10190
.pdfРис. 2.16
Первый закон Кирхгофа в комплексном виде запишется следующим образом:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
I R I L |
I C |
|
|
|
|
|
|
|
(2.32) |
|||||
Выразим токи из закона Ома: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
U |
|
|
U |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|||
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
(2.33) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
R jX L |
|
|
jX C |
|
|
|
jX L |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
R |
|
|
jX C |
|
Для параллельного соединения элементов вводится понятие проводимости, величины, обратной сопротивлению, измеряемой в сименсах:
активная проводимость g R1 (См);
|
индуктивная проводимость |
jbL |
|
|
1 |
|
(См); |
( |
|||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jX L |
|
||
|
емкостная проводимость |
jbC |
|
1 |
|
(См). |
|
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
jX C |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
С учётом (2.32) выражение (2.33) примет следующий вид: |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
U g |
j bC bL |
|
|
|
(2.35) |
|
||||||||
Выражение в квадратных скобках обозначим через Y и назовем полной |
|
||||||||||||||||
или комплексной, проводимостью: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Y g j bC bL (См) |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Y |
|
g |
2 b b |
L |
2 |
(См) |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда закон Ома для параллельного соединения элементов в |
|
||||||||||||||||
комплексном виде будет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
U Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
I |
U g |
jbU I R I P |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
I R I P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где I R – активная составляющая тока;
I P – реактивная составляющая тока.
Этой форме записи закона Ома соответствует схема замещения, показанная на рис. 2.16.
Схемы а и б на рис. 2.16 являются эквивалентными.
31
Построим векторную диаграмму для параллельного соединения резистора, индуктивности и емкости.
Построение начинаем с комплексной плоскости (рис. 2.17, а). Параллельно оси действительных чисел (+ 1) строим вектор приложенного
|
|
|
напряжения U , так как напряжение является общим для всех |
элементов. |
|
|
|
|
Далее по вектору напряжения U строим вектор тока в резисторе I R (который |
||
|
|
|
совпадает по направлению с напряжением). |
Из конца вектора |
I R строим |
вектор тока в конденсаторе I C (он опережает напряжение на угол 900). Из
|
|
конца вектора I C строим вектор тока индуктивности |
I L (он отстает от |
напряжения на угол 900), получаем точку «а». Соединив точку «а» с началом
|
|
вектора тока в резисторе I R , получаем вектор тока I в неразветвлённой части, |
при этом образуется треугольник токов. Угол между вектором напряжения
U и вектором тока I соответствует углу сдвига фаз.
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
||
I L |
I C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|||
I C I L I P |
|
|
|
|||
|
|
б) |
треугольник |
|||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
I R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
а) |
в) |
треугольник |
||
|
Рис. 2.17 |
|
|
|
|
|
|||
Если все стороны треугольника токов разделить на напряжение |
U |
, то |
||
получим подобный |
треугольнику токов треугольник |
проводимостей. |
Умножив стороны треугольника проводимостей на U 2 , получаем треугольник мощностей.
|
|
|
|
|
|
Проанализировав закон Ома для последовательного соединения (U I Z ) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
и для параллельного соединения (U |
), можно сделать вывод, что: |
|
|||
Y |
|
||||
|
|
|
|
|
|
Y |
1 |
. |
|
(2.38) |
|
|
|
||||
|
Z |
|
|
|
Соотношение (2.38) показывает, что для каждого последовательного соединения элементов существует эквивалентное параллельное соединение этих же элементов. И наоборот: для каждого параллельного соединения элементов существует эквивалентное последовательное соединение этих же элементов. Соотношение (2.38) широко используется для преобразования сложных электрических цепей.
2.8. Резонансные явления в цепи переменного тока
Под резонансным режимом электрической цепи, содержащей резистор R, индуктивность xL и емкость xC понимается такой режим, когда полное сопротивление цепи равняется активному, ток совпадает по фазе с напряжением ( 0 ) и коэффициент мощности ( cos ) равен единице.
Условия резонанса:
при последовательном соединении Z = R, cos 1, 0 ;
при параллельном – y = g, cos 1, 0 .
При последовательном соединении наблюдается резонанс напряжений, при параллельном соединении – резонанс тока.
2.8.1. Резонанс напряжений
Рассмотрим последовательное соединение резистора, индуктивности и ёмкости (рис. 2.18, а).
