10303

Рис.53.2

Чтобы найти элементы объёма в сферических координатах, построим поверхности семейств ρ = const (сферы), θ = const (конические поверхности с вершиной в начале координат) и ϕ = const (полуплоскости, проходящие через ось Oz). Рассмотрим один из элементов Ωi , ограниченный

сферами радиусов ρ и ρ + dρ , конусами растворов θ и θ + dθ , а также полуплоскостями, проведёнными через ось Oz, следы которых в плоскости xOу имеют полярные лучи ϕ и ϕ + dϕ (рис. 53.3).

z

dρ

ρsinθdϕ

ρ

Ωi

ρsinθ

θdθ

ϕ

ρdϕ

x

Рис. 53.3

Представив подобласть Ωi как прямоугольный параллелепипед со сторонами dρ , ρdθ и ρsinθdϕ, получим элементарный объём в виде

dV =ρ2 sinθ dρdϕdθ. Поэтому формула перехода в тройном интеграле от декартовых координат к сферическим приобретает вид

92

Итак, при переходе в тройном интеграле от декартовых к сферическим координатам подынтегральная функция должна быть выражена через переменные ρ ,ϕ и θ по формулам (53.1), а также умножена на ρ2sinθ.

Сферические координаты используем для нахождения объёма тела Ω, ограниченного сферой x2 + y2 + z2 = 2az и двумя коническими поверхностями x2 + y2 = z2tg2α и x2 + y2 = z2tg2β, если 0 < α <β < π2

(рис. 53.4).

Рис. 53.4

Пользуясь формулами, связывающими декартовы и сферические координаты, запишем уравнение исходной сферы с центром в точке (0,0,a) и

радиуса a в виде

ρ2 sin2 θcos2 ϕ+ρ2 sin2 θsin2 ϕ+ρ2 cos2 θ = 2aρcosθ,

что дает после преобразований ρ = 2acosθ.

Теперь можно задать область Ω в сферических координатах условия-

ми

0≤ρ≤2acosθ, 0≤ϕ≤2π, α≤θ≤β.

Тогда объем находится следующим образом:

=β∫dθ2π∫ sinθ83a3 cos3θdϕ= 4π3a3 (cos4 α−cos4β) .

α 0

93

При постоянной объёмной плотности эти формулы приобретают вид

Найдем для примера центр тяжести однородного поллушара радиуса R с центром в начале кооординат (рис. 53.5). Из соображенний симметрии яс-

но, что две координатты центра тяжести xc и yc равны 0. Чтобы вычислить zc , записываем соответствующую формулу

zc = 2π3R3 ∫∫∫Ω zdxdydz .

Рис. 53.5

Моменты инерции относительно осей, точек и координатных плоскостей для пространственных тел определяются аналогично моментам инер-

95

ции плоских фигур: интегрируется произведение плотности на квадрат расстояния до оси, точки или плоскости. Нужно учесть при этом, что рас-

Рис. 53.6

Поэтому момент инерции относительно оси Ox записывается в виде

Ix =∫∫∫(y2 + z2)γ(x,y,z)dxdydz ,

Ω

момент инерции относительно координатной плоскости xOу

Ixoy =∫∫∫z2γ(x,y,z)dxdydz,

Ω

аналогично – для других осей координат и координатных плоскостей. Момент инерции относительно начала координат равен

I0 = Ixoy + Ixoz + Iyoz .

Записанные формулы упрощаются в случае однородных пространственных тел с постоянной объёмной плотностью.

Найдем для примера момент инерции тела, полученного в результате вращения вокруг оси Oz криволинейной трапеции aABb(рис. 53.7) относительно его оси симметрии.

96

Рис. 53.7

выписанную ранее формулу в виде

Iz = γ∫∫∫(x2 + y2 )dxdydz .

