответственно, уравнение нормальной плоскости будет иметь вид
x′(t0 )(u − x0 ) + y′(t0 )(v − x0 ) + z′(t0 )(w − x0 ) = 0
Пример. Написать уравнения касательной к кривой
x = cost, |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
0 £ t £ p |
|
|
|
M 0 ( 0, 1, |
) |
|
|||||
y = sin t, |
|
в точке |
|
4 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
z = t / 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Точке M 0 соответствует |
значение |
параметра |
|
t0 = π / 2 . |
Для вектор- |
|||||||
функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
R |
R |
|
t |
R |
|
|
|
|
|
|
r (t) = cost |
× i |
+ sin t × j |
+ |
|
k |
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
1 |
R |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
R |
|
|
R |
|
|
R |
|
|||
вычисляем касательный вектор |
r¢(t) = -sin t × i |
+ cost × |
j |
+ |
|
k , |
||||||
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
146 |
|
|
|
|
|
|
|
|
r′(t0 ) = r′(π / 2) = { − 1, 0, 0.5}
Записываем уравнения касательной в канонической форме |
|
|||||||
|
x − 0 |
= |
y −1 |
= |
z − π / 4 |
|
|
|
|
−1 |
0 |
|
|
0.5 |
y = 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
или в виде пересечения двух плоскостей |
|
|
2x + z − π = 0
Уравнение нормальной плоскости
−1(x − 0) + 0( y −1) + 0.5(z − π/ 4) = 0
или 8 x − 4 z + π = 0 (см. рис. 20.5)
Рис. 20.5
147
Лекция 21. Дифференциал
21.1. Дифференциал. Прежде, чем ввести понятие дифференциала, рассмотрим следующую задачу: пусть скорость велосипедиста в данный момент
v = 12 |
км |
= |
10 |
м |
|
. |
|
сек |
|||||
0 |
час |
3 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Какое расстояние он проедет за следующие 30 секунд? Ответ, очевидно, не однозначный:
1) если он продолжает двигаться с той же скоростью, то пройденный путь
DS = v0 × Dt =100 м;
2)если он «ускорился» (или движется под гору), то расстояние
S> 100 м;
3)если устал (или движется в гору), то пройденное им расстояние
S< 100 м.
Самый реальный прогноз (лучше иметь какую-то информацию, чем неопределённость)
S = v0 t = S′(t0 ) t ,
причём этот прогноз тем точнее, чем меньше промежуток времени пример, за время t = 3cek. велосипедист проедет расстояние
и эта величина «почти» точная, даже если велосипедист сознательно начнёт менять скорость своего движения.
Теперь рассмотрим математическую задачу. Пусть задана некоторая
функция |
y = f (x) , и мы умеем вычислять её значение в точке |
x0 , т.е. |
|||
f (x0 ) известно, а требуется найти её значение в точке x0 + x |
при за- |
||||
данном |
x . Допустим, что процедура «прямого» вычисления значения |
||||
функции |
f ( x0 + D x ) |
нам недоступна. Например, нужно |
найти |
||
arctg1.02 , |
зная значение |
arctg1 = π |
≈ 0.7854 . Возникает естественное |
||
желание: в равенстве |
4 |
|
|
|
|
f ( x0 + D x ) = f (x0 ) + y |
|
|
|||
|
|
|
|
||
найти, хотя бы приближённо, приращение функции |
y . Оказывается, это |
||||
|
|
148 |
|
|
|
можно сделать, если данная функция дифференцируема в точке x0 . Дей-
ствительно, в этом случае в точке |
(x0 , f (x0 )) |
существует касательная к |
||||
графику функции y = f (x) . Тогда приращение функции |
y можно при- |
|||||
ближённо заменить приращением ординаты касательной |
dy (см. рис. 21.1) |
|||||
|
|
′ |
|
x |
|
|
y ≈ dy = f (x0 ) |
|
|
||||
|
|
|
|
|
y = f (x) |
|
|
|
|
|
|
α( x) |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
x0 + |
x |
|
|||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 21.1 |
|
|
|
|
Таким образом, приращение функции |
y |
представлено в виде двух |
||||
слагаемых |
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
x) . |
(21.1) |
||
y = f (x0 ) x + α( |
Первое из них называют дифференциалом функции в данной точке и
обозначают символом
dy = f ′(x0 ) x .
Ввиду важности этого понятия, только что определённого кратко с помощью формулы (21.1), приведём его словесную формулировку, акцентирующую внимание на наиболее характерных свойствах дифференциала.
Дифференциалом функции в данной точке называется главная часть приращения функции в этой точке, линейная относительно приращения независимой переменной x .
Второе слагаемое (заметим, что оно может быть любого знака) представляет собой бесконечно малую величину более высокого порядка, чем
x . Напомним, что есть специальный символ α( x ) = o( x ) |
(читает- |
|||
ся: |
α равно o - малое от |
x ). Действительно, сравнивая бесконечно ма- |
||
лые |
α( x) = |
′ |
и x , имеем |
|
y − f (x0 ) x |
|
149