33
а) |
|
R |
X L |
X C |
б) |
I p |
|
I |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
U~ |
|
U R |
U L |
U C |
U ~ |
Z=R |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Рис. 2.18 |
|
|
Известно, что для последовательного соединения:
|
|
|
|
|
|
|
U U R U L U C I |
R j xL xC I |
Z |
Так как Z R j xL xC , то по условию резонанса Z R , а это будет, если xL xC 0 .
Тогда условием резонанса напряжений будет равенство индуктивного (xL) и ёмкостного (xC) сопротивлений.
xL = xC – условие резонанса напряжений.
Закон Ома для резонанса напряжений запишется в следующем виде:
|
|
|
U I p R |
(2.40) |
где I p – ток при резонансе.
Этой форме записи закона Ома будет соответствовать схема замещения, показанная на рис. 2.18, б. Так как полное сопротивление Z R и достигает
минимального значения, то резонансный ток ( I p ) достигает максимального
|
|
значения ( I pз max ). При этом наблюдается равенство падений напряжений |
|
на индуктивности U Lp и ёмкости UCp имеющих наибольшее значение. |
|
U Lp UCp max |
(2.41) |
Равенство падений напряжений на индуктивности и ёмкости обусловило название этого явления – резонанс напряжений.
Резонансная частота, при которой наблюдается это явление, равна
p |
|
1 |
|
(2.42) |
|
|
|
|
|||
LC |
|||||
|
|
|
|
Из выражения (3.42) следуют следующие способы достижения резонанса напряжений:
1)изменением емкости (C = var);
2)изменением индуктивности (L = var);
3)изменением частоты питающей сети (f = var)(ω = 2πf = var) Остальные параметры должны оставаться неизменными. Зависимости
некоторых параметров электрической цепи от емкости показаны на рис. 2.19.
I, z, cosφ
cosφ = 1
Z
|
|
cosφ |
|
Z=R |
I |
0 |
Сp |
C |
Рис. 2.19
Векторная диаграмма для резонансного режима показана на рис. 2.20. Построение производится аналогично разделу 2.6.
Из векторной диаграммы следует, что угол сдвига фаз 0 , тогда cos 1 . При этом полная мощность S равняется активной мощности P и достигает наибольшего значения:
S P I 2p R max, |
|
||
Q QL QC 0, |
( |
||
cos |
P |
1. |
|
|
|
||
|
S |
|
|
Из вышеизложенного можно сделать следующий вывод: |
|
При резонансе напряжений электрическая цепь потребляет из сети наибольшую мощность, и падения напряжения на индуктивном и ёмкостном элементах достигают наибольшего значения, что увеличивает вероятность пробоя этих элементов, поэтому резонанс напряжений является нежелательным режимом работы электрической цепи.
35
+ j |
|
|
|
U LР |
|
|
|
|
|
|
|
|
U R U |
|
|
|
U СР |
||
|
I р |
||
|
|
|
|
|
|
|
+ 1 |
|
Рис. 2.20 |
|
|
2.8.2. Резонанс токов
Рассмотрим параллельное соединение реальной катушки индуктивности и ёмкости (рис. 3.21, а).
а)
I |
I K |
I C |
б) |
I = I LA |
|
|
|
||
U~ |
RK, gK |
|
|
|
|
X C, bC |
|
|
|
|
|
U~ |
y = g K |
|
|
X L, bK |
|
|
|
Рис. 2.21
Известно, что для параллельного соединения:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
I K |
|
I C U g K |
j bC bL U Y , |
|
|||||||
где y g K j bC bL ; g K |
|
RK |
; bL |
|
X L |
|
|
; |
bc C . |
|
||
RK2 xL2 |
RK2 |
|
X L2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Так как по условию резонанса y g K , то резонанс будет наблюдаться, |
||||||||||||
когда bC bL 0 , поэтому |
условием |
резонанса тока |
будет |
равенство |
||||||||
индуктивной ( bL ) и емкостной ( bC ) проводимостей. |
|
|
|
|
|
|
||||||
bL bC – условие резонанса |
|
|
|
|
|
(2.44) |
||||||
Из (2.44) следует |
равенство реактивной |
составляющей |
тока в |
индуктивности ( I Lp ) и емкости ( IC ), что и дало название этому явлению –
резонанс токов.
I Lp |
|
(2.45) |
|
|
IC |
||
|
|
|
|
Поэтому ток в неразветвлённой части (I) будет равен активной составляющей тока индуктивности ( I LA ) и достигает наименьшего значения.
|
|
|
I p I LA min |
(2.46) |
Закон Ома для резонанса токов запишется в следующем виде:
I p
U . (2.47) g K
Этой форме записи закона Ома будет соответствовать схема замещения, показанная на рис. 2.21, б.
