9845

Определим динамическую жесткость и передаточную функцию системы относительно внешней силы F :

Рассмотрим модуль динамической жесткости гидроопоры без учета диссипации энергии. Эта функция имеет следующие свойства: на оси частот находятся резонансы, между резонансами находятся антирезонансы, где характеристика модуля динамической жесткости стремится к бесконечности. Обратимся к формуле (5.14). Видно, что нули модуля передаточной функции будут совпадать с точками резонансов модуля динамической жесткости гидроопоры независимо от динамических свойств объекта и основания.

Вывод Это свойство гидроопоры имеет важное практическое значение. Если

при динамических испытаниях отдельной гидроопоры (не в составе машины) мы наблюдаем снижение модуля динамической жесткости, т.е. резонансные состояния, то этот эффект перейдет и в модуль передаточной функции, независимо от динамических свойств объекта и основания. Иностранные авторы пишут о «размягчении» динамической жесткости гидроопоры, не прибегая к анализу приведенному выше, подразумевая по умолчанию, что этот эффект проявится в передаточной функции и коэффициентах передач.

70

ГЛАВА 6 СТРУКТУРНАЯ СХЕМА ВИБРОИЗОЛИРУЮЩЕЙ СИСТЕМЫ

СТРОИТЕЛЬНОЙ КОНСТРУКЦИИ

6.1. Блок-схема виброизолирующей системы

Блок-схема виброизолирующей системы строительной конструкции (рис. 6.1) предназначена для расчета динамических характеристик элементов системы, а именно, амплитудно-частотной и фазо-частотной характеристик, коэффициентов жесткости и виброизоляции [5, 6, 7, 31].

71

информацию о динамическом поведении системы [32, 33].

В зависимости от типа воздействия на систему можно в виде графиков получить различные характеристики динамического поведения.

На экран выдается следующая информация:

-амплитудно - частотная характеристика A(ω ) = g1N 2 (ω ) ,

-фазо - частотная характеристикаF (ω ) = arg(g1N 2 (ω )) ,

-коэффициент виброизоляцииKV (ω ) = mN 2ω 2 yN 2 + f N 2 ,

-фазо - частотная характеристика F (ω ) = arg(g2 N 2 (ω )) ,

-коэффициент виброизоляцииKV (ω ) = g2 N 2 (ω ) [35, 38, 51, 52].

6.2.Вопросы устойчивости процессов синхронизации в строительных конструкциях

Вопросы устойчивости процессов синхронизации часто возникают в промышленности в связи с тем, что необходимо разрушить устойчивую самопроизвольную синхронизацию роторов двигателей, установленных на общем основании [47, 55]. В работах [123, 124] изучался процесс синхронизации роторов двух асинхронных двигателей, установленных на общем вязко - упругом основании. Физическая модель задачи представляет собой систему двух двигателей, закрепленных на вязко - упругой (подвижной) платформе с одной степенью свободы [24, 25]. Источник энергии вибрации – асинхронный двигатель с неуравновешенным ротором, обладающий моментом инерции Ii . Неуравнове-

шенная масса ротора расположена на расстоянии ri от оси его вращения. При вращении ротора с неуравновешенной массой mi возникает сила инерции, го-

ризонтальная (вертикальная) проекция которой возбуждает колебания системы. Представленная на рис. 6.2 структурная схема физической модели содержит элементы, имеющие следующие обозначения: m - масса платформы абсо-

лютно твердого тела с одной степенью свободы, характеризуемой линейным горизонтальным смещением y , p - коэффициент упругости платформы, свя-

занной с неподвижным основанием - фундаментом, k - коэффициент диссипации основания, m1 , m2 - массы эксцентриков с эксцентриситетами r1 и r2 соот-

ветственно, I1 , I 2 - моменты инерции роторов в отсутствие дисбаланса, ϕ1 , ϕ2 -

углы поворота роторов и отсчитываются от направления оси y .

Математическая модель задачи представляет собой систему дифференциальных уравнений, которая описывает движение колебательной системы, возбуждаемой неуравновешенным ротором электродвигателя асинхронного типа

mɺyɺ+ kyɺ + py − m1r1 (ϕɺɺ1 sin ϕ1 + ϕɺ12 cosϕ1 )− m2 r2 (ϕɺɺ2 sin ϕ2 + ϕɺ22 cosϕ2 )= 0 ,

75

Первое уравнение описывает колебания основания, второе и третье уравнения описывают динамику источников возбуждения, т.е. вращения роторов электродвигателей. Здесь Li (ϕi , ϕɺi ), H i (ϕi , ϕɺi ) – движущие моменты и моменты сил сопротивления вращению роторов, считаем, что моментные характеристики

системы (6.7) принимаем отношение неуравновешенной массы ротора к массе основания μ = mi m << 1, безразмерный коэффициент диссипации ε = μd счи-

тается малой величиной, d – новый коэффициент диссипации.

