10169

30

Выражение (3.11) является общей формулой Рэлея, по которой определяют критическую силу для однопролетного стержня энергетическим методом. При ее использовании необходимо знать уравнение формы деформации стержня y(x) в отклоненном состоянии. Обычно функцию y(x)

подбирают исходя из граничных условий. Именно в связи со сложностью точного

задания значения функции y(x) , формула Рэлея является приближенной.

Пример. Определить значение критической силы для однопролетного стержня, закрепленного шарнирно по концам (рис. 3.4).

Примем форму деформации стержня при потере устойчивости по синусоиде в виде

y = a × sin π x . Это выражение удовлетво- l

ряет следующим граничным условиям:

Условной длиной однопролетного стержня называется такая приведенная

(расчетная) длина стержня, критическая сила для которого при шарнирном закреплении его концов будет такая же, как и для заданного стержня: l0 = μ × l . В

этом выражении μ - коэффициент приведения действительной длины стержня к расчетной, значения которого указаны в таблице 3.1. Из таблицы видно, что величина l0 представляет собой базу полуволны синусоиды – кривой,

определяющей точную форму деформации стержня с шарнирными закреплениями концов.

33

4. Устойчивость статически определимых систем

Статически определимые системы содержат только безусловно

(абсолютно) необходимые связи. Поэтому момент достижения критического состояния таких систем совпадает с потерей устойчивости одного из стержней.

Под действием внешних силовых факторов элементы стержневых систем могут испытывать деформации центрального растяжения или сжатия, изгиба,

кручения. В данном курсе будем рассматривать потерю устойчивости систем,

связанную только с достижением центрально сжатыми стержнями

критического состояния. При возникновении в одном из сжатых стержней системы усилия, близкого к критическому значению, он достигает состояния безразличного равновесия и при дальнейшем увеличении нагрузки теряет устойчивость. Потеря устойчивости одного стержня приводит к потере устойчивости всей системы. Именно поэтому критическая нагрузка для статически определимых систем может быть определена из условия достижения стержнем системы, имеющим наибольшее значение сжимающего усилия, критического состояния, т.е.:

При определении критических значений продольных сил в сжатых стержнях

необходимо знать их геометрические размеры, жесткости, а кроме этого – условия закрепления стержня по концам и в узлах сопряжения с другими стержнями.

Последние факторы учитываются при назначении коэффициента приведения μ и

определении приведенной (расчетной) длины стержня lo .

Пример. Определить критическое значе-

ние силы P для фермы по рис. 4.1 при сле-

Решение.

Определяем опорные реакции:

34

Вычисляем продольные усилия в сжатых стержнях, используя метод вырезания узлов:

Стержень 2-3 растянут, поэтому при данной постановке задачи нас не интересует.

Поскольку оба сжатых стержня шарнирно закреплены по концам, то значения критических продольных сил для них будут вычисляться по формуле:

теряет стержень 1-2 и вся ферма.

5. Устойчивость многоярусных колонн

Для колонн многоэтажных каркасных зданий, имеющих жесткие или податливые перекрытия, а также для сооружений с оттяжками (например: мачты,

35

дымовые трубы, опоры ЛЭП и др.) при исследовании вопросов их устойчивости принимают расчетную схему в виде неразрезной балки с жесткими или упругими опорами. Характерной особенностью указанных сооружений является наличие больших продольных сжимающих сил, приложенных в опорных узлах; пролетные сжимающие нагрузки, как правило, сравнительно невелики и при исследовании устойчивости стержня ими чаще пренебрегают.

При достижении нагрузкой критического значения возможны два состояния устойчивого равновесия неразрезной балки: прямолинейное

(недеформированное) и криволинейное – деформированное, т.е. происходит разветвление форм равновесия и, следовательно, имеет место потеря устойчивости первого рода.

Рассмотрим расчетную схему колонны переменной по длине жесткости в виде неразрезной балки на жестких опорах и загруженной осевыми сжимающими силами в соответствии с рис. 5.1а (пролетные нагрузки отсутствуют). Критическое значение сжимающей нагрузки определим из условий равновесия в деформированном состоянии при потере устойчивости системы.

Выделим отдельно два пролета стержня, примыкающие к опоре “ i ”.

36

Вычислим углы поворота θiлев. и θiпр. стержней i-го и (i+1)-го пролетов

на опоре “ i “ (см. рис. 5.1б), используя уравнение оси сжато-изогнутого стержня:

значения которых приведены в литературе.

Для неразрезного стержня очевидно справедливо уравнение неразрывности деформаций на опоре “ i “ в форме: θiлев. = - θiпр. (равенство углов поворота оси балки слева и справа от опоры “ i “ ). Подставив в него (5.1), после

определенных преобразований получим уравнение трех моментов для

промежуточной опоры “ i “ :

Уравнение трех моментов может быть составлено для каждой промежуточной опоры, если крайние опоры неразрезного стержня шарнирные.

Для стержня с одной защемленной крайней опорой уравнения составляют для промежуточных опор и одно дополнительное для защемленной опоры,

рассматривая ее как промежуточную с дополнительным пролетом нулевой длины.

Таким образом, получаем систему линейных однородных алгебраических

недеформированному состоянию равновесия; б) деформированному состоянию

отсутствии опорных моментов каждый пролет будет деформироваться как статически определимая двух опорная балка, чем и определяется это решение;

- ненулевое, т.е. когда M 1 ¹ 0; M 2 ¹ 0; . . . , M n ¹ 0. Условием существования такого решения является равенство нулю определителя системы уравнений трех моментов:

37

Раскрывая определитель, получаем трансцендентное уравнение

устойчивости системы, из которого определяется критическая нагрузка.

выражения всех Vi , определяют критические продольные силы в остальных пролетах:

6.Влияние поперечной силы на устойчивость прямого стержня

Рассмотрим стержень с шарнирным закреплением концов. Для определения критической силы применим энергетический метод, используя условие .

Работа сил Р будет определяться выражением

а изменение потенциальной энергии деформации будет

Здесь – коэффициент распределения касательных напряжений по высоте сечения

G- модуль упругости при сдвиге.

Учитывая, что М=Рy, Q=M’=Py’, получим

,

Подставляя в исходное уравнение, будем иметь

,

38

Откуда

Уравнение формы деформации примем в виде y=a

Вычислим интегралы, входящие в формулу для Ркр

Тогда будем иметь

Учитывая, что можно записать выражение критической силы в виде

Используя закон Гука при сдвиге , где γ- относительный сдвиг. Запишем выражение для напряжений при сдвиге

Приравнивая их, получим

Величина выражает относительный сдвиг от поперечной силы Q=1. Формула для определения критической силы будет

7.Устойчивость стержней с раскосной системой решетки

При определении критической силы для составных стержней следует учитывать деформации сдвига, возникающие вследствие податливости соединительной решетки и вызываемые действием поперечной силы.

Рассмотрим стержень с раскосной системой решетки

39

а) стержень с одной соединительной решеткой Для определения величины вырежем элемент стержня длиной а.

Для упрощения расчета полагаем, что он работает как элемент фермы, т.е.

считаем узлы шарнирными. Определим деформации при действии поперечной силы Q=1. Деформация планки будет

Деформация раскоса будет

Здесь

= ;

Перемещение составит

Искомый относительный сдвиг

Подставляя это в формулу для Ркр, получим выражение для критической силы,

вызывающей потерю устойчивости составного стержня с одной соединительной решеткой