9945

.

Выражая моменты через функцию прогибов, получаем:

;

.

Учитывая, что вдоль рассматриваемых краев прогибы не зависят от координаты y, окончательно имеем:

;

.

Для свободного края (на рис. 21 при y=b) отсутствуют все погонные усилия:

Таким образом, имеем избыток граничных условий: три, вместо необходимых двух.

Чтобы избежать этого, рассмотрим действие крутящих моментов на свободном краю (рис. 22, а). На участке длиной dx равнодействующую крутящего момента заменим

60

Рис. 21

При таком представлении действие крутящих моментов заменяется распределенной

нагрузкой интенсивностью и угловыми сосредоточенными силами H. Суммируя эту нагрузку с поперечной силой Qy, получаем некоторую приведенну ю поперечную силу

или с учетом (3.8), (3.9):

.

Теперь на свободном краю вместо трех условий можно записать два:

Выразив их через функци ю прогибов, получаем

;

61

.

3.5 Основные формулы теории осесимметричного изгиба круглых пластин.

Многие элементы конструкций, такие как днища и крышки резервуаров, аппаратов, люков и т.п., представляют собой круглые или кольцевые пластинки. Наиболее простой вид деформации таких элементов – их осесимметричный изгиб.

Осесимметричный изгиб круглой пластинки происходит, если нагрузка и условия закрепления симметричны относительно оси z, проходящей через центр пластинки (рис. 22).

Рис. 22

При осесимметричном нагружении пластинки все величины являются функцией лишь одной переменной – радиуса-вектора r.

Внутренние силы определяются через прогиб w по следующим формулам:

- изгибающие моменты в радиальном направлении

- изгибающие моменты в окружном направлении

Цилиндрическая жёсткость при изгибе пластин при толщине 2h

Дифференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности пластинки

62

Решение дифференциального уравнения для нагрузки равномерно распределённой по всей поверхности пластинки q(r) = const имеет следующий вид

Угол поворота сечений пластинки определяется по формуле

Усилия в сечениях кольцевой пластинки определяются по следующим формулам

Условия закрепления краёв пластинки:

o свободный край пластинки: Mr = 0, Qr = 0;

o шарнирно опёртый край пластинки: w = 0, Mr = 0; o жёсткая заделка края пластинки: w = 0, dw/dr = 0; o неполная заделка края пластинки: dw/dr = 0, Qr = 0.

Пример выполнения задачи № 2 «Расчет изгибаемой круглой (кольцевой) пластинки» расчётной работы по теории упругости.

Условия задачи.

Для кольцевой пластинки, показанной на рис. 23, требуется:

1.Составить уравнения прогибов (w), углов поворота (dw/dr), изгибающих моментов (Mr , Mθ) и поперечных сил (Qr).

2.Определить постоянные интегрирования, входящие в уравнения, из условий закрепления пластинки и записать окончательные выражения w, dw/dr, Mr , Mθ, Qr .

3.Вычислить прогибы, углы поворота, изгибающие моменты, поперечные силы в ряде точек по длине радиуса-вектора и построить эпюры w, dw/dr, Mr , Mθ , Qr .

4.Вычислить напряжения max σr, max σθ и max τrz в опасных сечениях и произвести проверку прочности.

63

z

Рис. 23

Толщина пластинки – 2 h =2,4 см, модуль упругости - Е = 2·105 МПа, коэффициент Пуассона - ν = 0,25, расчётные сопротивления – R = 210 МПа, Rs =130 МПа.

Решение.

2.Условия закрепления пластинки имеют следующий вид:

1)r = b = 0,2 м: w = 12·0,24/64D + C1·ln 0,2 + C2·0,22·ln 0,2 + C3·0,22 + C4 = 0.

2)r = b = 0,2 м: Mr = - D {(3+0,25)12·0,22/16D – C1·(1-0,25)/0,22 + C2[2(1+0,25) ln 0,2 +

+(3+0,25)] + C3 2(1+0,25)} = -10.

64

Для определения постоянных интегрирования получили систему уравнений

3. Решая систему уравнений, имеем следующие значения постоянных интегрирования:

С1 = - 0,073099/D, C2 = - 3,96/D, C3 = 2,1874/D, C4 = - 0,46039/D.

4. Усилия и перемещения в пластинке будут определяться по следующим формулам:

w = 1 [0,1875r4 − 0,073099 ln r −3,96r2 ln r + 2,1874 r2 − 0,46039 ]

D

Qr = −6 r + 15,84 r

5. Значения перемещений и усилий в сечениях пластинки равны

6.Эпюры перемещений и усилий в пластинке приведены на рис.24.

7.Проверка прочности пластинки.

65

Главные напряжения - σ1 = 0 МПа, σ2 = - 104,2 МПа, σ3 = - 136,5 МПа.

Условие прочности при изгибе:

σэквIV = 0,5 [(0 + 104,2)2 + (-104,2 + 136,5)2 + (-136,5 - 0)2 ]= 99,2 МПа < R = 210 МПа.

= 4,9 МПа < Rs = 130 МПа.

Таким образом, прочность пластинки обеспечена.

66

Раздел 4. Основы теории пластичности и ползучести

4.1. Основы деформационной теории пластичности

Для изучения работы конструкций за пределами упругости необходимо предварительно сформулировать критерии перехода от упругого к упругопластическому состоянию и сформулировать новые физические уравнения взамен закона Гука, который, как известно, справедлив для описания связи между напряжениями и деформациями только на упругой стадии работы конструкции.

Для сложного напряженного состояния имеем линейные соотношения обобщенного закона Гука:

где σi − интенсивность напряжений определяется через компоненты тензора напряжений:

,

или через главные напряжения

.

Для упругого состояния, как известно, вместо (4.1) справедливо следующее обобщенное соотношение:

68

Рис. 25

Соотношение (4.3) можно трактовать как одну из форм выражения закона Гука. Анализ многочисленных экспериментальных данных показывают, что в

упруго−пластическом состоянии связь между интенсивностью напряжений и деформацией можно записать в следующем виде:

вида напряженного состояния. Это положение является исходным в деформационной теории пластичности.

Вторым положением, на котором базируется деформационная теория пластичности, является условие, что изменение объема:

,

остается чисто упругим. Это положение также хорошо согласуется с экспериментальными данными.

Далее учитывая, что е является величиной порядка упругих удлинений, можно считать, что при пластическом деформировании объем меняется незначительно. Поэтому в пластическом состоянии коэффициент Пуассона допускается принимать равным μ = 0,5.

Из выражения (4.4) модуль деформации можно представить в следующем виде:

Согласно первому положению деформационной теории пластичности зависимость между напряжениями и деформациями при одноосном сжатии и растяжении едины для

Физические соотношения между напряжениями и деформациями, аналогичные (4.1), для пластичного состояния тела принимает вид:

69