Введение малого параметра как отношение массы дебаланса к колеблющейся массе предложено И.И. Блехманом и В.О. Кононенко для механической системы, состоящей из упругой платформы и взаимодействующим с ней ротором двигателя, колебания в которой возбуждаются силами инерции неуравновешенной вращающейся массы [124, 125]. Задача с двумя и более двигателями, установленными на общей платформе, не рассматривалась.

Наличие в системе малого параметра позволяет исследовать эту систему приближенными методами. Наиболее эффективным методом приближенного аналитического исследования нелинейных колебательных систем с малым параметром является метод осреднения. Идея метода заключается не в прямом

76

построении приближенного решения точной системы, а в построении приближенной системы, для которой строится, а затем анализируется точное решение [127, 128, 129]. Необходимым предварительным этапом применения метода осреднения является приведение системы в безразмерном виде к стандартной форме [121, 128].

6.3. Устойчивость стационарного режима для двух двигателей

Для исследования устойчивости найденного стационарного решения используем критерий Рауса - Гурвица, из которого находим необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости

q cos θ0 < 0 , pk cos θ0 + m( + q sin θ0 ) < 0 .

Так как q > 0 при любых параметрах системы, то из первого неравенства получаем значения фазы π2 < θ0 < 3π2 . По условию задачи роторы двигате-

лей вращаются в одном направлении, значит, единственно возможным значением разности фаз при возникновении устойчивого режима синхронизации является θ0 = π . Частично данные выводы подтверждены экспериментом.

В результате эксперимента было выявлено, что время до полного останова каждого из роторов двигателей с одинаковыми статическими и частотными характеристиками и с одинаковым направлением вращения ротора, из режима синхронизации заметно сокращается в сравнении со временем до полного останова каждого из двигателей, работающих по отдельности, т.е. независимо друг от друга. Это позволяет предположить и утверждать, что соотношение фаз роторов двигателей, вращающихся в одном направлении, противофазное [129].

Левая часть второго неравенства имеет вид поверхности (рис. 6.3). В сечениях поверхности при различных значениях расстройки имеем следующие графики (рис. 6.4, 6.5), из которых видно, что при увеличении расстройки область устойчивости сужается, но тем не менее устойчивое стационарное решение существует: θ0 = π .

Таким образом, противофазное вращение однонаправленных роторов

77

двигателей является устойчивым стационарным режимом работы двигателей, установленных на общем основании.

6.4. Устойчивость стационарного режима для системы трех двигате-

лей

В работе [137] рассматривается явление синхронизации роторов трех асинхронных двигателей, установленных на упругом основании. Физическая и математическая постановки задачи формулируется аналогично случаю с двумя двигателями. После введения безразмерной координаты, безразмерного времени и малого параметра, в качестве которого берем отношение неуравновешенной массы ротора к массе основания, приводим систему к стандартной форме и вводим быстро вращающиеся фазы. Затем проводим исследование полученной системы методом осреднения.

Вычисление временного среднего для системы первого приближения и определение точек разрыва вычисленных функций позволяет найти следующие резонансные прямые: 1 − Ω1 = 0 , 1 − Ω 2 = 0 , 1 − Ω3 = 0 . Резонанс между двига-

телями не обнаружен. Первое приближение не позволяет выявить эффект синхронизации.

Второе приближение позволяет обнаружить эффект синхронизации. Резонансные соотношения, которые характеризуют эффект синхронизации роторов трех двигателей в механической системе:

Ω1 − Ω 2 = 0 , Ω 2 − Ω3 = 0 ,

т.е. частоты вращения двигателей близки между собой, но далеки от частоты колебаний платформы.

Осредненные по быстрым переменным уравнения для амплитуды колебаний основания и медленных фаз:

Для исследования задачи устойчивости стационарных решений составляются уравнения в вариациях и формулируется проблема собственных значений, которая приводит к характеристическому уравнению третьей степени:

Теперь для исследования устойчивости и отыскания областей параметров устойчивости используется критерий Рауса-Гурвица, который гласит, что для устойчивости движения необходимо и достаточно выполнение условий:

a > 0

0 = a > 0

1 1

которые эквивалентны следующей системе неравенств: a0 > 0 , a1 > 0 , a2 > 0 ,

a3 > 0 , a1a2 − a0 a3 > 0 .

Для характеристического уравнения (6.8) условия устойчивости выглядят следующим образом:

q11 cos(θ10 ) + q21 cos(θ20 ) + (q22 + q12 )cos(θ10 + θ20 ) < 0 ,

79