10301

В частности, таким способом можно находить расстояние между параллельными прямыми в пространстве как расстояние от точки, взятой на одной прямой, до другой прямой.

12.3. Пересечение прямых в пространстве. Пусть двепрямые L1 и L2

заданы каноническими уравнениями

Выясним условия пересечения этих прямых. Предполагаем, что направляющие векторы этих прямых S1 {m1, n1, p1} и S2 {m2 , n2 , p2} не

коллинеарны, что исключает случаи параллельности или совпадения этих прямых, и, кроме того, точки M1 (x1, y1, z1 ) и M 2 (x2 , y2 , z2 ) различные (см.

рис.12.6).

Рис. 12.6

90

[Введите текст]

Ясно, что прямые будут принадлежать одной плоскости, а значит

Как найти координаты точки пересечения прямых? Проведём через каждую прямую плоскость, проецирующую эту прямую на какую-нибудь из

соответствующими координатами точки пересечения данных прямых (см.

рис. 12.7).

Рис.12.7

Нахождение координат точки (x0 , y0 ) сводится к решению системы

а третья координатаможет быть найдена из уравнения прямой L1 или L2 . Пример. Доказать,что прямые

91

[Введите текст]

M1M 2 {0,12, 1} , вычисляя определитель:

Следовательно,эти прямые пересекаются. Координаты точки пересечения находим, решая, например, систему

Её решение x0 7, y0 20 . Из уравнения, допустим, первой прямой найдем третью координату z0 3 . Итак, точка пересечения этих прямых

M 0 (7, 20,3).

12.4. Расстояние между двумя прямыми.Случай параллельных прямых мы рассматривали в п.12.2. Поэтому пусть прямые скрещивающиеся, следовательно, расположены в параллельных плоскостях (см. рис. 12.8), расстояние между которыми и будет искомым расстоянием между прямыми.

92

[Введите текст]

Рис.12.8

Пусть прямые заданы каноническими уравнениями

Кратчайшее расстояние между прямыми найдём как абсолютную величину

Вектор 1 2 = {1, −1, 1}. Находим векторное произведение

Удобнее находить проекцию на вектор = {1, 1, −1}, коллинеарный вектору . Тогда

Лекция 13. Взаимное расположение прямых и плоскостей

13.1.Угол между прямыми в пространстве. Пусть заданы две прямые

L1 и L2 своими каноническими уравнениями

между ними полагают равным нулю. Параллельные прямые, очевидно, принадлежат одной плоскости.

Под углом между пересекающимися прямыми будем понимать уголмежду их направляющими векторами S1 {m1, n1, p1} и S2 {m2 , n2 , p2}, если он острый, и угол в противном случае. Следовательно,

будем понимать наименьший из углов между пересекающимися прямыми L1 и L2 , им параллельными (см. рис.13.1).

Рис. 13.1

В частности, условие перпендикулярности двух прямыхимеет вид

L1 L2 m1m2 n1n2 p1 p2 0 .

13.2. Угол между прямой и плоскостью.Найдем теперь угол между прямой

и плоскостью П : Ax By Cz D 0 . Напомним, что под углом между прямой и плоскостью понимают наименьший положительный угол

94

получим sin sin( 2 ) cos . Таким образом, для вычисления угла между прямой и плоскостью получаем формулу

В частности, условие перпендикулярности и условие параллельностипрямой и плоскостиимеют вид

L П mA Bn Cp ;

L || П Am Bn Cp 0 .

В последнем случае, если дополнительно выполняется равенство

95

Если Am Bn Cp 0 и Ax0 By0 Cz0 D 0 , то это уравнение не имеет

решений. Эти условия соответствуют тому, как мы выяснили выше, что прямая и плоскость параллельны и, следовательно, не пересекаются. Если Am Bn Cp 0 и Ax0 By0 Cz0 D 0 , то уравнение (13.2) имеет

бесчисленное множество решений, т.е. прямая принадлежит плоскости. И, наконец, если Am Bn Cp 0 , то

Подставим это значение в параметрические уравнения прямой и найдем x1, y1, z1 – координаты точки пересечения прямой L с плоскостью П .

Если прямая L задана как линия пересечения двух плоскостей

A1x B1 y C1z D1 0A2 x B2 y C2 z D2 0 ,

а плоскость задана уравнением Ax By Cz D 0 , то координаты точки

их пересечения находим, решая следующую систему трех линейных уравнений:

Здесь возможны варианты. Если определитель матрицы этой системы не равен нулю, то искомая точка пересечения единственна и находится, например, по правилу Крамера. Если определитель матрицы этой системы равен нулю, что означает компланарность нормальных векторов к этим плоскостям, то система может быть несовместна (см., например, рис. 13.3)

97

[Введите текст]

Рис. 13.3

или иметь бесчисленное множество решений, когда эти три плоскости пересекаются по одной прямой(см. рис. 13.4).

Рис. 13.4

Лекция 14. Другие задачи о прямых и плоскостях

Рассмотрим несколько типичных задач получения уравнений прямых или плоскостей, обладающих заданными свойствами.

Задача 1. Составить уравнения прямой L , проходящей через данную точку M x0 , y0 , z0 перпендикулярно к данной плоскости П : Ax By Cz D 0

.

98

[Введите текст]

= { , , }

0 0, 0, 0

L

Рис. 14.1

Очевидно, что в качестве направляющего вектора прямой можно взять нормальный вектор к плоскости, т.е. S N {A, B,C}. Отсюда следует, что уравнения искомой прямой имеют вид

Задача 2. Составить уравнение плоскости П , проходящей через данную точку M1 (x1, y1, z1 ) перпендикулярно к данной прямой L

Очевидно (см. рис. 14.2), что в качестве нормального вектора плоскости можно взять направляющий вектор прямой, т.е. N s m, n, p

. Отсюда следует, что уравнения искомой плоскости имеет вид

П

Рис. 14.2

99