Резонансная частота равна
|
p |
|
|
1 |
|
1 |
CRK2 |
, |
|||||
|
|
|
|
|
L |
||||||||
LC |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
при условии RK L , p |
|
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
LC |
|
|
|
|
Способы достижения резонанса токов при условии RK L такие же, что и при резонансе напряжений.
Зависимости некоторых параметров электрической цепи от емкости
показаны на рис. 2.22. |
|
|
I, y, cosφ |
cosφ = 1 |
|
|
I |
|
|
|
y
cosφ
0 |
Cp |
C, мкФ |
Рис. 2.22
Векторная диаграмма для резонанса токов показана на рис. 2.23, построение ее производится аналогично приведенному в разделе 2.7.1
37
I C
|
|
|
I LA I P |
|
U
|
|
I LP |
I L |
Рис. 2.23
Из векторной диаграммы следует, что угол сдвига фаз 0 , поэтому коэффициент мощности cos 1.
Реактивная мощность цепи равна нулю
Q b U 2 |
b U 2 |
Q |
L |
Q 0 . |
L |
C |
|
C |
|
При этом индуктивная QL |
и емкостная |
QC реактивные мощности |
могут приобретать весьма большие значения, оставаясь равными друг другу. Полная мощность цепи при резонансе тока равна активной мощности и
достигает наименьшего значения. |
|
|
|
|
|
|||
S YU 2 |
g KU 2 |
|
P min |
(2.48) |
||||
Коэффициент мощности всей цепи при резонансе токов |
|
|||||||
cos |
P |
|
g KU |
2 |
1. |
|
||
S |
|
YU 2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
При резонансе токов электрическая цепь потребляет минимальную мощность от источника, поэтому такой режим работы электрической цепи является желательным.
2.9. Способ повышения коэффициента мощности cos электроприёмника
Электроприёмники (рис. 2.24) в своём большинстве обладают активноиндуктивными свойствами (электродвигатели, трансформаторы) и поэтому обладают низким коэффициентом мощности.
Pп |
, |
(2.49) |
cos U Iп |
где Pn – мощность электроприемника, кВт;
U – напряжение питающей сети, В; Iп – ток электроприёмника, А.
I n
I C |
Эл.приемник |
|
|
|
Rn |
U ~
С
X L
|
|
Рис. 2.24 |
|
|
Из (3.49) следует, что ток приёмника Iп равен |
|
|||
In |
Pn |
. |
(2.50) |
|
U cos |
||||
|
|
|
При постоянной мощности ( P const ) и напряжении (U const ), потребляемый ток Iп будет зависеть от величины коэффициента мощности cos .
|
|
|
1 |
|
I |
n |
f |
|
. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
cos |
Чем ниже коэффициент мощности электроприёмник.
(2.51)
cos , тем больший ток Iп потребляет
Повышение cos называется компенсацией угла сдвига фаз , это произойдёт
при подключении параллельно электроприёмнику конденсатора С, при этом используется режим, близкий к режиму резонанса токов.
Построение векторной диаграммы электроприёмника до и после подключения конденсатора показано на рис.2.25.
39
а) до подключения конденсатора |
б) после подключения конденсатора |
|||
+ |
|
+ |
|
|
|
|
φ |
|
|
|
U |
|
|
|
φ |
|
|
U |
|
|
|
|||
|
|
φ |
I |
П1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I П |
|
|
|
|
|
I C |
||
|
|
I П |
|
|
|
+ |
Рис. 2.25 |
|
+ |
Зависимости тока приёмника Iп |
и коэффициента мощности cos от величины |
|||
емкости конденсатора приведены на рис. 2.26. |
|
|
I, cosφ
IП
1,0
cosφ
0 |
Срез |
C, мкФ |
Рис. 2.26
Из рисунков 2.25 и 2.26 следует, что подключение конденсатора снижает потребляемый ток и повышает cos электроприёмника, особенно когда емкость
конденсатора равна емкости, соответствующей резонансу токов.
Нормируемое значение коэффициента мощности в энергосистемах составляет cos H 0,95 . Величину емкости конденсатора, необходимого для подключения к
электроприемнику и повышения cos до нормируемого значения, можно определить из следующего выражения:
C |
Pn |
tg n tg H 106 (мкф) |
(2.52) |
|
U 2 |
||||
|
|
|