Ω

Вычисляем тройной интеграл

b

Iz = γ∫dz ∫∫ (x2 + y2 )dxdy ,

aDz

где Dz – сечение исходного тела вращения плоскостью z = const , которое представляет собой круг радиуса y(z). Если D - круг радиуса R с центром в начале координат, то, переходя к полярным координатам, можно найти

Полученную формулу удобно использовать для вычисления моментов инерции конкретных тел вращения. Например, для конуса радиуса R и высоты H с постоянной плотностью γ(x, y,z) ≡ γ (см. рис.53.8) имеем

97

Рис. 53.8

0

98

Раздел 10. Криволинейные интегралы

Лекция 54. Криволинейный интеграл 1-го рода (по длине дуги)

54.1. Определение. К понятию криволинейного интеграла 1-ого рода приводит вычислительная конструкция, возникающая, например, при попытке точного решения задачи об определении массы неоднородной материальной линии. Задача формулируется так. Пусть в каждой точке P(x, y, z) линии AB в пространстве определена плотность ρ(x, y, z)

(рис.54.1). Требуется найти массу этой линии.

Рис. 54.1

Под плотностью массы вдоль кривой AB в точке P0(x0, y0,z0) понима-

держащего точку P0(x0, y0,z0), а m – масса этого отрезка. Если плотность в каждой точке линии одинакова и равна ρ0 , то масса вычисляется по формуле M=ρ0L, гдеL – длина кривой от точки Aдо точки B. Если же плотность вдоль линии изменяется, то эта формула неприменима.

Разовьем следующую идею приближенного вычисления массы этой линии.

щей, отрезку кривой Ai−1Ai . Тогда масса участка Mi может быть приближен-

нии от точки Ai−1до точки Ai. Масса всей линии может быть приближенно вычислена по формуле

99

В силу интегральной методологии естественно ожидать, что точное значение массы может быть получено в результате предельного перехода

n

M = limn→∞ ∑ρ(ξi ,ηi ,νi ) li

i=1

если, конечно, при n → ∞ длина каждого отрезка миться к нулю.

Обобщение этой вычислительной процедуры, отвлеченное от физического содержания, приводит к понятию криволинейного интеграла

1-го рода (по длине дуги). Пусть в пространстве в некоторой области D расположена линия AB и пусть в некоторой окрестности этой линии определена функция f (x, y, z) .Разделим линию AB на n участков точками A0 = A , A1, A2, A3,...,An = B.Длину участка линии от точки Ai−1до точки Ai

обозначим li . На участке линии Ai−1Ai выберем некоторую точку P(ξi,ηi,νi)

и сформируем следующую интегральную сумму:

i-ом участке, то этот предел называется криволинейным интегралом 1-ого

Возвращаясь к задаче о нахождении массы неоднородной линии, можно с помощью введённого определения записать, что

кривой существует касательная и угол наклона касательной непрерывно меняется при движении точки вдоль данной кривой. На рис. 54.2 кривая AB гладкая, а кривая LQ кусочно-гладкая, ибо в точках M и P касса тельная не существует.

100

Рис. 54.2

Теорема. Если н епрерывная кривая AB может бы ть разбита на конечное число гладки х кусков и в некоторой окрестн ости этой кривой функция f (x, y,z)непрерывна, то для нее существует криволинейный интеграл (54.2).

Наряду со свойст вами, которые имеют все рассмотренные ранее интегралы (постоянное чи сло можно выносить за знак интеграла; интеграл от суммы или разности двух функций равен сумме или раз ности интегралов от этих функций), от метим еще ряд свойств криволинейн ого интеграла 1-го рода.

а) Криволинейный интеграл 1-го рода не зависит от направления движения по кривой. Действительно, в формуле (54.2), множитель li ра-

вен длине i-го отрезка кривой и поэтому он не зависит о т направления. б) ∫ dl = L , где L – длина кривой AB . Действительно, если в (54.2)

AB

f (x, y,z) =1, то интег ральная сумма будет равна длине кривой от точки A

54.2. Вычислен ие криволинейного интеграла 1-го рода. Понятно, что, записав формулу (54.3), мы еще не дали способа вычисления массы, который бы отличал ся от вычислительной конструкции , приведенной в начале параграфа. Однако анализ конструкции (54.2) показывает, что при

сводится к вычислен ию обычного определенного интеграла. При этом существенную роль играет способ задания кривой AB .

Плоский случай. Явное задание кривой. Пусть кривая AB на плоско-